預(yù)備知識(shí)：

1. 設(shè)lim an=a，若a>0，an>0，則lim an^（1/n）=1；
   

2. lim（1+1/n）^n=e；

3. 定理：數(shù)列{an}收斂的充要條件是：{an}的任何子列都收斂。

4. 公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；

5. 雙重向量積：給定空間三向量，先作其中兩個(gè)向量的向量積，再作所得向量與第三個(gè)向量的向量積，那么最后的結(jié)果仍然是一向量，叫做所給三向量的雙重向量積。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一個(gè)雙重向量積；

6. 性質(zhì)：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；

7. （axb）xc=（ac）b-（bc）a；

8. 拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；

9. （axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a；

10. （axb，cxd，exf）=（a，b，d）（c，e，f）-（a，b，c）（d，e，f）；

11. 右手系/左手系：設(shè)有不共面的三個(gè)向量a，b，c，將它們移到同一始點(diǎn)，則a，b決定一個(gè)平面，而c指向平面的一旁，將右手四指并攏與拇指分開(kāi)，使四指向掌心彎曲的方向，表示從a的方向經(jīng)過(guò)小于平角的轉(zhuǎn)動(dòng)達(dá)到b的方向，此時(shí)若拇指方向與c方向指向平面的同一旁，則稱(chēng)向量組{a，b，c}構(gòu)成右手系，否則稱(chēng)為左手系；

12. 直角標(biāo)架/直角坐標(biāo)系：設(shè)i，j，k是空間中以O(shè)為起點(diǎn)的三個(gè)向量，它們兩兩垂直并且都是單位向量，則O；i，j，k稱(chēng)為空間的一個(gè)以O(shè)為原點(diǎn)的直角標(biāo)架或直角坐標(biāo)系，記為{O；i，j，k}；

    右手直角標(biāo)架/右手直角坐標(biāo)系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}稱(chēng)為一個(gè)右手架標(biāo)或右手直角坐標(biāo)系；否則稱(chēng)為左手直角架標(biāo)或左手直角坐標(biāo)系；

    直角坐標(biāo)系的基向量：我們把i，j，k稱(chēng)為該直角坐標(biāo)系的基向量；

13. 仿射架標(biāo)/仿射坐標(biāo)系：如果我們不要求i，j，k單位長(zhǎng)度且兩兩正交，只要求它們不共面，那么{O；i，j，k}稱(chēng)為空間一個(gè)以O(shè)為原點(diǎn)的仿射架標(biāo)或仿射坐標(biāo)系；

    右手仿射架標(biāo)/右手仿射坐標(biāo)系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}稱(chēng)為一個(gè)右手仿射架標(biāo)或右手仿射坐標(biāo)系；否則稱(chēng)為左手仿射架標(biāo)或左手直仿射坐標(biāo)系；

    仿射坐標(biāo)系的基向量：我們把i，j，k稱(chēng)為該仿射坐標(biāo)系的基向量；

14. 坐標(biāo)：O；i，j，k是空間的一個(gè)仿射坐標(biāo)系（直角坐標(biāo)系），則任意一個(gè)向量v可以唯一表示成v=xi+yj+zk，稱(chēng)（x，y，z）為向量v在該坐標(biāo)系{O；i，j，k}下的坐標(biāo)，記為v=（x，y，z）；

    點(diǎn)的坐標(biāo)：設(shè){O；i，j，k}是空間的一個(gè)以O(shè)為原點(diǎn)的仿射坐標(biāo)系（直角坐標(biāo)系），規(guī)定P點(diǎn)的坐標(biāo)為向量OP的坐標(biāo)，向量OP成為P點(diǎn)的定位向量或矢徑，若P點(diǎn)的坐標(biāo)為{x，y，z}，記為P（x，y，z）；

15. 坐標(biāo)軸/坐標(biāo)平面/卦限：i，j，k所在的直線(xiàn)通常成為坐標(biāo)軸或分別成為x，y，z軸，每?jī)筛鴺?biāo)軸所決定的平面稱(chēng)為坐標(biāo)平面或xOy，yOz，zOx坐標(biāo)平面，3個(gè)坐標(biāo)平面把空間分割成8個(gè)部分，稱(chēng)為該坐標(biāo)系的8個(gè)卦限；

16. 兩向量的內(nèi)積等于它們的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和；

    向量的長(zhǎng)度等于它的坐標(biāo)的平方和的平方根。
    

17. 矩陣乘法運(yùn)算律——
    

    a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）

    b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

    c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

    d.若A是n級(jí)矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A

    e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿(mǎn)足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

    f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱(chēng)B為A的逆方陣，而稱(chēng)A為可逆方陣。

18. 矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對(duì)應(yīng)的行列式。

19. 矩陣對(duì)應(yīng)行列式滿(mǎn)足：|AB|=|A||B|；

20. 設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級(jí)矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

21. A的伴隨矩陣A*滿(mǎn)足：A*=|A|A^（-1）

22. E（i，j）為單位矩陣i，j行對(duì)調(diào)——
    

    方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A

    方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）

23. 矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級(jí)矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱(chēng)為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。

24. 定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱(chēng)A為對(duì)稱(chēng)矩陣，若A'=-A，則稱(chēng)A為反/斜對(duì)稱(chēng)矩陣。

25. 定義：如果AB=BA，則稱(chēng)A與B可交換。

26. 矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

27. 定理：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'；

28. 克萊姆法則：設(shè)A是n*n矩陣，線(xiàn)性方程組Ax=B——

    若|A|≠0，則方程組有唯一解：xi=Δi/Δ，其中Δ=|A|，Δi為|A|中第i列換為B，其它各列與|A|相同的n階行列式（i=1，2，……，n）.

參考資料：

1. 《數(shù)學(xué)分析》（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系?編）

2. 《空間解析幾何》（高紅鑄?王敬蹇 傅若男 編著）

3. 《高等代數(shù)題解精粹》（錢(qián)吉林?編著）

數(shù)學(xué)分析——

例題（來(lái)自《數(shù)學(xué)分析（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系?編）》）——

證明以下數(shù)列發(fā)散：{n^[（-1）^n]}.

證：

1. 當(dāng)n=2k時(shí)（k=1 ，2，……），

   lim?（2k）^[（-1）^（2k）]

   =lim 2k=+∞；

2. 數(shù)列上述子列為發(fā)散數(shù)列，所以該數(shù)列發(fā)散。

解析幾何——

例題（來(lái)自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）》）——

已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A（2，5，0），B（11，3，8），C（5，11，12），求AB邊上的中線(xiàn)之長(zhǎng)。

解：設(shè)AB中點(diǎn)為D，則中線(xiàn)為CD——

1. OD

   =（OA+OB）/2

   =（13/2，4，4）；

2. CD

   =OD-OC

   =（3/2，-7，-8）；

3. |CD|

   =（|CD|^2）^（1/2）

   =[（3/2）（3/2）+（-7）（-7）+（-8）（-8）]

   =461^（1/2）/2.

高等代數(shù)——

例題（來(lái)自《高等代數(shù)題解精粹（錢(qián)吉林?編著）》）——

設(shè)A，B為對(duì)稱(chēng)矩陣，試證：AB-BA為反對(duì)稱(chēng)矩陣。

證：

1. A，B為對(duì)稱(chēng)矩陣，則A'=A，B'=B；

2. （AB-BA）'

   =（AB）'-（BA）'

   =B'A'-A'B'

   =BA-AB

   =-（AB-BA），即AB-BA為反對(duì)稱(chēng)矩陣。

到這里！