書接上文，上次我們介紹了應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)的相關(guān)知識點(diǎn)，這一節(jié)我們對應(yīng)力圓和強(qiáng)度理論展開學(xué)習(xí)，這節(jié)知識點(diǎn)很重要喲~

1．三向應(yīng)力圓

如圖所示，以三個(gè)主應(yīng)力表示的單元體，由三個(gè)相互垂直的平面分別作應(yīng)力圓，將三個(gè)平面的應(yīng)力圓繪在同一平面上得到三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力圓，如圖所示。

與每一主應(yīng)力所對應(yīng)的應(yīng)力圓可由與該主平面相正交的其余面上的應(yīng)力作出。

注意：作三向應(yīng)力圓應(yīng)至少知道一個(gè)主應(yīng)力的大小和方向。

2．應(yīng)力圓方程

l、m、n?分別表示面?ABC?的法線?n?的三個(gè)方向余弦，可得

3．應(yīng)力圓的應(yīng)用

（1）確定任意斜截面上的應(yīng)力

應(yīng)力圓方程的第一式所確定的圓周在圓周?B1C1?之外，第二式所表示的圓周在圓周?A1B1?之內(nèi)，第三式所表示的圓周在圓周?A1C1?之外。因而上述三個(gè)圓周的交點(diǎn)?D，亦即斜面?ABC?上的應(yīng)力應(yīng)在圖 圖中畫陰影線的部分之內(nèi)。

（2）應(yīng)力極值

①正應(yīng)力：如圖所示，點(diǎn)?A1、B1?和?C1?的橫坐標(biāo)分別代表主應(yīng)力?ζ1、ζ2?和?ζ3。

②切應(yīng)力：如圖?7-1-5?所示，點(diǎn)?G1?的縱坐標(biāo)代表切應(yīng)力的極值，最大切應(yīng)力為

ηmax＝（ζ1－ζ3）/2

③方位：最大切應(yīng)力所在平面與?ζ2?主平面平行，與?ζ1、ζ3?主平面夾角互為?45°。

四、平面應(yīng)變狀態(tài)（選學(xué)內(nèi)容，不做要求）

1．任一方向的應(yīng)變

主應(yīng)變方向與主應(yīng)力方向相同，主應(yīng)變?ε1、ε2、ε3?與主應(yīng)力?ζ1、ζ2、ζ3?對應(yīng)；與應(yīng)力圓類似，存在應(yīng)變圓，與應(yīng)力圓有相同的特點(diǎn)，不同點(diǎn)是?γ?的坐標(biāo)有系數(shù)?1/2。

?2．主應(yīng)變計(jì)算公式

3．主應(yīng)變方向公式

tan2α0＝－γxy/（εx－εy）

五、廣義胡克定律

本節(jié)所列公式均僅在各向同性材料線彈性小變形條件下使用，各向異性材料的廣義胡克定律公式應(yīng)以矩陣形式表示。

1．胡克定律

單向拉伸或壓縮時(shí)，在線彈性范圍內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系為ζ＝Eε?或?ε＝ζ/E此外，軸向的變形將引起橫向尺寸變化，橫向應(yīng)變可表示為

ε′＝－με＝－μζ/E

2．剪切胡克定律

在純剪切的情況下，當(dāng)切應(yīng)力不超過剪切比例極限時(shí)，切應(yīng)力和切應(yīng)變之間的關(guān)系為

η＝Gγ或?γ＝η/G

3．廣義胡克定律

以圖所示坐標(biāo)系下的單元體為例。

（1）x、y、z?方向的線應(yīng)變

εx＝[ζx－μ（ζy＋ζz）]/E

εy＝[ζy－μ（ζz＋ζx）]/E

εz＝[ζz－μ（ζy＋ζx）]/E

（2）xy、yz、zx?三個(gè)面內(nèi)的切應(yīng)變

γxy＝ηxy/G

γyz＝ηyz/G

γzx＝ηzx/G

（3）主應(yīng)力-主應(yīng)變的關(guān)系

ε1＝[ζ1－μ（ζ2＋ζ3）]/E

ε2＝[ζ2－μ（ζ3＋ζ1）]/E

ε3＝[ζ3－μ（ζ1＋ζ2）]/E

此時(shí)，三個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)的切應(yīng)變等于零，主應(yīng)變與主應(yīng)力的方向重合。

4．體積胡克定律

（1）體應(yīng)變：單位體積的體積改變量，用?θ?表示，其計(jì)算式為

（2）體積胡克定律：體應(yīng)變計(jì)算公式可用體積彈性模量?K?和三個(gè)主應(yīng)力的平均應(yīng)力?ζ?m來表示，

即θ＝ζm/K。式中，K?為體積彈性模量，K＝E/[3（1－2μ）]；ζm為主應(yīng)力平均值ζm＝（ζ1＋ζ2＋ζ3）/3。

注意：單位體積的體積改變只與三個(gè)主應(yīng)力之和有關(guān)。

六、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變能密度

物體在單位體積內(nèi)所積蓄的應(yīng)變能稱為應(yīng)變能密度。

1．應(yīng)變能密度計(jì)算公式

（1）單向應(yīng)力狀態(tài)下，物體內(nèi)所積蓄的應(yīng)變能密度為

νε＝ζε/2＝ζ2/（2E）＝Eε2/2

（2）三個(gè)主應(yīng)力同時(shí)存在時(shí)，單元體的應(yīng)變能密度為

（3）應(yīng)變能密度的組成

應(yīng)變能密度由體積改變能密度?νV和畸變能密度?νd?兩部分組成，即νε＝νV＋νd

①體積改變能密度：單元體體積改變而儲存的應(yīng)變能密度，用?νV表示，計(jì)算式為

此時(shí)，單元體只發(fā)生體積變化，形狀不變。

②畸變能密度：單元體形狀改變而儲存的應(yīng)變能密度，用?νd?表示，計(jì)算式為

此時(shí)，單元體只發(fā)生形狀變化，體積不變。

2．三個(gè)彈性常數(shù)間的關(guān)系

G＝E/[2（1＋μ）]

3．計(jì)算復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變能注意事項(xiàng)

（1）應(yīng)變能的大小只決定于外力和變形的最終數(shù)值，而與加力次序無關(guān)。

（2）應(yīng)變能的計(jì)算不能采用疊加原理。

七、強(qiáng)度理論

材料失效形式主要有屈服失效和斷裂失效兩種。

（1）屈服失效：材料出現(xiàn)顯著的塑性變形而喪失其正常的工作能力。

（2）斷裂失效：有脆性斷裂和韌性斷裂兩種形式。

其中，脆性斷裂是指在無明顯的變形下突然斷裂；韌性斷裂是指在產(chǎn)生大量塑性變形后斷裂。1．常用強(qiáng)度理論

常用強(qiáng)度理論主要適用于常溫靜載荷下的均勻、連續(xù)、各項(xiàng)同性材料。

（1）第一強(qiáng)度理論（最大拉應(yīng)力理論）

①理論假定：最大拉應(yīng)力是引起斷裂的主要因素；

②斷裂準(zhǔn)則：ζ1＝ζb；?

③相當(dāng)應(yīng)力：ζr1＝ζ1；?

④強(qiáng)度條件：ζr1≤[ζ]。?

（2）第二強(qiáng)度理論（最大伸長線應(yīng)變理論）

①理論假定：最大伸長線應(yīng)變是引起斷裂的主要因素；

②斷裂準(zhǔn)則：ζ1－μ（ζ2＋ζ3）＝ζb；

?③相當(dāng)應(yīng)力：ζr2＝ζ1－μ（ζ2＋ζ3）；

④強(qiáng)度條件：ζr2≤[ζ]。?

（3）第三強(qiáng)度理論（最大切應(yīng)力理論）

①理論假定：最大切應(yīng)力是引起屈服的主要因素；

②屈服準(zhǔn)則：ζ1－ζ3＝ζs；

?③相當(dāng)應(yīng)力：ζr3＝ζ1－ζ3；?

④強(qiáng)度條件：ζr3≤[ζ]。?

（4）第四強(qiáng)度理論（畸變能密度理論）

①理論假定：畸變能密度是引起屈服的主要因素；

②屈服準(zhǔn)則

③相當(dāng)應(yīng)力：

④強(qiáng)度條件：ζr4≤[ζ]。?

（5）常用強(qiáng)度理論的選取

2．莫爾強(qiáng)度理論

（1）相當(dāng)應(yīng)力：ζrM＝ζ1－[ζt]ζ3/[ζc]。?

（2）強(qiáng)度條件：ζrM≤[ζt]。?

（3）莫爾強(qiáng)度理論與常用強(qiáng)度理論的對比：

由莫爾理論可以得出第三強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件，往往把它看作是第三強(qiáng)度理論的推廣。

但有本質(zhì)區(qū)別：莫爾理論是以實(shí)驗(yàn)資料為基礎(chǔ)，經(jīng)合乎邏輯的綜合得出的，并非以失效假說為基礎(chǔ)。因此，莫爾理論的方法是比較正確的。

3．構(gòu)件含裂紋時(shí)的斷裂準(zhǔn)則

假設(shè)與裂紋的尺寸相比，平板的長與寬可認(rèn)為是無限大的，材料是線彈性的。

①應(yīng)力強(qiáng)度因子穿透平板厚度的裂紋長為?2a，裂紋尖端附近各點(diǎn)的應(yīng)力，成比例地增長或減少，???πa稱為應(yīng)力強(qiáng)度因子，并記為?KI。

②斷裂準(zhǔn)則：KI＝KIc，式中，KIc為斷裂韌性，是材料的固有力學(xué)性能。

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