本章重點
掌握梁彎曲變形時的變形計算和剛度問題掌握簡單超靜定梁的求解方法撓曲線及微分方程積分法求彎曲變形疊加法求彎曲變形簡單超靜定梁

提高梁彎曲剛度的措施

一、撓曲線

1．基本概念

（1）撓度：

橫截面形心?C（即軸線上的點）在垂直于?x?軸方向的線位移，稱為該截面的撓度，用?w?表示，如圖所示。

（2）轉(zhuǎn)角：

橫截面對其原來位置的角位移，稱為該截面的轉(zhuǎn)角，用???表示。

（3）撓曲線：

梁變形后的軸線稱為撓曲線，是一條光滑連續(xù)曲線。

①一般彎曲：梁的軸線變形后是一條空間曲線；

②平面彎曲：梁的軸線變形后是一條平面曲線；

③對稱彎曲：梁的軸線變形后是一條平面曲線，此曲線在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)。

（4）小變形情況下，撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系：θ≈tanθ＝w′（x）。

（5）撓度和轉(zhuǎn)角的符號規(guī)定撓度向上為正，向下為負(fù)；

轉(zhuǎn)角自?x?轉(zhuǎn)至撓曲線的切線方向，逆時針轉(zhuǎn)為正，順時針轉(zhuǎn)為負(fù)。

2．撓曲線微分方程

（1）由純彎曲變形和橫力彎曲變形忽略剪切應(yīng)力的情況下，彎矩與曲率間的關(guān)系式

并根據(jù)數(shù)學(xué)計算得撓曲線的微分方程

（2）撓曲線的近似微分方程

小變形情況下，由于撓曲線極其平坦，即?dw/dx?很小，撓曲線微分方程中（dw/dx）2?與?1?相比可以忽略不計，所以可得撓曲線的近似微分方程

二、積分法求彎曲變形

1．基本方程

（1）轉(zhuǎn)角方程：

（2）撓度方程：

2．積分常數(shù)的確定

（1）邊界條件

梁在其支承處的撓度或轉(zhuǎn)角是已知的，這樣的已知條件稱為邊界條件。

①懸臂梁如圖（a）所示，固定端撓度和轉(zhuǎn)角都等于零，即?x＝0：wA＝0，θA＝0。

②簡支梁如圖（b）所示，鉸支座處約束條件為撓度等于零，即?x＝0：wA＝0；x＝l：wB＝0。

（2）連續(xù)條件

梁的撓曲線是一條連續(xù)、光滑、平坦的曲線。因此，在梁的同一截面上不可能有兩個不同的撓度值或轉(zhuǎn)角值，這樣的已知條件稱為連續(xù)條件。

①若中間存在鉸支座，則在中間鉸處，撓度連續(xù)，轉(zhuǎn)角不連續(xù)；

②在集中力、集中力偶以及分布載荷間斷處，兩側(cè)的撓度、轉(zhuǎn)角應(yīng)相等w1＝w2，θ1＝θ2

3．積分法的原則

以圖所示簡支梁為例說明積分法的原則：

（1）對各段梁，都是由坐標(biāo)原點到所研究截面之間的梁段上的外力來寫彎矩方程的，所以后一段梁的彎矩方程包含前一段梁的彎矩方程，只增加了（x－a）的項；

（2）對（x－a）的項作積分時，應(yīng)該將（x－a）項作為積分變量，從而簡化了確定積分常數(shù)的工作；

（3）凡載荷有突變處（包括中間支座），應(yīng)作為分段點；

（4）凡截面有變化處，或材料有變化處，應(yīng)作為分段點；

（5）中間鉸視為兩個梁段間的聯(lián)系，此種聯(lián)系體現(xiàn)為兩部分之間的相互作用力，故應(yīng)作為分段點；

（6）凡分段點處應(yīng)列出連續(xù)條件，根據(jù)梁的變形的連續(xù)性，對同一截面只可能有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角，在中間鉸兩側(cè)雖然轉(zhuǎn)角不同，但撓度卻是唯一的。

三、用疊加法求彎曲變形

1．疊加原理

梁的變形微小，且梁在線彈性范圍內(nèi)工作時，梁在幾項載荷（可以是集中力，集中力偶或分布力）同時作用下的撓度和轉(zhuǎn)角，就分別等于每一載荷單獨作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加。當(dāng)每一項載荷所引起的撓度為同一方向（如均沿?y?軸方向），其轉(zhuǎn)角是在同一平面內(nèi)（如均在?xy?平面內(nèi)）時，則疊加就是代數(shù)和，即

2．疊加方法

（1）載荷疊加

①多個載荷作用的情形

如圖所示，以在均布載荷?q?和集中力?F?共同作用下的簡支梁為例說明。將其分解為集中力?F?和均布載荷?q?單獨作用的情形，由撓度表查得二者單獨作用下產(chǎn)生的撓度和轉(zhuǎn)角，將所得結(jié)果以代數(shù)和的形式疊加，即可得到兩載荷同時作用的結(jié)果。

②間斷性分布載荷作用的情形

以圖所示為例，根據(jù)受力與約束等效的要求，將間斷性分布載荷?q?變?yōu)榱喝L上連續(xù)分布的載荷?q/2，然后在原來沒有分布載荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布載荷?q/2，最后應(yīng)用疊加法。

（2）變形疊加

逐段分析法：將梁的撓曲線分成幾段，首先分別計算各段梁的變形在某特定截面引起的位移（撓度和轉(zhuǎn)角），然后計算其總和（代數(shù)和或矢量和），即該處位移。在分析各段梁的變形在某一特定截面引起的位移時，除所研究的梁段發(fā)生變形外，其余各段梁均視為剛體。求解過程如圖所示。

3．梁在簡單載荷作用下的變形

4．疊加原理的適用條件

疊加原理只適用于線性函數(shù)，要求撓度、轉(zhuǎn)角是載荷的線性函數(shù)。

（1）彎矩與載荷成線性關(guān)系梁發(fā)生小變形，忽略各載荷引起梁的水平位移。

（2）曲率?1/ρ?與彎矩成線性關(guān)系梁處于線彈性范圍內(nèi)，滿足胡克定律。

（3）撓曲線二階導(dǎo)數(shù)?w″與?1/ρ?成線性關(guān)系

1＋w′2≈1.0，即梁的變形為小變形。

5．剛度條件

|w|max≤[w]|θ|max≤[θ]式中，|w|max和|θ|max為梁撓度和轉(zhuǎn)角的最大值；

[w]和[θ]為規(guī)定的許可撓度和轉(zhuǎn)角。

四、簡單超靜定梁

1．基本概念

（1）超靜定梁：未知支反力數(shù)目大于靜力平衡方程數(shù)目的梁。

（2）多余約束：從維持平衡角度而言，多于維持其靜力平衡所必需的約束。

（3）多余反力：與多余約束相對應(yīng)的支座反力。

（4）超靜定次數(shù)：多余約束或多余支反力的數(shù)目。

（5）靜定基：將靜不定系統(tǒng)中的多余約束解除后，得到的“靜定基本系統(tǒng)”。?

（6）相當(dāng)系統(tǒng)：在靜定基上加上外載荷以及多余約束力，便得到受力和變形與靜不定系統(tǒng)完全相同的“相當(dāng)系統(tǒng)”。

?2．超靜定梁的求解步驟

（1）確定超靜定次數(shù)

（2）選擇基本靜定基如圖所示，以一端固定，一端鉸支的梁?AB?為例。該梁有四個未知反力，為一次靜不定系統(tǒng)。不同基本靜定基的選擇如下：

a．解除?B?支座的約束，以約束反力代替，即選擇一端固定一端自由的懸臂梁作為基本靜定基，相應(yīng)的相當(dāng)系統(tǒng)如圖（a）所示。

b．解除?A?端阻止轉(zhuǎn)動的約束，以約束反力代替，即選擇兩端簡支的梁作為基本靜定基，相應(yīng)的相當(dāng)系統(tǒng)如圖（b）所示。?

基本靜定基選取遵循的原則：

a．基本靜定基必須能維持靜力平衡，且為幾何不變系統(tǒng)。

b．基本靜定基要便于計算，即要有利于建立變形協(xié)調(diào)條件。

一般來說，求解變形時，懸臂梁最為簡單，其次是簡支梁，最后為外伸梁。

（3）列出變形協(xié)調(diào)條件比較原靜不定梁和靜定基在解除約束處的變形，根據(jù)基本靜定基的一切情況要與原超靜定梁完全相同的要求，得到變形協(xié)調(diào)條件。如圖所示，為不同基本靜定基下的變形協(xié)調(diào)條件。

（4）用積分法或疊加法求變形，并求出多余未知力。

（5）根據(jù)靜力平衡條件在基本靜定梁上求出其余的約束反力。

（6）在基本靜定梁上按照靜定梁的方法求解內(nèi)力、應(yīng)力和變形。

五、提高彎曲剛度的措施

梁的變形除了和載荷與梁的約束有關(guān)外，還取決于材料、截面和跨度，表現(xiàn)為梁的變形與彈性模量?E?成反比，與截面的慣性矩?Iz成反比，與跨度?l?的?n?次冪成正比。

1．改善結(jié)構(gòu)形式，減小彎矩的數(shù)值

（1）改變載荷類型

把集中力分散成分布力（如圖所示，彎矩有效減?。蛘呤沽Φ淖饔命c盡量靠近支座，可以取得減小彎矩降低彎曲變形的效果。

（2）改變支座形式

縮小支座跨度是減小彎曲變形的有效方法，若長度不能縮短可采取增加支承的方法提高梁的剛度，如圖所示。

2．選擇合理的截面形狀

增大截面慣性矩的數(shù)值，可以提高彎曲剛度，工字型、槽形、T?形截面都比面積相等的矩形截面有更大的慣性矩。

3．合理選擇材料

彎曲變形與材料的彈性模量?E?有關(guān)，E?值越大彎曲變形越小。

【END】本章節(jié)的學(xué)習(xí)到這就結(jié)束了，要把握重點，不斷練習(xí)喲~

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