史濟(jì)懷老師視頻課微分方程部分——

&3.二階線性微分方程的一般理論

&3.2二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)

問題：設(shè)y0(x)是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的一個特解，y1(x)，y2(x)是方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的一個基本解組，則y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的通解是y=y0(x)+c1y1(x)+c2y2(x)，求滿足條件的一對c1，c2。

解：

• 已知y*(x)=c1y1(x)+c2y2(x)，要確定一對c1，c2，使得y*(x)是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的一個解；

• 求導(dǎo)

• 因?yàn)橐乙唤Mc1，c2即可，所以為了方便討論，不妨設(shè)
  

• 那么

• 又有

• 于是我們得到關(guān)于c1(x)'、c2(x)'的方程組：

——第一個式子來自于前面我們的假設(shè)；

• 方程對應(yīng)的系數(shù)行列式為：

• 根據(jù)克萊姆法則，該方程組的解為：

• 將上述導(dǎo)數(shù)分別積分即得所求：