有研究高等數(shù)學(xué)的小伙伴們應(yīng)該都知道“上帝公式”吧。那是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的公式，它的一般形式是e^(iπ)=-1.?這個(gè)公式在自然常數(shù)e,?虛數(shù)單位i,?圓周率π和實(shí)數(shù)單位1之間，構(gòu)造了一種聯(lián)系。老黃在高數(shù)探究中，無(wú)意間也發(fā)現(xiàn)了一個(gè)數(shù)學(xué)公式，這個(gè)公式與“上帝公式”有直接的聯(lián)系，因此老黃就稱它為上帝的“私生子”公式。

那是老黃在探究第二類(lèi)基本分式的“兩個(gè)兒子”的復(fù)變公式過(guò)程中推導(dǎo)得到的一個(gè)復(fù)變函數(shù)公式。復(fù)變函數(shù)方面的內(nèi)容，老黃還從來(lái)沒(méi)有接觸過(guò)。但是數(shù)學(xué)是相通的，就算老黃完全沒(méi)有接觸過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)對(duì)目前的知識(shí)的探究，也一樣可以把它挖掘出來(lái)的。

下圖列舉的是第二類(lèi)基本分式的“小兒子”的三個(gè)公式。前兩個(gè)是實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的公式，最后一個(gè)是復(fù)變函數(shù)形式的公式。

最后兩個(gè)公式，除了首項(xiàng)，后面的求和公式部分是完全一樣的。因此不難發(fā)現(xiàn)，首項(xiàng)約分后，剩余部分的導(dǎo)數(shù)是相等的。因此它們相差一個(gè)常數(shù)。所以可以猜想他們是相等的。下面是證明它們相等的過(guò)程。

到這里都有限定參數(shù)a>0，而特別地，當(dāng)a=1時(shí)，又可以得到一個(gè)公式的特殊形式。正是這個(gè)形式，和“上帝公式”產(chǎn)生直接的關(guān)聯(lián)的。下面是對(duì)兩者的關(guān)系的探究過(guò)程。

既然“小兒子”不定積分有復(fù)變公式，那么“大兒子”肯定也會(huì)有復(fù)變公式。下面是對(duì)大兒子的復(fù)變公式的一個(gè)探究過(guò)程。

接下來(lái)用兩道例題檢驗(yàn)一下這個(gè)復(fù)變公式。

例1：求∫dx/(x^2+4)^3 .

例2：求∫dx/(x^2+4)^2 .

推導(dǎo)的過(guò)程并沒(méi)有問(wèn)題，僅擔(dān)心由于正負(fù)i的平方都等于-1，由此產(chǎn)生錯(cuò)誤。只要分母奇數(shù)冪的實(shí)例，和偶數(shù)冪的實(shí)例都不造成符號(hào)上的問(wèn)題，那么這個(gè)公式就是正確的了。

將“大兒子”的實(shí)數(shù)公式和復(fù)變公式進(jìn)行對(duì)比，與“小兒子”同理，也可以得到另外一個(gè)復(fù)變公式。

下面是對(duì)第二個(gè)復(fù)變公式的證明過(guò)程：

兩個(gè)公式其實(shí)是一致的，通過(guò)拓展，可以發(fā)現(xiàn)，只要a不等于0，上帝的“私生子”公式（只是一個(gè)名字，為了喊起來(lái)方便罷了）都是成立的。

而只要用x/根號(hào)a代替公式中的x，并對(duì)公式進(jìn)行變形，就可以得到一個(gè)與a無(wú)關(guān)的，純正的“私生子”公式。

事實(shí)上，由于公式是在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的。所以公式最終形式中的絕對(duì)值符號(hào)，是可以去掉的。由于老黃沒(méi)有探究過(guò)復(fù)變函數(shù)方面的內(nèi)容。所以這已經(jīng)是老黃所能推導(dǎo)的極限了。當(dāng)然，代入不同的數(shù)值，還可以推出很多東西來(lái)，但沒(méi)有實(shí)質(zhì)的區(qū)別，等以后老黃探究到復(fù)變函數(shù)方面的知識(shí)時(shí)，再為大家繼續(xù)深入分析吧。

很可惜，這個(gè)公式目前已經(jīng)存在了。否則老黃是不是就能成功了呢？關(guān)鍵不是公式本身，而是探究數(shù)學(xué)的精神。天可憐見(jiàn)，老黃總有一天會(huì)成功的！