1.狄利克雷逼近定理

如果α是一個實數(shù)，對任意一個正整數(shù)n，存在整數(shù)a和b，1≦a≦n，使得|aα-b|＜1/n.

分析:這里是證明a和b這兩個整數(shù)是存在的，我們知道1/n=(k+1-k)/n，因此可以考慮構(gòu)建含有α的兩個式子之差與之類似.另外，我們知道{α}∈[0,1)，將該區(qū)間劃分為∪[k/n,k+1/n)，k∈[0,n)，一定有0∈[0,1/n)，結(jié)合抽屜原理，我們不妨設(shè)n+1個數(shù)，其一般形式為jα，j∈[0,n].注意，以上k和j均為整數(shù).

證明:

∵{α}∈[0,1)

∴{jα}∈[0,1)，j=0,1,...,n.

將[0,1)分成∪[k/n,k+1/n)，k=0,1,...,n-1.

∴任意j，存在k，使{jα}∈[k/n,k+1/n).

{jα}這樣的數(shù)共有n+1個，而[k/n,k+1/n)這樣的區(qū)間只有n個，由抽屜原理可知，至少有兩個數(shù)在同一個區(qū)間.用兩個不同整數(shù)m和n（0≦m,n＜1）表示，則這兩個數(shù)分別為{mα}、{nα}.

∴|{mα}-{nα}|＜1/n

∵{mα}=mα-[mα]，{nα}=nα-[nα]

∴|mα-[mα]-(nα-[nα])|

即有|(m-n)α-([mα]-[nα])|

令a=m-n，b=[mα]-[nα]即可

2.證明當x為非負數(shù)時，[√([x])]=[√(x)]

證明:

當x∈[0,1]時容易得到結(jié)論，故僅證明x＞1的情形

∵[x]≦x

∴√([x])≦√(x)

∵√(x)-1＜√(x-1)，√(x)＜√(x)+1，x-1＜[x]

∴√(x)-1＜√(x-1)＜√([x])≦√(x)＜√(x)+1

∴[√(x)]-1=[√(x)-1]＜[√([x])]≦[√(x)]＜[√(x)+1]=[√(x)]+1

∵[√(x)]-1、[√(x)]、[√(x)]+1之間別無整數(shù)

∴[√([x])]=[√(x)]