關(guān)于數(shù)學(xué)中橢圓切線的另類求法

已知兩定點(diǎn)A(-2,0)和B（2,0），動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在直線y=x+3上運(yùn)動(dòng)，橢圓C以A、B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P，則橢圓C的離心率的最大值為多少？

分析：首先我們有a^2=b^2+c^2

??????其中c=2恒成立，要求離心率的最大值，我們只需使a最小

??????隨著a的減小，橢圓會(huì)逐漸遠(yuǎn)離直線，依據(jù)題目意思，橢圓與直線有交點(diǎn)?

??????故存在一個(gè)臨界值恰好相切，此時(shí)a為滿足題意的最小值???????????????????????????????????

??????進(jìn)而此題轉(zhuǎn)化為求c=2且有一條切線為y=x+3的橢圓的離心率??

如圖?

? 圖中即為相切情況 要求此時(shí)橢圓的離心率，我們一般選擇將直線方程代入橢圓，再利用?=0求解，而這計(jì)算量并不算小，我們?cè)倏戳硪活}

已知橢圓C的方程為x^2/4+y^2=1，求x+2√3y的最值？

這道題目有兩種常見解法

解法一：令x=2cosɑ，y=sinɑ ,代入x+2√3y，利用輔助角公式求最值

解法二：令x+2√3y=m，那么這樣/m/就變成了直線在x軸上的截距

????????相切時(shí)截距最大，利用上題中求切線的方法可求

通過這兩道題目，我們不難發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系，我們可以使用三角函數(shù)來求得橢圓的切線。

第一題中，設(shè)橢圓的方程為x^2/a2+y2/（a^2-4）=1，這樣我們就可以令x=acosɑ???y=√（a^2-4）sinɑ

y= x+3是它的切線，說明y-x=m中m的最值為3

將x=acosɑ??y=√（a^2-4）sinɑ代入y-x=m，再利用輔助角公式有y-x=√(a^2-4+a^2)sin（ɑ+Θ）??tanΘ=a/√（a^2-4），其中y-x最值為3????????????????????????????????????故√(a^2-4+a^2)=3解得a=√26/2，即離心率最大值為2√26/13。

通過這樣的方法我們可以省去極大的麻煩，很快算得答案。

嘗試將其進(jìn)行推廣。

如果我們遇到這樣一道題，求經(jīng)過某點(diǎn)的切線。分兩種情況，一是點(diǎn)在曲線上，一是點(diǎn)在曲線外。對(duì)于點(diǎn)在曲線上，我們可以直接利用二級(jí)結(jié)論求解。

對(duì)于橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1上的點(diǎn)P（m，n）其斜率為-b^2m/a^2n

對(duì)于雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1上的點(diǎn)P（m，n）其斜率為b^2m/a^2n

對(duì)于y^2=2px上的點(diǎn)P（m，n）其斜率為p/n

對(duì)于x^2=2py上的點(diǎn)P（m，n）其斜率為m/p

在曲線上又分為在坐標(biāo)軸上與不在坐標(biāo)軸上

坐標(biāo)軸上:例如（0，n），不妨令切線為y=kx+n，即y-kx=n，將其用三角換元代換，同上用輔助角公式即可求出k的值。

不在坐標(biāo)軸上：在曲線外與其為同一種解法。例如P（m，n），設(shè)切線為y-n=k（x-m），整理有y-kx=n-mk，同上三角代換及輔助角公式可求解。

不妨試試這道改編題

求經(jīng)過（1,4）的橢圓2x^2/13+2y^2/5=1 的切線？

解：設(shè)切線方程為y-4=k(x-1)，即y-kx=4-k

另設(shè)x=√26/2cosɑ?y=√10/2sinɑ 代入直線√10/2sinɑ-√10/2kcosɑ?=4-k??????????????????????????????????????????????? ??根據(jù)輔助角公式有√(10/4+26/4k^2)sin（ɑ+Θ）=4-k??tanΘ=-(√65)k/5

切線中滿足4-k為最值，故而√(10/4+26/4k^2)=4-k

解得k=1或-27/11

如此看來，這樣的方法具有一定的適用性，簡潔有趣，或許可以推廣至所有可使用三角換元的曲線。