以直代曲是微積分的基本思想

用來(lái)代替曲線的直線就是切線，這就是本課要討論的問題

1 困難

對(duì)于一條曲線

我們感興趣的，可能有它的長(zhǎng)度

它的面積，等等

但很顯然，因?yàn)槭乔€，所以這些并不好求解。

我們需要想辦法把它用直線表示。

2 分析

假設(shè)有曲線和直線，如果兩者完全相等，那么有：

不過這顯然很難辦到。

但可以做到在某一點(diǎn)相等

下面，我們稍微進(jìn)一步。以為中心，取一小段

在這一段上,與相差很小

并且，隨著的減小，直線不斷逼近曲線

將此推廣到整條曲線。首先將，曲線分成若干份

每份都用一條線段代替

并且隨著劃分的越來(lái)越細(xì)，這些直線越來(lái)越接近之前的曲線

這種，用直線代替曲線的方法，稱為以直代曲。

下面，將前面的分析，落到代數(shù)上

3 建模

3.1 條件一

前面說過，在一小段區(qū)間上，直線與曲線相差較小

加上高階無(wú)窮小,就可以把約等于變成等于

3.2 條件二

其次，曲線與直線在點(diǎn)處相等。

如果，此時(shí)再知道直線的斜率

那么就能得到直線的表達(dá)式

下面，我們就來(lái)求解斜率

4 斜率

經(jīng)過上面的分析我們有了：

將用代替

等式兩邊同除

兩側(cè)取極限：

根據(jù)高階無(wú)窮小的定義，可知等式右邊為零

略微作一下化簡(jiǎn)可得：

這個(gè)式子中的每個(gè)元素都是已知的。

這樣如果極限存在，則斜率存在，斜率存在就能求出直線

這就是以直代曲中的直，也就是切線。