前言

?? ? ? ?這個分析在今年4月就已經(jīng)分析完了，一直以紙質(zhì)形式陪伴到現(xiàn)在，現(xiàn)在紙都爛了?，F(xiàn)在想想，紙遲早都會丟的，人又是健忘的，還是總結(jié)成電子稿，寫入HDD，順手發(fā)個專欄更加實(shí)在。

? ? ????我分析這時，一堆人說分析這玩意沒用，我只能說，你覺得沒用不代表別人覺得沒用，現(xiàn)在用不著不代表以后用不著。

正文

??? ? ??此電路是我從一本書看到的（某營銷號那也見過），不是我設(shè)計(jì)的，我敢說設(shè)計(jì)這個的簡直是天才。

? ? ? ??PID是：Proportional（比例）、Integral（積分）、Differential（微分）的縮寫。IPDPI是我給它起的名字，表明這個以集成運(yùn)放實(shí)現(xiàn)的電路已經(jīng)集比例（P）、積分（I）、微分（D）于一體。

? ? ????一開始我是想直接分析的，然而這玩意太難算，然后放棄了（不排除以后我又會再算一遍）。然后改變策略，分塊計(jì)算。

簡化

? ? ? ??把兩端一大片電容電阻，合并成阻抗Z1和Z2，這時候，只要推導(dǎo)出Z1的傳遞函數(shù)，Z2的傳遞函數(shù)，以及運(yùn)放與Z1、Z2組合的傳遞函數(shù)，電路即可分析完成。

? ??? ??經(jīng)過簡單計(jì)算，可得輸出電壓與輸入電壓關(guān)系（默認(rèn)電路元件為理想，下文同）。A代表輸出振幅，為Z1和Z2的模之比；θ代表輸出相位，為Z1相角減去Z2相角加上π（因?yàn)檫\(yùn)放接成反比例形式，自帶180°反相）。

RC串并C

? ? ? ??現(xiàn)在單獨(dú)分析Z1部分，是一個RC串聯(lián)再并聯(lián)一個C，目的是求出這個電路的阻抗Z。Z求出后，就可代入公式2.1計(jì)算。

? ? ????注意，由于電容的容抗與信號頻率有關(guān)系，所以Z將是一個函數(shù)，以頻率ω為自變量。

? ? ?? ?我致力于把公式轉(zhuǎn)化成振幅和相角的表達(dá)方式（手算的，工作量巨大），特別是振幅我對其進(jìn)行了開對數(shù)處理。因?yàn)閷?shù)化后，在對數(shù)坐標(biāo)系中可以更加直觀看出其特性。

? ? ? ??下圖為該公式的函數(shù)圖“l(fā)g(|Z|)”（紫色）和“θ”（藍(lán)色）。橫坐標(biāo)為ω的以10位底對數(shù)，單位：lg(rad/s)；對于紫色，縱坐標(biāo)為阻抗Z的模長的以10為底對數(shù)，單位：lg(Ω)。對于藍(lán)色，縱坐標(biāo)為阻抗Z的幅角，單位：rad（弧度制）。

? ? ? ??其中，近似表達(dá)式是簡化分析的重要手段。在波特圖中，除了轉(zhuǎn)折頻率處略有誤差，其它地方基本可以用直線擬合。公式3.3、3.4將是對振幅lg(|Z|)的近似表達(dá)，借助公式3.3、3.4即可快速作出波特圖并設(shè)計(jì)電路。

? ? ? ? 當(dāng)C1遠(yuǎn)大于C2時（C1>>C2），公式可以進(jìn)一步近似：

? ? ? ??下圖為近似表達(dá)式的函數(shù)圖“l(fā)g(|Z|)”（紅色）和“θ”（藍(lán)色）。橫縱坐標(biāo)代表同上。可見紅色和紫色幾乎重疊，除了轉(zhuǎn)折頻率處略有誤差。圖中用倆豎虛線標(biāo)注轉(zhuǎn)折頻率，一橫虛線代表-π/4。

總結(jié)：

? ? ? ??RC串并C，隨著頻率升高依次體現(xiàn)[容]→[阻]→[容]特性。等效阻抗為[倆C并]→[R略削]→[小C]，轉(zhuǎn)折頻率為[R與大C時間常數(shù)]→[R與倆C串時間常數(shù)]；相位[-90°]→[0°]→[-90°]。前提是與R串的C要大于最好遠(yuǎn)大于外并的C（C1＞C2）。

RC串并R

? ? ? ??現(xiàn)在分析Z2部分，是一個RC串聯(lián)再并聯(lián)一個R，目的是求出這個電路的阻抗Z。Z求出后，就可代入公式2.1計(jì)算。

? ? ????由于電容的容抗與信號頻率有關(guān)系，所以Z將是一個函數(shù)，以頻率ω為自變量。

? ? ?? ?為了計(jì)算時的方便，我把電阻R換成了電導(dǎo)G。轉(zhuǎn)換關(guān)系是G=1/R（倒數(shù)）。

? ? ? ??下圖為該公式的函數(shù)圖“l(fā)g(|Z|)”（紫色）和“θ”（藍(lán)色）。橫坐標(biāo)為ω的以10位底對數(shù)，單位：lg(rad/s)；對于紫色，縱坐標(biāo)為阻抗Z的模長的以10為底對數(shù)，單位：lg(Ω)。對于藍(lán)色，縱坐標(biāo)為阻抗Z的幅角，單位：rad（弧度制）。

? ? ? ??同理使用近似表達(dá)式簡化公式。公式4.3、4.4將是對振幅lg(|Z|)的近似表達(dá)，借助公式4.3、4.4即可快速作出波特圖并設(shè)計(jì)電路。

? ? ? ??當(dāng)G3遠(yuǎn)大于G2時（G3>>G2或者說R3<<R2），公式可以進(jìn)一步近似：

? ? ? ??下圖為近似表達(dá)式的函數(shù)圖“l(fā)g(|Z|)”（紅色）和“θ”（藍(lán)色）。橫縱坐標(biāo)代表同上?？梢娂t色和紫色幾乎重疊，除了轉(zhuǎn)折頻率處略有誤差。圖中用倆豎虛線標(biāo)注轉(zhuǎn)折頻率，一橫虛線代表-π/4。

總結(jié)：

? ? ????RC串并R，隨著頻率升高依次體現(xiàn)[阻]→[容]→[阻]特性。等效阻抗為[大R]→[C略削]→[倆R并]，轉(zhuǎn)折頻率為[C與倆R串時間常數(shù)]→[C與小R串時間常數(shù)]；相位[0°]→[-90°]→[0°]。前提是與C串的R要小于最好遠(yuǎn)小于外并的R（R3＜R2）。

比例、積分、微分

? ? ????回到最初的圖：

? ? ? ??隨著Z1和Z2體現(xiàn)的阻抗不同，電路將實(shí)現(xiàn)不同的功能：

1.（反）比例器

? ? ? ??當(dāng)Z1和Z2均體現(xiàn)阻性或者容性時，與運(yùn)放組合形成比例器（P），比例為|Z1|/|Z2|，相移180°。

2.積分器

? ? ? ??當(dāng)Z1體現(xiàn)容性，Z2體現(xiàn)阻性時，與運(yùn)放組合形成積分器（I），積分系數(shù)為|Z1|/|Z2|，與信號頻率有關(guān)，相移90°。

3.微分器

? ? ?? ?當(dāng)Z1體現(xiàn)阻性，Z2體現(xiàn)容性時，與運(yùn)放組合形成微分器（D），微分系數(shù)為|Z1|/|Z2|，與信號頻率有關(guān)，相移270°（-90°）。

設(shè)計(jì)指導(dǎo)

? ? ? ??如果把前文內(nèi)容掌握了，那設(shè)計(jì)IPDPI器就很容易了。Z1有兩個轉(zhuǎn)折頻率，通過調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率控制Z1依次體現(xiàn)容阻容性；Z2也有兩個轉(zhuǎn)折頻率，通過調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率控制Z2依次體現(xiàn)阻容阻性。按照Z1和Z2的組合，產(chǎn)生阻阻——比例；容阻——積分；阻容——微分即可。不推薦使用容容——比例，因?yàn)殡娙葜圃煺`差比電阻大。

????兩數(shù)除法，若兩數(shù)經(jīng)過對數(shù)化后，即變成減法。使用近似表達(dá)式中的lg(|Z1|)、lg(|Z2|)（綠色、紅色），作減法得lg(|Z1|)-lg(|Z2|)（藍(lán)色），只要乘上系數(shù)20，即形成電路響應(yīng)波特圖，縱坐標(biāo)單位為dB。下圖僅為演示作用，參數(shù)請按照實(shí)際需求設(shè)計(jì)。

? ? ? ??相移的話，還是電腦作圖吧：

? ? ? ??如果并不想實(shí)現(xiàn)IPDPI這么多功能，僅僅想實(shí)現(xiàn)一兩個功能，可以刪除一些電容和電阻。計(jì)算時，可以采用極限近似替代。如：

1.短路：令R→0Ω（G→∞S），令C→∞F。

2.開路：令R→∞Ω（G→0S），令C→0F。

? ? ? ??這樣可以讓Z只體現(xiàn)[容]→[阻]性（RC串），或者[阻]→[容]性（RC并），或者只會體現(xiàn)阻性或者容性。通過組合可以產(chǎn)生。

茶談經(jīng)驗(yàn)

? ? ? ??積分器特性是：對高頻噪聲有很好的抑制作用，而對靜差會一直累積到飽和。因?yàn)榧蛇\(yùn)放往往非理想，有失調(diào)電壓和失調(diào)電流，這些往往是常數(shù)或者是變化很緩慢，可以看成直流信號或極低頻信號。于是集成運(yùn)放直接組成積分器會有個缺點(diǎn)：即使沒有輸入，輸出也會逐漸偏移并達(dá)到飽和。

? ? ????微分器特性是：對高頻噪聲非常的敏感，而對靜差基本不響應(yīng)。因?yàn)槲⒎制骱苋菀资艿礁蓴_，實(shí)際上用的較少。

? ? ? ??其實(shí)，微分器和積分器的優(yōu)缺點(diǎn)恰恰是相反互補(bǔ)的。積分器怕靜差，微分器怕噪聲。為什么不能設(shè)計(jì)一個DI器呢？

? ? ? ??在教科書中，往往會在電容旁邊并聯(lián)一個電阻，實(shí)際上運(yùn)放就變成了一個PI器。對于轉(zhuǎn)折頻率以上的信號，體現(xiàn)出積分器特性，對于轉(zhuǎn)折頻率以下體現(xiàn)比例器特性。而比例器對靜差有放大的，只是不明顯罷了。如果使用微分器，甚至可以完全不響應(yīng)靜差（對直流分量無響應(yīng)）。

? ? ?? ?設(shè)置合適的RC值調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率，可以設(shè)置出一個DPI器，如果控制得好，P部分很窄，可以直接看成DI器。對于靜差，微分器負(fù)責(zé)抑制；對于噪聲，積分器負(fù)責(zé)抑制。使用時，輸入信號在轉(zhuǎn)折頻率以上，就可以當(dāng)做積分器使用；在轉(zhuǎn)折頻率以下，就可當(dāng)做微分器使用。

后記

? ? ? ??完，感謝閱讀，想用時翻閱就是。

? ? ? ??公式可能非標(biāo)，部分可能寫錯，錯了可以在評論區(qū)說明下。

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