代數(shù)數(shù)論筆記（一）：跡、范、判別式

2023-04-12 18:57 作者:CupsOfCubs 0人讀過(guò) | 我要投稿

僅作為試寫.

雖然會(huì)費(fèi)點(diǎn)時(shí)間，還是把一些東西給以電子的方式記錄下來(lái)。這系列筆記，?記錄方式會(huì)比較精煉，沒有例子、沒有證明。如果有所疑問(wèn)，或者有錯(cuò)誤指出，請(qǐng)直接在評(píng)論區(qū)評(píng)論。

還有，希望大家不要對(duì)一些看起來(lái)高深的內(nèi)容望而生畏，進(jìn)而對(duì)這門學(xué)科產(chǎn)生回避心理，或者對(duì)本人產(chǎn)生贊佩之心。這些內(nèi)容，其實(shí)在花一些學(xué)習(xí)時(shí)間戳破外表后，還算容易。

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在代數(shù)數(shù)論中，我們關(guān)心 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ 的在 $%5Cmathbb%7BC%7D$ 內(nèi)的有限擴(kuò)張（將這類域稱作數(shù)域.?由此可以看見 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ 是一個(gè)最小的數(shù)域）. 由本原元定理，任何這樣的擴(kuò)張 $K%2F%20%5Cmathbb%7BQ%7D$ 都可以寫成單擴(kuò)張 $K%3D%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Cgamma)$ . $K$ 到? $%5Cmathbb%7BC%7D$ 的一個(gè)保持 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ 的單射稱作 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ -嵌入. 由此可以看到 $K$ 的一個(gè) $%5Cmathbb%7BQ%7D$ -嵌入由 $%5Cgamma$ 的像決定，而 $%5Cgamma$ 的像可以選取 $m_%7B%5Cmathbb%7BQ%7D%2C%5Cgamma%7D$ 的根. 從而 $K$ 有 $%5Coperatorname%7Bdeg%7D%20m_%7B%5Cmathbb%7BQ%7D%2C%5Cgamma%7D%3D%5BK%3A%5Cmathbb%7BQ%7D%5D$ 個(gè) $%5Cmathbb%7BQ%7D$ -嵌入. 這里 $m_%7B%5Cmathbb%7BQ%7D%2C%5Cgamma%7D$ 表示 $%5Cgamma%E5%9C%A8%5Cmathbb%7BQ%7D$ 上的極小多項(xiàng)式.?

注1：復(fù)共軛 $z%5Cmapsto%20%5Cbar%7Bz%7D$ 是 $%5Cmathbb%7BC%7D$ 一個(gè)天然的自同構(gòu)，利用這個(gè)自同構(gòu)，我們可以對(duì)數(shù)域 $K%0A$ 的到 $%5Cmathbb%7BC%7D$ 的嵌入 $%5Csigma%3AK%5Chookrightarrow%20%5Cmathbb%7BC%7D$ ?作一個(gè)共軛： $%5Cbar%7B%5Csigma%7D%3AK%5Chookrightarrow%20%5Cmathbb%7BC%7D%3B%5Calpha%5Cmapsto%5Coverline%7B%5Csigma(%5Calpha)%7D%20$ ?，同樣也是個(gè) $K%0A$ 的到 $%5Cmathbb%7BC%7D$ 的嵌入.如果 $%5Csigma$ 是一個(gè) $%5Cmathbb%7BQ%7D$ -嵌入， $%5Cbar%7B%5Csigma%7D$ 也是一個(gè) $%5Cmathbb%7BQ%7D$ -嵌入.所以我們可對(duì)有限個(gè) $K%0A$ 的 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ -嵌入進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的分類：如果 $%5Csigma%3D%5Cbar%7B%5Csigma%7D%5Ciff%20%5Csigma(K)%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BQ%7D$ ，則稱這個(gè) $%5Cmathbb%7BQ%7D$ -嵌入是實(shí)的；否則 $%5Csigma$ , $%5Cbar%7B%5Csigma%7D$ 是不同的嵌入，稱它們?yōu)?strong>虛的，這樣的嵌入是兩兩成對(duì)的. 這樣子，可以設(shè) $K%0A$ 有 $r_1%0A$ 個(gè)實(shí)的 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ -嵌入， $2r_2%0A%0A$ 個(gè)虛的 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ -嵌入，則總嵌入個(gè)數(shù) $%5BK%3A%5Cmathbb%7BQ%7D%5D%3Dr_1%2B2r_2$ .注意嵌入是由本原元的像決定的， $K%3D%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Cgamma)%0A$ 的一個(gè) $%5Cmathbb%7BQ%7D$ -嵌入 $%5Csigma$ 是實(shí)的當(dāng)且僅當(dāng) $%5Csigma(%5Cgamma)%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D$ （這與本原元 $%5Cgamma%0A$ 的選取無(wú)關(guān)）.因此 $r_1%0A$ 為 $%5Cgamma%0A$ 極小多項(xiàng)式 $m_%7B%5Cmathbb%7BQ%7D%2C%5Cgamma%7D$ 實(shí)根個(gè)數(shù)， $2r_2$ 為虛根個(gè)數(shù).

一般地、對(duì)數(shù)域的擴(kuò)張 $L%2FK$ 都存在本原元，即 $L%3DK(%5Cgamma)$ . 從而 $%5Cgamma%0A$ 有 $%5Coperatorname%7Bdeg%7D%20m_%7BK%2C%5Cgamma%7D%3D%5BL%3AK%5D$ 個(gè) $K%0A$ -嵌入（定義與 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ -嵌入類似）.由此，我們可以對(duì)域擴(kuò)張的元素引入跡(trace)與范(norm)的概念.定義 $T_%7BL%2FK%7D(%5Calpha)%3D%5Csum_%7B%5Csigma%7D%5Csigma(%5Calpha)$ , $N_%7BL%2FK%7D(%5Calpha)%3D%5Cprod_%7B%5Csigma%7D%5Csigma(%5Calpha)$ .這里 $%5Csigma%0A$ 遍歷所有 $K%0A$ -嵌入.我們將在后續(xù)內(nèi)容見識(shí)到這個(gè)工具的強(qiáng)大，可以說(shuō)這個(gè)工具貫穿始終.

注2：可以看出跡與范和 $%5Calpha%20$ 的極小多項(xiàng)式（通過(guò)韋達(dá)定理）有一些聯(lián)系.事實(shí)上，作 $L%2FK$ 的中間域 $K(%5Calpha)$ 并設(shè) $%5Calpha%20$ 在 $K%0A$ 上的極小多項(xiàng)式 $m_%7BK%2C%5Calpha%7D%3Dx%5Em%2Bc_1x%5E%7Bm-1%7D%2B%5Ccdots%2Bc_m%5Cin%20K%5Bx%5D%2Cn%3D%5BL%3AK%5D%2Cm%3D%5BK(%5Calpha)%3AK%5D$ .有 $T_%7BL%2FK%7D(%5Calpha)%3D%5Cfrac%7Bn%7D%7Bm%7D(-c_1)$ , $N_%7BL%2FK%7D(%5Calpha)%3D((-1)%5Emc_m)%5E%7B%5Cfrac%7Bn%7D%7Bm%7D%7D$ .道理大致是：每一個(gè)更大的域 $L$ 上的 $K%0A$ -嵌入都可以通過(guò)限制，限制到更小的域 $K(%5Calpha)$ 的 $K%0A$ -嵌入，而反過(guò)來(lái)， $K(%5Calpha)$ 的 $K%0A$ -嵌入都可以延拓到 $L$ 上，而不同延拓的個(gè)數(shù)為 $%5BL%3AK(%5Calpha)%5D%3D%5Cfrac%7Bn%7D%7Bm%7D$ .再次提醒：如有疑問(wèn)或有錯(cuò)誤指出，可以直接在評(píng)論區(qū)評(píng)論.

注3：由注2，我們立刻注意到： $T_%7BL%2FK%7D%3AL%5Crightarrow%20K%2CN_%7BL%2FK%7D%3AL%5E%7B%5Ctimes%7D%5Crightarrow%20K%5E%7B%5Ctimes%7D$ .它們還是群同態(tài).也就是，它是一個(gè)從更小域里刺探更大域里面元素性質(zhì)的一個(gè)方法.

接著可以討論一組元素 $%5Calpha_1%2C%5Ccdots%2C%5Calpha_n$ 的判別式（discriminant）.定義 $d_%7BL%2FK%7D(%5Calpha_1%2C%5Ccdots%2C%5Calpha_n)%3D%5Cleft(%5Cdet%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%5Csigma_1(%5Calpha_1)%26%5Csigma_1(%5Calpha_2)%26%5Ccdots%26%5Csigma_1(%5Calpha_n)%5C%5C%5Csigma_2(%5Calpha_1)%26%5Ccdots%26%5Ccdots%26%5Ccdots%5C%5C%0A%5Ccdots%26%5Ccdots%26%5Ccdots%26%5Ccdots%5C%5C%0A%5Csigma_n(%5Calpha_1)%26%5Ccdots%26%5Ccdots%26%5Csigma_n(%5Calpha_n)%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cright)%5E2%3D(%5Cdet(%5Csigma_i(%5Calpha_j))_%7Bi%2Cj%7D)%5E2$ .這里 $%5C%7B%5Csigma_j%5C%7D_%7Bj%3D1%2C%5Ccdots%2Cn%7D$ 為 $%5BL%3AK%5D%3Dn$ 個(gè) $K%0A$ -嵌入. 當(dāng)然，這與 $%5Csigma%2C%5Calpha$ 的排序無(wú)關(guān).?

注4：它名叫判別式的理由是，可以證明 $d_%7BL%2FK%7D(%5Calpha_1%2C%5Ccdots%2C%5Calpha_n)%5Ciff%20%5Calpha_1%2C%5Ccdots%2C%5Calpha_n$ 是 $K%0A$ -線性無(wú)關(guān)的，從而它們張成了 $L$ . 簡(jiǎn)單的證明方法是構(gòu)造雙線性型 $%5Cleft%3C%5Calpha%2C%5Cbeta%5Cright%3E%3DT_%7BL%2FK%7D(%5Calpha%5Cbeta)$ ，它作為 $K%0A$ -雙線性型的表示矩陣的行列式即為 $d_%7BL%2FK%7D(%5Calpha_1%2C%5Ccdots%2C%5Calpha_n)$ .

注5：沒錯(cuò)， $d_%7BL%2FK%7D(%5Calpha_1%2C%5Ccdots%2C%5Calpha_n)$ 總是在 $K%0A$ 中.

對(duì)任何一個(gè)元素 $%5Calpha%5Cin%20L$ ，可以單獨(dú)的定義其判別式 $d_%7BL%2FK%7D(%5Calpha)%3Dd_%7BL%2FK%7D(1%2C%5Calpha%2C%5Ccdots%2C%5Calpha%5E%7Bn-1%7D)$ . 作為練習(xí)，請(qǐng)證明： $d_%7BL%2FK%7D(%5Calpha)%3D(-1)%5E%7B%5Cfrac%7Bn(n-1)%7D%7B2%7D%7DN_%7BL%2FK%7D(m_%7BK%2C%5Calpha%7D'(%5Calpha))$ .這里 $m_%7BK%2C%5Calpha%7D'$ 是多項(xiàng)式 $m_%7BK%2C%5Calpha%7D$ 的形式導(dǎo)數(shù)， $n$ 是 $m_%7BK%2C%5Calpha%7D$ 的次數(shù)（證明是一些線性代數(shù)）.