在通信系統(tǒng)的仿真中，我們經(jīng)常需要根據(jù)給定的信噪比(SNR: Signal Noise Ratio)，為傳輸?shù)臄?shù)據(jù)加上"加性高斯白噪聲（Additive Guassian White Noise）"。但是，傳輸前的數(shù)據(jù)，很多時候考慮的是頻域的相位，給定的待傳輸?shù)臄?shù)據(jù)需要經(jīng)過傅立葉反變換到時域，在時域增加噪聲，然后送給接收模塊做性能評估。
（錄制的視頻：https://www.bilibili.com/video/BV1kP411V7hq/）
問題在于：無論是 Matlab 上，還是 Python 的 numpy 庫中，快速傅立葉變換和反變換，在變換的前后，都沒有保持能量守恒，這為定量地增加噪聲制造了一點小困難。本文試圖通過簡單的 QPSK 為例子，頻域分成 64 個頻點，經(jīng)過 ifft （快速傅立葉反變換）變到時域，然后定量地分析能量的變化情況.

頻域有 64 個頻點，我們在第二個頻點上發(fā)送一個信號，幅度為 1，相位為 ，這個信號可以表示為 . 按照直觀的理解，我們發(fā)送的信號是：

可以展開為：

可以很容易地看到，實部的最大值是 1.? 那么上面這個信號的功率，就是其模的平方，可以很容易看到，模的平方就是 1， 則其功率是 1.

我們來看一下用 ifft 之后的結(jié)果，64 個頻點上只有第二個頻點上有信號，其它頻點上沒有信

號，即是 0：

總計 64 個.

用下面的 python 代碼來做 ifft：

畫出來的圖形如下：

可以看到，幅度的最大值不是 1，程序中打印出來的最大值為 0.015625 ! 為什么呢？我們來觀察一下 ifft 的公式：

其中 $N$ 是傅立葉反變換的長度。這個例子中，N=64.

在這個例子中，由于只有 ,其它都是 0，上面公式中的求和項，就退化為之后 k=1參與了運算：

公式 2 與 公式 1 比較，則可以看到，公式二 多了一個? ，從圖中也可以看到，最高幅值是 .



討論到這里，似乎問題已經(jīng)解決了，但是，仔細(xì)看看， ifft 變換后幅度變?yōu)樵瓉碓O(shè)想的 64 分之一，那能量在轉(zhuǎn)換前和轉(zhuǎn)換后，是否保持一致呢？我們需要的是保持一致。



我們先從頻域看，64 個頻域信號的總能量，是每個頻率點上能量的和，即：，這個能量是在一個 fft 對應(yīng)的時間上的，即 64 個采樣點內(nèi)的。則換算成功率，在頻域看到的功率為 :

我們只分析一個頻點，k=1，在頻域看，其能量為 1，這是 k=1這個頻率在一個fft對應(yīng)時間內(nèi)的能量。

?現(xiàn)在看matlab 和 python numpy 庫中 ifft 的變換公式：

那么，k=1 對應(yīng)的波形是:

那么，我們在 64個樣點內(nèi)計算一下能量：

可以看到，頻域的能量是 1，而時域的能量是 ，能量相差了 64 倍！

所以， ifft 變換，會導(dǎo)致能量降為轉(zhuǎn)換前的 64 分之一。同理，可以證明， fft 變換，會導(dǎo)致能量放大為變換前的64倍。

如果我們把傅立葉變換對的公式，稍微改變一下放大或者縮小的倍數(shù)，則可以保證轉(zhuǎn)換前后的能量保持一致，即能量守恒：

FFT 變換：

IFFT 變換

使用上面修改過的公式，則可以保證能量前后保持一致。

有時候，我們不僅關(guān)心能量保持一致，還要關(guān)心這個信號的能量大小，例如我們?yōu)榱思尤胍欢ㄐ旁氡?SNR 的高斯白噪聲，需要知道信號的功率大小。

注意：后面討論的能量大小，功率大小，都是基于修改后的傅立葉變換的公式，即保證變換前后能量保持一致的。

在頻域看，一個頻率點的信號，假設(shè)其能量為 1 （一般情況下，例如 QPSK 調(diào)制，都是保持能量為 1 的），因為傅立葉反變換后，對應(yīng)到 N 個采樣點的時間，因此，其功率為： .
?
在時域看，其對應(yīng)的波形為 ：

其能量為（注意：為了與頻域保持一致，要注意求和的時間范圍是 N 個采樣點）：

其功率則為 .



那么，如果在頻域上，只有一個頻率點上有信號，且頻域? 等于 1，則信號的功率就是 , 則可以根據(jù) SNR 的公式，計算出來需要的噪聲的功率。如果 N 個頻點上，都有信號，且頻域? 等于 1，則其功率就是 1.


總結(jié)一下：本文的核心，是提醒注意用標(biāo)準(zhǔn)庫中的 FFT/IFFT 函數(shù)時，存在能量在變換前后不守恒的問題。



延伸閱讀：

??? 把傅立葉變換和反變換，看成是線性空間的向量，在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)，坐標(biāo)軸就是線性空間的基，這些基的要求，除了要求任何兩個不相同的基之間是正交的，還需要每個基向量的長度為1.

??? 傅立葉變換中的 ? 構(gòu)成一個合格的基向量，而 不是一個基向量，因為其長度是 .

我們來看一下傅里葉變換中基里面的各個向量（按照正確的方式來列舉的）：

第一個向量：

k=0

第二個向量：

k=1

第三個向量：

k=2

。。。。



第 k+1 個向量：

k=k

.....



第 N 個向量：

k=N-1

每個基的模長都為 1：

如果用 matlab 中 傅立葉變換的公式，一個向量是：

則其模長為 N:

這就不是單位向量了。

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塑料垃圾危害多，至少不能讓塑料垃圾流進(jìn)河