前置知識需要對射影幾何的【無窮遠點】【無窮遠直線】有了解。

? ? 簡單規(guī)定下:在更加“普遍”意義上的射影幾何上，每一個直線上面再加一個無窮遠點，不再規(guī)定“平行直線不想交”而是相交于同一個無窮遠點，所有無窮遠點構(gòu)成一條無窮遠直線。

? ? ?這樣的規(guī)定下，任意兩條直線都相交于一點，要么是“有窮遠點”要么是“無窮遠點”。（這樣一來便可以保證“射影”變換下，像與原像形成雙射）（（這一段有興趣的自己搞吧，和文本無關(guān)，只是說明為什么要搞這樣一個無窮遠點和無窮遠直線））

? ? ?【正文】既然定義了“無窮遠點”，隨之而來就會有很多性質(zhì)。（把加入了這些性質(zhì)的平面稱為“拓廣平面”）

1.拓廣平面上的直線，兩段無限延伸相連于無窮遠點，即，直線的某一理解模型為閉合圖形。

2.所有平行直線交于同一無窮遠點，因此，對于一個點作為中心，每個“方向”上有唯一無窮遠點，因此，平面的某一理解模型為一個有界圓盤，圓周為無窮遠直線。

由上可知

對于數(shù)軸，易知正方向上的+∞與負(fù)的-∞相連于“無窮遠點”，定義其在數(shù)軸上為Θ。

即有

+∞=-∞=Θ

笛卡爾坐標(biāo)系（正交坐標(biāo)系）的兩個軸考慮為在無窮遠處相連的拓廣直線:

現(xiàn)在考慮y=1/x，x等于0時的情形，可知

1/0=Θ，可知，為了使得運算不矛盾，要有:

2/0=2（1/0）=2Θ

現(xiàn)在考慮“除法運算”的意義:

6÷2=3

? ? ?6-2-2-2=0

3=6減到0需要三步

即有

1÷0=Θ

? ? ? 1-0-0-…-0=0

Θ=1減到0需要【無窮】步

現(xiàn)在考慮aΘ,a∈R的意義:

我們有2÷0=2Θ即

? ? ? 2-0-0-…-0=0

2Θ=2減到0需要兩倍于（1減到0的）【無窮步】。

因此定義Θ為:Θ=1/0，指以y=1/x中函數(shù)圖像逼近x軸的【速率】定義的【無窮】。

易知，⊙Θ之間存在運算，即存在⊙Θ^n，n∈R

對于“乘法運算”的意義:

2×3=6可看做

2×1×3=6

1.把數(shù)軸拉伸三倍，即把單位1拉伸三倍后2的位置為“6”

2.以2為單位，0+2+2+2=6走三步。

（可以看出乘法與除法互為逆運算，前者為從0出發(fā)走到某數(shù)的步數(shù)or拉伸數(shù)軸，后者為從某數(shù)回到0需要的步數(shù)or壓縮數(shù)軸）

現(xiàn)在考慮在乘法領(lǐng)域內(nèi):

? ?2≠3

2/0≠3/0

2×0≠3×0

定義1×0=τ

易知Θ=1/τ

即有:2×0=2τ，3×0=3τ

可以看出，τ為某種無窮小量

現(xiàn)在考慮無窮小量τ，2×0=2×1×0

可看做是2×（1×0）=0即單位的“消失”，或者認(rèn)為“數(shù)軸被探索成一個點時不是瞬間坍縮，而是以某個‘速率’”。

因此定義τ為:1×0=τ，指以1×0=0為【速率】的【無窮小量】。

易聯(lián)想到數(shù)學(xué)分析中極限的“等價無窮小”，因此與其認(rèn)為，“無窮小是一個極限為0的過程”，不妨認(rèn)為“所有數(shù)字都是一個過程”。且我們定義對于任意“過程”需要時間t，即，不同運算之間會有【速率】的區(qū)別。

我們定義“≡”為【最終等于】

定義=為“時間上同步，數(shù)值上等于”

易知:

1）

2×1≡2×1×1

2×1≠2×1×1（前者更快）

2）

2×0≡3×0

2×0≠3×0

這樣便可以把再次之前的運算體系包括進來。

即對于有限t，1/0=不被定義。

要首先定義【無限t】，才有1/0≡Θ

這樣，不僅無窮大和無窮小量是過程，所有數(shù)字都是【過程】。

因此有Θ，τ為在【無限t】下以某個速率到達的【無窮】和【無窮小量】

因此在數(shù)軸上，【無窮小量】對應(yīng)有窮點?

【無窮】對應(yīng)無窮遠點。

便有1/0≡Θ

tan（π/2）≡Θ

對于Θ，τ的運算:

Θ±任意有窮量=Θ

τ±任意有窮量=τ

（注意是“=”不是“≡”）

同時，對于拓廣平面內(nèi)的直線，所有直線都在無窮遠點處閉合，也就自然有所有直線都存在一個模型是閉合曲線。

又因為Θ=1/τ

可知所有曲線都存在有某個【無窮小量】之下是直線。即，直線總是可以作為“曲線”的局部，同時，這不是一種“近似”，而是在【無限t】得出的必然。