大家好，周末快樂，老碧又來了呢！——每天五分鐘，數(shù)學(xué)更輕松。

上期我們聊到了，“無盡小數(shù)”的定義：

9用無盡小數(shù)來表示實(shí)數(shù)

既然要達(dá)到用“無盡小數(shù)”表示實(shí)數(shù)的目的，自然地，就先得對(duì)“無盡小數(shù)”下一個(gè)定義。

（注：我們知道任何一個(gè)“十進(jìn)小數(shù)”都分為“整數(shù)部分”和“小數(shù)部分”，而真正在這個(gè)定義的驗(yàn)證的重點(diǎn)是“小數(shù)部分”，因?yàn)椤罢麛?shù)部分”總可以用一個(gè)確定的整數(shù)（正，0，負(fù)）來表示，小數(shù)部分的情形則比較復(fù)雜。

以我們都知道的根號(hào)2為例，我們可以知道它小數(shù)部分的前有限位，哪怕1億億億億位，但是我們無法給定它小數(shù)部分的全部——于是如何通過一個(gè)對(duì)象的局部去推斷整體，就成為了數(shù)學(xué)中間一個(gè)重要的命題，即“分析學(xué)”的核心目的。）

書中首先給出了關(guān)于“十進(jìn)小數(shù)”的一個(gè)簡要說明：

接著我們從一個(gè)“構(gòu)造過程”得到了“無盡小數(shù)”的精確定義：

關(guān)于這個(gè)構(gòu)造具體的闡釋見Ep15——

類似于“無理數(shù)”的感性認(rèn)知是“數(shù)軸上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的不是有理數(shù)的數(shù)”——更樸素的“無盡小數(shù)”的定義僅僅是“不是整數(shù)，且，不是有盡小數(shù)的數(shù)”，我們以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合“十進(jìn)小數(shù)”的定義，導(dǎo)出了“無盡小數(shù)”。

接著我們驗(yàn)證了，“整數(shù)”或者“有盡小數(shù)”也有“無盡小數(shù)”的表示法——

這樣，所有的實(shí)數(shù)就都可以統(tǒng)一在“無盡小數(shù)”這一個(gè)形式之下，也就得到了實(shí)數(shù)的另一個(gè)定義——“無盡小數(shù)”。

注：本著“消歧義性”的原則，往往任何一本教材會(huì)給定，選擇哪一種“無盡小數(shù)”形式來表示“有盡小數(shù)”或者“整數(shù)”，這樣就實(shí)現(xiàn)了，每一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)的“無盡小數(shù)”是唯一的。

自此，我們證明了，任給一個(gè)實(shí)數(shù)，都能找到“無盡小數(shù)”與之對(duì)應(yīng)，今天我們繼續(xù)來看反過來是否成立。——任給一個(gè)“無盡小數(shù)”，總能找到一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)——即總能找到一個(gè)“有理數(shù)分劃”與之對(duì)應(yīng)。

對(duì)于任意無盡小數(shù)C.c1c2……cn……：

1.我們?nèi)绻训趎位之后的“小尾巴”丟掉——得到一“有盡小數(shù)”C.c1c2……cn，顯然C.c1c2……cn<C.c1c2……cn…….<C.c1c2……（cn+1），左邊這個(gè)數(shù)，就稱為“無盡小數(shù)”C.c1c2……cn……的“n位不足近似”,右邊這個(gè)數(shù)，就稱為“無盡小數(shù)”C.c1c2……cn……的“n位過剩近似”;

2.我們將所有小于C.c1c2……cn……的一切的“n位不足近似”組成一個(gè)集合，我們將所有大于C.c1c2……cn……的一切的“n位過剩近似”組成一個(gè)集合，就構(gòu)造了一個(gè)“有理數(shù)分劃”，其界數(shù)為“無盡小數(shù)”C.c1c2……cn……。

即任取無盡小數(shù)，都有唯一實(shí)數(shù)與其對(duì)應(yīng)。