橢圓第二定義的證明方法（2018課標(biāo)Ⅲ圓錐曲線）
2022-08-25 18:02 作者:數(shù)學(xué)老頑童 | 我要投稿
解：（1）易知在橢圓內(nèi)部，
所以,
解得，
又因，
所以……
設(shè)、
的坐標(biāo)分別為
、
，
因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=A" alt="A">、在橢圓
上，
所以，
，
兩式相減（即點(diǎn)差法）得
，
即，
即，
即，
即，
即，
即，
所以，
由可知：
，證畢.
（2）先畫圖
設(shè)的坐標(biāo)為
，
易知的坐標(biāo)為
，所以
，
，
，
所以
，
即，
即
即
即
所以的坐標(biāo)為
，
又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓
上，所以
，
解得，
所以的坐標(biāo)為
.
所以.
（注意此處的操作，實(shí)際上證明了橢圓的第二定義）
同理可得.
所以
所以，
即、
、
成等差數(shù)列.
的坐標(biāo)為
，
，
故的方程為
，
即，
與的方程聯(lián)立，得
，
所以.
所以數(shù)列、
、
的公差
