群論

作者：Dimitri.V.Vedensky

譯者：Chemyy & 有道娘

第二章 抽象群論元素?

數(shù)學(xué)是一場(chǎng)游戲，遵從白紙上明確的規(guī)則及無(wú)意義的符號(hào)?！笮l(wèi)·希爾伯特

物理中對(duì)稱(chēng)性的重要性，尤其對(duì)于量子力學(xué)來(lái)說(shuō)，我們?cè)谏弦徽乱呀?jīng)討論過(guò)了。在這一章，我們通過(guò)引入群和一些相關(guān)的概念，形成我們對(duì)群的代數(shù)解析。在下一章我們還會(huì)探索這種代數(shù)解析在物理上的用途。

2.1 群：定義與實(shí)例

在物理中，我們引入代數(shù)解析用于描述對(duì)稱(chēng)性的潛動(dòng)力在于變換，而群的定義誕生于一個(gè)變換有多么魔幻。于是，我們首先先提出一些抽象群都應(yīng)該滿(mǎn)足的條件，然后看一些相關(guān)實(shí)例。

定義：一個(gè)群G是由一些元素{a,b,c……}（元素不只是數(shù)值，還可以是向量、矩陣、函數(shù)甚至是另一個(gè)群等客體——譯者注）和一個(gè)二元構(gòu)成法則構(gòu)成。這個(gè)法則一般稱(chēng)為乘法（和我們理解的數(shù)乘不太一樣，更標(biāo)準(zhǔn)的表述是“操作“，但可以用普通乘法來(lái)理解相關(guān)概念，在下文會(huì)具體講述——譯者注），有以下幾條性質(zhì)：

1.???? 封閉性：G中的任兩個(gè)元素a,b的乘積（不一定是我們一般提的乘積，更應(yīng)該表述為操作的復(fù)合——譯者注），稱(chēng)為c=ab，也是G中的元素。

2.???? 結(jié)合律：二元構(gòu)成法則——操作復(fù)合——具有結(jié)合律，對(duì)任意G中的三個(gè)元素a,b,c，有a（bc）=（ab）c。

3.???? 恒等元：G中存在一個(gè)元素e，稱(chēng)作單位元或者恒等元，對(duì)任意的a有ea=ae=a。

4.???? 可逆元：對(duì)G中任意一個(gè)a，都有它的逆元，寫(xiě)作a^(-1)也在G中，有aa^(-1)=a^(-1)a=e.（有可能a=a-1，這種情況下元素只算a一個(gè)——譯者注）

(請(qǐng)注意，這里沒(méi)有交換律，——譯者注)

封閉性告訴我們二元構(gòu)成法則不適用于任何不在G中的元素。結(jié)合律說(shuō)明即使作用n次，最終結(jié)果與操作組合形式無(wú)關(guān)。比如，abc這個(gè)乘積是明確的元素，它存在兩種相等的解釋?zhuān)琣（bc）與（ab）c。接著，正如我們將要在2.3中所展示的，無(wú)論是左乘還是右乘恒等元，或者是左乘或右乘自己的逆元，結(jié)果都是一樣的，于是我們可以簡(jiǎn)化以上的性質(zhì)表述：

3’. 恒等元：G中存在一個(gè)元素e，稱(chēng)作單位元或者恒等元，對(duì)任意的a有ea=a。

4’. 可逆元：對(duì)G中任意一個(gè)a，都有它的逆元，寫(xiě)作a^-1也在G中，有aa^-1=e.

這里的術(shù)語(yǔ)“乘法“”乘積“”單位元“和一般的乘法不一樣，只是兩個(gè)抽象操作的復(fù)合成為第三個(gè)操作。簡(jiǎn)單地說(shuō)就是沒(méi)有乘法交換律。假如，有一個(gè)群，它的二元構(gòu)成法則符合乘法交換律，這樣的群叫做“可交換群”或者“阿貝爾群”。

盡管這些定義有些抽象，你只要稍微思考一下就能發(fā)現(xiàn)這些群的構(gòu)造相當(dāng)符合物理中對(duì)稱(chēng)性的描述。群的元素常常與一個(gè)幾何操作或一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程的變換相符合，而二元構(gòu)成法則常常與一個(gè)矩陣乘法或函數(shù)復(fù)合相符合，因此乘法結(jié)合律是合理的。如果兩個(gè)操作各自和一個(gè)對(duì)稱(chēng)操作相符，那他們的乘積也是一個(gè)對(duì)稱(chēng)操作。恒等元對(duì)應(yīng)的就是不做操作，逆元就對(duì)應(yīng)著反著操作，當(dāng)然，對(duì)于一個(gè)明確定義著的操作一定有反著操作這樣的做法。

實(shí)例2.1 設(shè)想一列整數(shù)：

……-3 -2 -1 0 1 2 3……

作為元素，而普通的相加作為二元構(gòu)成法則。任意兩個(gè)整數(shù)的和依然是整數(shù)，也就是封閉性，相加顯然有結(jié)合律，0就是其恒等元，-n就是+n的逆元。于是，整數(shù)全體組成了一個(gè)以加法為法則的群。這個(gè)群寫(xiě)作Z（來(lái)源于德語(yǔ)詞Zahlen，整數(shù)）（也是天朝高中生最喜歡的整數(shù)集——譯者注），顯然Z是阿貝爾群。

實(shí)例2.2 再來(lái)看我們的整數(shù)集，我們能夠理解結(jié)合法則的重要性，現(xiàn)在考慮普通的乘法。兩個(gè)整數(shù)的積還是整數(shù)，乘法有結(jié)合律，1是它的恒等元，但是n的逆元是1/n，不是個(gè)整數(shù)，所以以乘法為法則，整數(shù)集不構(gòu)成群。

實(shí)例2.3 考慮集合{1，-1}與普通乘法。明顯它封閉而且有結(jié)合律和交換律。1是恒等元，每一個(gè)元都是自己的逆元。所以{1，-1}是一個(gè)兩元普通乘法阿貝爾群。

實(shí)例2.4 設(shè)想一個(gè)2×2實(shí)矩陣

它的行列式值為ad-bc不為0。而二元結(jié)合法則是普通的矩陣乘法：

為了確定這樣的矩陣是否組成一個(gè)群，我們必須首先要知道兩個(gè)行列式不為0的矩陣A和B相乘其結(jié)果還是一個(gè)行列式不為0的矩陣AB（注意順序——譯者注），且有det（A）det（B）=det（AB）。（det（A）意為A的行列式），表現(xiàn)其封閉性。而結(jié)合律，已經(jīng)被直白且復(fù)雜的計(jì)算證實(shí)了。其恒等元為E2，其逆元為

它的行列式也不為0。所以這構(gòu)成一個(gè)群。這個(gè)群被稱(chēng)為GL（2，R），表示一般線(xiàn)性（General Linear）2×2實(shí)矩陣。注意到GL(2,R)的元素是連續(xù)的，所以GL(2,R)是一個(gè)連續(xù)群。

2.2 排列群

n個(gè)物體的排列指重新安排這些物體的順序然后組成一列。當(dāng)和用于連續(xù)排列的函數(shù)的一般規(guī)則結(jié)合（我沒(méi)看懂，嗯翻譯——譯者注），這些排列就被賦予了一個(gè)群的結(jié)構(gòu)，寫(xiě)作S-n。有一段時(shí)間，對(duì)稱(chēng)群只是一個(gè)數(shù)學(xué)群，由于凱萊定理——建立了Sn和n個(gè)元素的群的關(guān)系——保持了其特殊地位。在這個(gè)部分，我們將會(huì)研究S3群的結(jié)構(gòu)，既是一個(gè)抽象群，也是一個(gè)正三角形的對(duì)稱(chēng)群。

群是一個(gè)三個(gè)各不相同的物體的所有排列，其中每一個(gè)元素都對(duì)應(yīng)各自給定的順序。因?yàn)榈谝粋€(gè)元素可以放在任何位置，第二個(gè)放在二選一的位置，最后一個(gè)放在最后一個(gè)位置。就有3×2×1=6個(gè)元素，列如下：

在這個(gè)情況下，第一行表示原來(lái)的順序，第二行表示排列之后的順序。這里的二元對(duì)應(yīng)法則就是上下的對(duì)應(yīng)。比方說(shuō)我們考慮操作ad（我們操作的順序是從右向左，也就是先做d排列然后做a排列），d排列將123變?yōu)?12，接著a排列把第一位的元素放在第二位，第二位的元素放在第一位，第三位的元素不變，
注意到這樣的組合形成了一個(gè)新的排列ad=b，類(lèi)似的過(guò)程有da=c，說(shuō)明這樣的二元對(duì)應(yīng)法則不可交換，不是阿貝爾群。
S3的幾何實(shí)際變換可以可以基于正三角形變換而考慮（圖2.1）。

元素a?b?c分別表示過(guò)312的中線(xiàn)做鏡像變換，而df分別表示繞中心軸轉(zhuǎn)120度與240度。每一個(gè)這些變換的效果和S3群里的元素相同。所以，在上述操作和S3群里的元素有一個(gè)一對(duì)一的對(duì)應(yīng)。除此之外，二元結(jié)合的效果與S3群兩個(gè)元素相乘也相同。思考這個(gè)例子，中做ad和da計(jì)算，對(duì)正三角形，ad的效果是先轉(zhuǎn)后鏡像（如圖）

與圖2.1對(duì)應(yīng)，我們注意到這個(gè)操作的結(jié)果是b操作。類(lèi)似的，我們可以展示da，其效果與c一致，實(shí)際上，所有S3中的積與正三角形的對(duì)稱(chēng)變換是完全一致的。兩個(gè)類(lèi)似的有著相同代數(shù)結(jié)構(gòu)的群在各個(gè)方面互稱(chēng)同構(gòu)、不可區(qū)分。這強(qiáng)調(diào)了一件事：不是群的實(shí)際意義而是群的結(jié)構(gòu)更為重要。這點(diǎn)的后續(xù)討論將會(huì)在下一章繼續(xù)。

2.3 群的初等性質(zhì)

上一個(gè)部分的例子表明所有群都被賦予了一些基本性質(zhì)。在這個(gè)部分，我們將會(huì)演繹一些附加的性質(zhì)，盡管在一些特定的例子中相當(dāng)顯然。

定理2.1?（恒元唯一性）：群G中的恒元是唯一的。

證明：設(shè)一個(gè)群G里有兩個(gè)恒元e和e‘，a是任一元素。然后由于群的性質(zhì)4，我們有

ae=a與e’a=a?，F(xiàn)在在第一個(gè)式子里我們令a=e‘以及第二個(gè)式子里設(shè)a=e，就有e‘=e’e=e，所以e=e’。這個(gè)定理讓我們有底氣說(shuō)一個(gè)群的唯一恒元是e。e的符號(hào)來(lái)自德語(yǔ)詞Einheit，意為單元。

另一個(gè)常見(jiàn)性質(zhì)是等式中的消去律。這個(gè)性質(zhì)歸因于群性質(zhì)2（結(jié)合律）

定理2.2（消去律）在群G中無(wú)論是左乘還是右乘的消去都是存在的，也就是ab=ac推出b=c以及ba=ca推出b=c。

證明：設(shè)ab=ac，令a^-1為a的逆元。然后將其左乘于等式就有：

然后運(yùn)用結(jié)合律

就有

eb=ec

又

eb=b ec=c

所以

b=c

類(lèi)似的，我們可以在ca=ba兩側(cè)右乘a^-1，就能得到c=b。

注意到，這個(gè)證明不需要元素的逆元唯一，只需要一個(gè)元素能存在一個(gè)逆元。事實(shí)上，消去律可以用于證明逆元唯一性。

定理2.3?（逆元唯一性） 對(duì)G群中的任意元素a，只有唯一的元素b，使ab=ba=e

證明：設(shè)元素a有兩個(gè)逆元b和c。則有

ba=e和ca=e，

故

ba=ca，

然后使用定理2.2消去律，

得出

b=c。

同樣的，我們有底氣說(shuō)某個(gè)元素a唯一的逆元是a^-1。

正如在2.1節(jié)所討論的，上述寫(xiě)法是從普通乘法借來(lái)的，其他一些群乘法規(guī)則也是這樣。比如，對(duì)于一個(gè)群元素g，n個(gè)g復(fù)合寫(xiě)作g^n。類(lèi)似的，g^ng^m=g^(n+m)，也就是實(shí)數(shù)的指數(shù)規(guī)則。但是，有一些值得說(shuō)明的地方。對(duì)兩個(gè)群元素a和b，其組合（ab）n和anbn是不一樣的。依然正如在2.1節(jié)中所闡述的，只要某種寫(xiě)法出現(xiàn)在恰當(dāng)?shù)纳舷挛闹校筒粫?huì)有什么歧義產(chǎn)生。

2.4 離散群與連續(xù)群

群被分成兩大類(lèi)：離散的和連續(xù)的。上述的基本定義都可用于這兩種群，但是許多性質(zhì)的討論都基于離散與連續(xù)本身的特性。在這個(gè)課程，我們首先把目光放在離散群上以形成一個(gè)觀念化的概念，然后過(guò)幾章再考慮連續(xù)群。（我讀的中文參考書(shū)只關(guān)注有限群——譯者注）

2.4.1 有限群

眾多群的基本性質(zhì)，有一條是群中元素的數(shù)量。這被稱(chēng)為群的階，并用|G|表示。考慮全體整數(shù)構(gòu)成、以加法作為法則的群Z，階數(shù)為無(wú)窮；以及群——三個(gè)元素的排列群——階數(shù)為6。我們會(huì)先從有限群說(shuō)起，除開(kāi)其在物理研究中的眾多應(yīng)用，它有很多算數(shù)性質(zhì)。

有限群有無(wú)限群和連續(xù)群都沒(méi)有的特性。比如說(shuō)，如果有限群里有一個(gè)元素g，它自乘無(wú)數(shù)次，總會(huì)變成e。很明顯，只要自乘次數(shù)高于|G|，其乘積一定會(huì)開(kāi)始重復(fù)群中內(nèi)容，因?yàn)椴煌脑刂挥衸G|個(gè)。為了把上述的幾行字闡述清楚，我們把某個(gè)循環(huán)的乘積姑且寫(xiě)作a，且有a=g^p=g^p，其中p=q+n。然后，利用結(jié)合律，，則有。然后使用消去律，以及恒元的唯一性，可得g^n=e。（其中n=|G|——譯者注）。

所以，一列元素g，g^2，g^3……代表一個(gè)循環(huán)結(jié)果（存疑翻譯——譯者注）。元素g的階，寫(xiě)作|g|，是能夠使g^k=e中的k取最小值（通俗地說(shuō)就是g最少自乘|g|次后變成e——譯者注）。所以一個(gè)周期可以寫(xiě)作{e，g，g^2，g^3……}。

實(shí)例2.5 以群為例子，|a|=|b|=|c|=2，|d|=|f|=3，對(duì)應(yīng)的周期寫(xiě)作{e,a},{e,b},{e,c},{e,d,f=d^2}

定理2.4 （重排定理） 如果{e，g，g^2，g^3……g^n}是一個(gè)有限群G，以及g_k是任意一個(gè)群元素，那么群就是群G，里頭的各個(gè)元素出現(xiàn)過(guò)有且僅出現(xiàn)一次。

證明：顯然包含|G|個(gè)元素。設(shè)想中有兩個(gè)相同的元素，那么根據(jù)消去律，就有。接著，因?yàn)槊總€(gè)群元素會(huì)且僅會(huì)出現(xiàn)一次，所以G和Ggk完全一樣（他想干什么我沒(méi)看懂——譯者注）。只要不是e，那么就被叫做G的一個(gè)重排。

2.4.2 群的乘法表

這套理論的一大應(yīng)用就是有限群二元結(jié)合的表示方法，我們用乘法表來(lái)表示它。這樣的一張表是個(gè)矩形，其行列都用群元素來(lái)填充，第一行和第一列都按順序?qū)懞盟械脑?，接著行和列的交界處是行和列的乘積，比如，第i行第j列的元素gij，有。為了理解這樣的表，我們以{e，a}為例。我們知道e^2=e，ea=ae=a，另外重排定律還告訴我們a^2=e，那么乘法表可以寫(xiě)作：

注意到這個(gè)表沿著主對(duì)角線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，阿貝爾群都是這樣的。

接著考慮三個(gè)元素的群{ e,a,b}，（此處省略一些簡(jiǎn)單的計(jì)算——譯者注）

沿主對(duì)角線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，這也是個(gè)阿貝爾群。

（這里省去一些沒(méi)用的說(shuō)辭——譯者注）

我們看看S3群的乘法表：

2.5 子群與陪集

假如有一個(gè)群G，我們從中挑一個(gè)子集H，他們都有群的基本組成且有著相同的結(jié)合法則，則稱(chēng)H是G的子群。根據(jù)這個(gè)定義，{e}就是G的一個(gè)子群，G本身就是G的子群。這兩個(gè)在術(shù)語(yǔ)上稱(chēng)“不完美子群”（參考空集、子集、真子集之類(lèi)的概念——譯者注）。完美子群的測(cè)定是我們?nèi)赫摰闹行恼擃}之一。在物理學(xué)應(yīng)用中，子群常常與對(duì)稱(chēng)性破壞有關(guān)，這是一個(gè)被加入哈密頓量或者拉格朗日量測(cè)定的術(shù)語(yǔ)，它能夠降低全群的對(duì)稱(chēng)性至我們需要的完美子群的對(duì)稱(chēng)性（比方說(shuō)整個(gè)群沒(méi)有對(duì)稱(chēng)性，但是有一個(gè)完美子群有對(duì)稱(chēng)性，我們只研究那個(gè)完美子群——譯者注）

實(shí)例2.6? S3群有這么幾個(gè)完美子群{e,a}{e,b}{e,c}{e,d,f}。只要看正三角形的對(duì)稱(chēng)操作就能懂他的意思了。

接下來(lái)介紹一個(gè)子群的性質(zhì)。

假如，以及g是G中的一個(gè)元素，則：

稱(chēng)為H的右陪集，

稱(chēng)為H的左陪集。

陪集不一定是G的一個(gè)子群，除非g是H中的元素。

定理2.5 一個(gè)子群的兩個(gè)陪集要么完全一樣要么完全不含相同元素——我們稱(chēng)后者為離散。

證明：思路是證明兩個(gè)陪集要么沒(méi)有公用的元素；要么共用一個(gè)元素，進(jìn)而證明所有元素都是共用的。

設(shè)Hg1和Hg2是兩個(gè)右陪集，假如這兩個(gè)陪集共用元素，

那么：在H子群中。

那么根據(jù)重排定律，有

,

(公式編輯里打不了大括號(hào)，用中括號(hào)代替一下——譯者注)

兩邊再右乘，

則有

，

這兩個(gè)陪集完全一樣。（假如找不到一個(gè)同樣的元素，那么后續(xù)的推斷都無(wú)法得出，則它們沒(méi)有一個(gè)元素是一樣的?！g者添）

實(shí)例2.7 考慮群和其子群H={e，a}。所有的右陪集有：

{e, a}e = {e, a},{e, a}a = {a, e},{e, a}b ={b, d},{e, a}c = {c, f},{e, a}d = {d, b},{e, a}f = {f, c}

也就是三種：{e, a}, {b, d}, {c, f}

這三個(gè)只有第一個(gè)是一個(gè)子群（為什么？）。

類(lèi)似的所有的左陪集{e, a}, {c, d}, {b, f}，注意到左右陪集并不一樣。

定理2.6 （拉格朗日定理）（不是中值定理——譯者注）有限群G的子群H的階整除G的階，即|H|整除|G|。

證明：陪集要么全等要么離散，加上重排定理，意味著任一元素都會(huì)出現(xiàn)在一個(gè)離散陪集中。接著，每一個(gè)陪集都明顯有相同數(shù)量的元素。離散陪群的數(shù)量，我們稱(chēng)之為這個(gè)子群的指數(shù)。這個(gè)指數(shù)乘陪集階數(shù)，等于這個(gè)群的階。因此，由于陪集階數(shù)和子群階數(shù)都一樣，群階數(shù)除子群階數(shù)等于離散群數(shù)量，是個(gè)整數(shù)。

實(shí)例2.8 階數(shù)為6，子群{e,a}階數(shù)為2，陪集有3個(gè)；子群{edf}階數(shù)為3，陪集有2個(gè)。

拉格朗日定理確定了一個(gè)給定群的子群階數(shù)。但是拉格朗日定理的逆定理不一定成立，即，群G的子群的階不需要張成G的除數(shù)（意義不明——譯者注）

2.6 商群

2.6.1共軛類(lèi)

（原文沒(méi)有給出共軛的幾何解釋?zhuān)梢钥紤]先看實(shí)例2.9形成一個(gè)直觀理解——譯者注）

假如群G中存在一個(gè)元素g，我們稱(chēng)之為共軛子元素（自編詞非官方——譯者注），若G中的兩個(gè)元素a，b，有a=gbg-1，則稱(chēng)a，b互為共軛元素。共軛是等價(jià)關(guān)系的一個(gè)例子，我們用≡表示，有以下三條性質(zhì)：

1.??? a≡a(自反性)

2.??? 若a≡b，則b≡a（對(duì)稱(chēng)性）

3.??? 若a≡b，b≡c，則a≡c（傳遞性）

為了理解共軛與等價(jià)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們來(lái)想這個(gè)情況：令g=e作為共軛子元素，我們就有a=eae^-1,所以a≡a；

若ab，就有a=gbg-1，我們也可以寫(xiě)成

，

所以

b≡a，

這里g^-1扮演了共軛子元素。

最后是a ≡ b， b ≡ c，有

，

則有

，

這里g_1g_2是共軛子元素。

至此，共軛滿(mǎn)足了等價(jià)類(lèi)的三種情形。

等價(jià)的一大重要用途就是類(lèi)，即，一系列共軛元素。特別的，共軛類(lèi)是這樣一系列元素的總和，它們可以根據(jù)共軛從給定群得出。相同共軛類(lèi)中的元素有一些相同的性質(zhì)，比如，所有同一類(lèi)的元素中有相同的階數(shù)。看看這個(gè)，我們以一個(gè)階數(shù)為n的元素a為例，即a^n=e。任一a的共軛元素b，有b=gag^-1，因此有

，

所以a和b階數(shù)相等。

實(shí)例2.9 群有三個(gè)共軛類(lèi){e}, {a, b, c},和 {d, f}。正如我們?cè)趯?shí)例2.5中討論的，{a,b,c}指數(shù)為2，{d,f}指數(shù)為3.e指數(shù)為1，自己就是一個(gè)類(lèi)。注意到每一個(gè)類(lèi)都對(duì)應(yīng)類(lèi)似的幾何操作。abc是鏡像，df是旋轉(zhuǎn)。就S3的代數(shù)操作而言，d,f是輪換，a,b,c是有一個(gè)不變，另外兩個(gè)交換。

2.6.2 自共軛子群

設(shè)H是G的子群，g是G中任意元素，若gHg^-1=H，則稱(chēng) H為G的自共軛子群，也叫不變子群或者通常子群。若一個(gè)群沒(méi)有自共軛完美子群，則稱(chēng)這個(gè)群是簡(jiǎn)單的。若gHg^-1=H，對(duì)所有G中的g恒成立，即任給H中的元素h_1和G中的a，有h_2=ah_1a^-1也屬于H，上式也可以寫(xiě)成ah_1=h_2a，或者aH=Ha。這產(chǎn)生了自共軛子群的另一個(gè)性質(zhì)，即左右陪集相等。從這個(gè)定義和類(lèi)的定義來(lái)說(shuō)，我們可以進(jìn)一步推測(cè)G的一個(gè)子群H，若它包含G的一個(gè)類(lèi)的所有元素，那么H就是自共軛子群，即H要么包含所有要么一個(gè)都不包含G類(lèi)中的元素。

一個(gè)自共軛子群被賦予了特殊的群結(jié)構(gòu)，可以群乘群，元素依次相乘，略去重復(fù)元素，我們首先證明兩個(gè)來(lái)自右陪集的元素相乘生成一個(gè)新的右陪集。令H是G的自共軛子群，有兩個(gè)右陪集Ha和Hb。任取兩個(gè)元素相乘，有h_iah_jb=h_i(ah_j)b, 其中ah_j可以寫(xiě)作h_ka，因?yàn)镠是自共軛的，于是有：h_i(ah_j )b = h_i(h_ka)b = (h_ih_k)(ab)，這就是H中的新右陪集。

實(shí)例2.10 考慮的子群{e，d，f}。用中的任意元素右乘它：

類(lèi)似的我們左乘：

因此，因?yàn)閧e,d,f}的左右陪集是一樣的，這些元素構(gòu)成了一個(gè)的一個(gè)自共軛子群，其離散陪集是{e, d, f}和 {a, b, c}。把這些子群乘起來(lái)，忽視重復(fù)元素，有：

商群，也叫因群。自共軛子群的商群是陪集的聚集，每一個(gè)都被認(rèn)為是一個(gè)元素。商群的階等于自共軛子群的個(gè)數(shù)。商群寫(xiě)作G/H.

實(shí)例2.11 的自共軛子群edf的陪集是edf和abc，所以商群的階數(shù)是2。用標(biāo)記為

E = {e, d, f}, A = {a, b, c}，我們用實(shí)例2.8所構(gòu)成的乘法表，就能知道E和A是自己的逆元素。

注意到這張表和2.4節(jié)中{ e，a}結(jié)構(gòu)一樣。

2.7小結(jié)

在這一章，我們學(xué)習(xí)了群的一些最基本的概念和性質(zhì)。這章最重要的內(nèi)容之一，很明顯是群的四大性質(zhì)，和群的其他性質(zhì)有著密不可分的牽連，和它們的物理應(yīng)用離得有些遠(yuǎn)，物理應(yīng)用將會(huì)在之后的章節(jié)學(xué)習(xí)。那些可理解的數(shù)學(xué)群論討論，包含了許多更廣泛的純數(shù)學(xué)以及應(yīng)用數(shù)學(xué)上的應(yīng)用，可能能夠在伽利略的書(shū)中被發(fā)掘。