昨天本來想把實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)一次性說完，結(jié)果敲了兩千來字發(fā)現(xiàn)才開了個(gè)頭，就果斷放棄了這個(gè)不成熟的念頭，然而，開頭忘改了，哈哈哈，所以，大家現(xiàn)在都知道，老碧上一篇妥妥地給自己立了個(gè)flag，并被自己坑了，可真是“優(yōu)秀”！

今天可以結(jié)束對(duì)實(shí)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)的驗(yàn)證了，明天介紹幾個(gè)有用的工具，后天就會(huì)進(jìn)入更有趣的內(nèi)容！

Ep24里面，積的存在性證明與和大同小異，唯一性證明有一點(diǎn)點(diǎn)繞，跳過的寶寶可以回頭再去理解一下！

我們繼續(xù)驗(yàn)證，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的“乘法”也滿足交換群的四個(gè)性質(zhì)，第四個(gè)性質(zhì)證明稍復(fù)雜——

15乘法的性質(zhì)

書中首先給出了實(shí)數(shù)乘法的前三個(gè)性質(zhì)，這三個(gè)性質(zhì)的證明與加法前三個(gè)性質(zhì)的證明大同小異，利用了積的定義和唯一性，已經(jīng)掌握的寶寶可以跳過——

其中——

1. 交換律

2. 結(jié)合律

3. 有單位元——1

書中先給出了三個(gè)數(shù)都是正數(shù)時(shí)，結(jié)合律的證明——

接著說明了，當(dāng)三個(gè)實(shí)數(shù)不全為正數(shù)時(shí)結(jié)合律依然成立——

我們可以按照同樣的思路，利用實(shí)數(shù)乘法的定義，依次給出這三個(gè)性質(zhì)的證明——

交換律的證明——

1. 我們?nèi)稳蓚€(gè)實(shí)數(shù)f、g，我們分別用兩組有理數(shù)從兩個(gè)方向無限接近它們，a<f<a'，b<g<b'，對(duì)所有的（/任意的）a、b、a'、b'，有ab<fg<a'b'；

2. 同理，ba<gf<b'a'；

3. 因?yàn)橛欣頂?shù)乘法滿足交換律，所以ab=ba，a'b'=b'a'，所以對(duì)所有的（/任意的）a、b、a'、b'，還滿足不等式，ba<fg<b'a'；

4. 結(jié)合2、3，以及實(shí)數(shù)積的唯一性，可知對(duì)任意實(shí)數(shù)f，g，fg=gf。

即實(shí)數(shù)乘法滿足交換律。

結(jié)合律的證明——

1. 我們?nèi)稳∪齻€(gè)實(shí)數(shù)l、m、n，我們分別用兩組有理數(shù)從兩個(gè)方向無限接近它們，a<l<a'，b<m<b'，c<n<c'，對(duì)所有的（/任意的）a、b、c、a'、b'、c'，ab<lm<a'b',bc<mn<b'c'；

2. 由實(shí)數(shù)的積的定義，（ab）c<（lm）n<（a'b'）c'，a（bc）<l（mn）<a'（b'c'）；

3. 由有理數(shù)乘法結(jié)合律可知，（ab）c=a（bc），（a'b'）c'=a'（b'c'）；

4. 結(jié)合2、3，以及實(shí)數(shù)積的唯一性，可知（lm）n=l（mn）。

即實(shí)數(shù)乘法滿足結(jié)合律。

存在單位元1的證明——

1. 任取實(shí)數(shù)k，用兩組有理數(shù)從兩個(gè)方向無限接近它，a<k<a'，1也是一個(gè)實(shí)數(shù)，那么也存在兩組有理數(shù)可以無限接近它b<1<b'，顯然，ab<k*1<a'b’；

2. 由1顯然可得ab<a*1<a'*1<a'b'，即ab<a<a'<a'b'；

3. 結(jié)合1、2，可得ab<a<k<a'<a'b'；

4. 結(jié)合1、3，以及實(shí)數(shù)積的唯一性，可知k*1=k。

即實(shí)數(shù)中也存在與有理數(shù)一樣的數(shù)1，使得任何實(shí)數(shù)和1的積等于這個(gè)實(shí)數(shù)。

書中接著驗(yàn)證了實(shí)數(shù)乘法也滿足有理數(shù)乘法的第四個(gè)性質(zhì)——

即——

4.任何一個(gè)實(shí)數(shù)都有逆元——對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，都存在另一個(gè)實(shí)數(shù)1/a，使得，a*（1/a）=1，稱1/a和a互為倒數(shù)。

有理數(shù)已經(jīng)滿足這個(gè)性質(zhì)，所以只需要證明任意一個(gè)無理數(shù)都有倒數(shù)即可，書中先證明了正無理數(shù)的情形——

每個(gè)無理數(shù)都有倒數(shù)的證明，利用了”有理數(shù)分劃“這個(gè)工具，有理數(shù)必然有倒數(shù)，所以只需要證明無理數(shù)有倒數(shù)，即對(duì)任意一個(gè)無理數(shù)a，能找到一個(gè)實(shí)數(shù)1/a滿足，a*（1/a）=1，即可——

1. 任意一個(gè)正無理數(shù)a對(duì)應(yīng)一個(gè)有理數(shù)分劃，且，這個(gè)無理數(shù)不屬于上組或下組；
   

2. a.這個(gè)正無理數(shù)a確定的有理數(shù)分劃下組的所有正數(shù)的倒數(shù)必然大于其上組所有數(shù)的倒數(shù)，

   b.任意正有理數(shù)都有唯一的有理數(shù)倒數(shù)與之對(duì)應(yīng)，反之亦然，正有理數(shù)與其倒數(shù)形成了一個(gè)“一一對(duì)應(yīng)”，所以所有正有理數(shù)倒數(shù)依然覆蓋了所有正有理數(shù)，

   c.故而，所有負(fù)有理數(shù)&0&正無理數(shù)a確定的有理數(shù)分劃的上組所有正有理數(shù)的倒數(shù)構(gòu)成一個(gè)有理數(shù)分劃的下組，正無理數(shù)a確定的有理數(shù)分劃的下組所有正有理數(shù)的倒數(shù)構(gòu)成一個(gè)有理數(shù)分劃的上組，其界數(shù)就是我們要找的1/a；

   ——我們由此構(gòu)造了1/a，下面要驗(yàn)證其滿足a*（1/a）=1的條件——

3. 我們記a確定的有理數(shù)分劃下組的任意正數(shù)為x，上組任意正數(shù)為x'，那么（1/a）的下組任意元正數(shù)為1/x‘，上組任意正數(shù)為1/x，其中x<a<x'，1/x'<1/a<1/x，由此可知x*（1/x'）<a*(1/a)<x'*（1/x）；

4. 顯然，x*（1/x'）=1/[x'*（1/x）]，它們互為倒數(shù)，所以對(duì)任意的x*（1/x'），都有x*（1/x'）<1<x'*（1/x）；

5. 由3、4，以及實(shí)數(shù)積的唯一性，可知a*（1/a）=1。

即，任意正無理數(shù)也在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有倒數(shù)。

接著簡(jiǎn)要說明了一下，利用“絕對(duì)值”的定義，在負(fù)數(shù)范圍內(nèi)，無理數(shù)也有倒數(shù)——

即，任意無理數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有倒數(shù)。

即，任意實(shí)數(shù)都在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有倒數(shù)。

然后，用這四個(gè)性質(zhì)，直接導(dǎo)出了商的存在唯一性——

我們定義實(shí)數(shù)a為實(shí)數(shù)c與b的商，若它們滿足關(guān)系ab=c。

實(shí)數(shù)商的存在性——

令a=c（1/b），則由乘法的結(jié)合律、1的性質(zhì)、以及倒數(shù)的定義可知，ab=[c（1/b）]b=c[（1/b）b]=c*1=c，故a滿足關(guān)系ab=c；

實(shí)數(shù)商的唯一性——

假設(shè)存在a'滿足a'b=c，則由1的性質(zhì)、倒數(shù)的定義、以及乘法的結(jié)合律可知，a'=a‘*1=a'[b（1/b）]=[a'b]（1/b）=c（1/b）=a，即任何滿足這個(gè)條件的實(shí)數(shù)都是相等的，即商的唯一性。

由此我們定義求兩個(gè)數(shù)商的運(yùn)算為除法，記為a=c/b。

然后給出了幾個(gè)綜合性質(zhì)——

一、關(guān)于加法和乘法——分配律——

利用實(shí)數(shù)加法和乘法的定義可以證明；

二、關(guān)于乘法和序——不等號(hào)兩邊同時(shí)乘以正數(shù)序號(hào)不改變——

利用符號(hào)規(guī)則和差的分配律可證。

符號(hào)規(guī)則即——同號(hào)相乘得正數(shù)，異號(hào)相乘得負(fù)數(shù)，任何數(shù)乘以0都得到0。

實(shí)數(shù)還剩下最后一個(gè)性質(zhì)需要核驗(yàn)——

16阿基米德公理

在任意一個(gè)實(shí)數(shù)g確定的有理數(shù)分劃上組中，任意一個(gè)有理數(shù)c'都比g大，而阿基米德公理對(duì)任意有理數(shù)成立，即對(duì)任意實(shí)數(shù)g，存在自然數(shù)n>c'>g。

即實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，阿基米德公理成立。

至此，有理數(shù)范圍內(nèi)的重要公理，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都成立，所以我們方始獲得了在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，隨便加減乘除相互比較的快樂；

除此之外，實(shí)數(shù)還具有“連續(xù)性/完備性”，我們便能夠在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)利用已知的性質(zhì)，建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹皹O限”的理論了。

過幾期，我們就會(huì)進(jìn)入“極限論”的內(nèi)容，拭目以待！