充分條件和必要條件

2023-03-16 16:58 作者:一個(gè)學(xué)生66 0人讀過(guò) | 我要投稿

充分條件和必要條件

在高中課本中，邏輯排在課程前幾章，我覺得這是有原因的，因?yàn)閷W(xué)好充分條件、必要條件、充要條件、充分不必要條件、必要不充分條件等等，對(duì)以后的課程知識(shí)有許多的幫助。理解它們，對(duì)一些定理的正向推導(dǎo)和反向應(yīng)用會(huì)起到一些相當(dāng)大的作用。比如，在后面學(xué)到的函數(shù)零點(diǎn)知識(shí)，就可以使用高中學(xué)到的邏輯，縷清思路，判斷對(duì)錯(cuò)。

零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)?y=f(x) ，使 f(x)=0 的實(shí)數(shù)?x 叫做函數(shù) y=f(x) 的零點(diǎn)（即零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，而不是點(diǎn)坐標(biāo)）。

零點(diǎn)的存在性定理，就是一個(gè)充分不必要條件，即條件只是結(jié)論的充分條件，但不是結(jié)論的必要條件。??為什么這么說(shuō)呢，下面就這個(gè)定理來(lái)分析：

可見，如果有條件，則必有結(jié)論，符合充分條件的“有之則必然”，那是否符合充分條件的另一個(gè)特征“無(wú)之未必然”呢？

可見，即使沒(méi)有條件存在，依然可以得出結(jié)論，即當(dāng)圖像是連續(xù)曲線，但f(a)×f(b)>0時(shí)，依然存在函數(shù)零點(diǎn)，使得函數(shù)f(c) = 0。所以，也符合充分條件的“無(wú)之未必然”。

所以，條件是結(jié)論的充分條件。條件是結(jié)論的充分條件已經(jīng)證明，那么條件是不是結(jié)論的必要條件呢？

如果從結(jié)論不能推出條件，那么這個(gè)定理就是充分不必要的。

下面來(lái)證明一下，將剛才定理的條件變成結(jié)論，將結(jié)論變成條件：

可以看到，一個(gè)條件可以產(chǎn)生不止一個(gè)結(jié)論，這符合必要條件的特征：”無(wú)之必不然，有之未必然“。在這里就是：若不存在?c∈(a,b)，使得f(c)=0，則肯定沒(méi)有函數(shù)y?= f?(x)在區(qū)間(a，b)上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且端點(diǎn)值滿足f (a)?× f (b)＜0這個(gè)結(jié)果，這是”無(wú)之必不然“（可以參考上圖中的結(jié)論1）；

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?即使存在?c∈(a,b)，使得 f(c)=0，也未必有函數(shù)y?= f?(x)在區(qū)間(a，b)上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且端點(diǎn)值滿足f (a)?× f (b)＜0，這是“有之未必然”（參考上圖中的結(jié)論2，結(jié)論2就是f (a)?× f (b)>0）。

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所以，若存在?c∈(a,b)，使得 f(c)=0?是函數(shù)y = f (x)在區(qū)間(a，b)上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，端點(diǎn)值滿足f (a)?× f (b)＜0 的必要條件。

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也符合前面說(shuō)的：若A是B的充分條件，則B是A的必要條件。所以，函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理是一個(gè)充分不必要的條件。

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比如出道這么一道判斷題：函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)里有零點(diǎn)（函數(shù)圖像是連續(xù)不斷的），則?f (a)?× f (b)＜0 。這個(gè)就是錯(cuò)誤的。

因?yàn)闂l件函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)里有零點(diǎn)（函數(shù)圖像是連續(xù)不斷的）?是結(jié)論?f?(a)?× f (b)＜0的必要條件，結(jié)論有可能f?(a)?× f (b)＜0，也有可能 f (a)?× f (b)>0。

那么怎么使這個(gè)必要條件也變成充分條件呢？答：限制條件的范圍即可。

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上圖中的結(jié)論1和結(jié)論2的區(qū)別在于：函數(shù)圖象的單調(diào)性不同，結(jié)論1是一個(gè)單調(diào)性，結(jié)論2的圖象既有單調(diào)遞增又有單調(diào)遞減。
所以，給條件增加一條：函數(shù)圖象是單調(diào)的，就能使結(jié)論限制在結(jié)論1中。

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如果這么描述：函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)里有零點(diǎn)（函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，且圖象是單調(diào)的），則?f (a)?× f (b)＜0 。那么條件就只能推出一個(gè)結(jié)論，即f?(a)?× f (b)＜0 。