混料設(shè)計(jì)(Mixture Design)在實(shí)際工作中有許多的應(yīng)用，如化學(xué)溶液配置、醫(yī)藥產(chǎn)業(yè)制劑的配制都會使用；傳統(tǒng)的混料設(shè)計(jì)在成份的條件限制下，各成分比例會受彼此配置的影響，甚至各成分之間的比例也有限制。業(yè)界也針對不同的實(shí)驗(yàn)情景發(fā)展出不同的混料設(shè)計(jì)方法，如單純形重心設(shè)計(jì)(Simplex Centroid)、極端頂點(diǎn)法(Extreme Vertices)等。

隨著產(chǎn)業(yè)發(fā)展及工藝復(fù)雜性的提高，傳統(tǒng)的混料設(shè)計(jì)已經(jīng)不滿足既有的需求，加上新型優(yōu)化方法如D-optimal, I-optimal等發(fā)展，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的因子組合也不僅止于單一類型的因子。

今天我們就通過幾個實(shí)際案例，以JMP定制設(shè)計(jì)(Custom Design)平臺搭配混料因子及非混料參數(shù)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)挑選效應(yīng)項(xiàng)，針對混料因子與非混料參數(shù)間彼此獨(dú)立以及有交互作用時的兩種情景，來分別看看如何開展混料實(shí)驗(yàn)與分析。希望對大家有幫助。

?傳統(tǒng)常用估計(jì)的混料模型種類如下：

線性模型: 主效應(yīng)為主

二次模型: 主效應(yīng)+二次交互作用項(xiàng)

特殊三次模型: 主效應(yīng)+二次交互作用項(xiàng)以及三次交互作用項(xiàng)

完整三次模型: 主效應(yīng)+二次交互作用項(xiàng)以及三次交互作用項(xiàng)+特殊效應(yīng)項(xiàng)

而非混料因子常見設(shè)計(jì)模型表達(dá)式如下：

一般實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，混料因子與非混料因子常常被視為獨(dú)立的存在，但兩者有可能存在交互作用。

所以接下來我們分別討論上述兩種情形。

第一種情形：兩種因子間彼此獨(dú)立，模型如下：

f(x)為混料模型，g(z)非混料參數(shù)模型，c(x,z)整合了兩者互為獨(dú)立的模型，此模型又稱線性可加模型。

第二種情形：兩種因子間存在交互作用，模型復(fù)雜且估計(jì)項(xiàng)多，如下所示：

假定由三個混料因子以及兩個工藝參數(shù)組合：

其中f(x)為特殊三次混料模型，g(z)為二次模型，所以考慮交互作用下，模型為：

考慮交互作用的模型示意圖如下，工藝參數(shù)的設(shè)計(jì)為立方體，在立方體頂點(diǎn)上再加入混料設(shè)計(jì)的單體(simplex)，所組成的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，如下圖：

在設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)時需要注意，混料設(shè)計(jì)著重預(yù)測，所以以計(jì)算機(jī)優(yōu)化方法去設(shè)計(jì)模型時，我們需要比較設(shè)計(jì)出來的效率如G-efficacy（降低設(shè)計(jì)空間最大的預(yù)測方差）以及平均預(yù)測方差，此時也可以比較使用D-optimal與I-optimal時，效率誰優(yōu)誰劣。

我們以幾個實(shí)際案例來說明，并通過JMP 定制設(shè)計(jì)(Custom Design)平臺去設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)。

兩種因子彼此獨(dú)立

第一個例子注1為半導(dǎo)體干蝕刻工藝的案例。此案例使用線性加成的模型去擬合。

案例背景如下：

總共8因子的干蝕刻實(shí)驗(yàn):??

1. 3種制程氣體: A, B, C 為混料型因子

2. 5個工藝參數(shù)因子: Power, Pressure, Temperature, Time, Total Flow，并且給定氣體A與B的比例限制式：

氣體C則是控制在10%到25%的比例，響應(yīng)變量則是設(shè)定ER(蝕刻率)目標(biāo)值=100與ER Std(蝕刻率的標(biāo)準(zhǔn)偏差)要越小越好。以下為響應(yīng)變量Y與因子X的設(shè)定值表：

在定制設(shè)計(jì)(Custom Design)平臺下分別設(shè)定好Y與X變量如圖1:

氣體A與氣體B的指定線性約束可拆解如下(i)(ii)，并添加約束因子，如圖2：

分別考慮工藝因子的主效應(yīng)與交互作用項(xiàng)，以及混料因子的主效應(yīng)以及交互作用項(xiàng)加入模型內(nèi)，設(shè)計(jì)出24次實(shí)驗(yàn)。如圖3：

在收集資料前，可以使用比較設(shè)計(jì)(Compare Design)平臺去比較指標(biāo)，如Power(越高越好), Prediction Variance(越小越好), Design Space下的Prediction Variance變化(越小越好)和Design Efficiency(以G-efficiency和I-efficiency為主，值越大越好)如下圖。以此例比較兩種設(shè)計(jì)，差異不大。

接著使用標(biāo)準(zhǔn)最小二乘法擬合模型如圖4：

篩選出的顯著因子如圖5所示：

可解釋Y變量的比例如圖6：根據(jù)選定顯著效應(yīng)項(xiàng)可解釋ER的R方為0.99，可調(diào)整R方為0.98，可解釋ER Std的R方為0.87，可調(diào)整R方為0.64，代表這些效應(yīng)項(xiàng)所建立的模型可進(jìn)行下一步的預(yù)測。至于ER Std可調(diào)整R方較小，預(yù)測刻畫器置信區(qū)間較寬，后續(xù)如果想要改進(jìn)ER Std預(yù)測的精度，可以利用擴(kuò)充設(shè)計(jì)增加實(shí)驗(yàn)次數(shù)。

使用預(yù)測刻畫器搭配混料刻畫器，可找出最佳設(shè)定組合，以及可操作的作業(yè)空間，如圖7與圖8所示：

從圖上可以看出，最優(yōu)的ER為91.3，而ER Std為0.84，Power, Press, Temp, Total Flow, Gas A, Gas B, Gas C的設(shè)定值分別為：60.61, 100, 40, 45, 80, 0.9, 0, 0.1，而三元圖空白區(qū)域代表可操作的作業(yè)空間。

?

兩種因子存在交互

第二個例子引用Optimum Experimental Designs. New York: Oxford University Press. Atkinson, A. C., and Donev, A. N.(1992)的案例。

響應(yīng)變量為Damping阻尼系數(shù)，用來量測丙烯腈的電磁阻尼。三種混料成分組合如下：

• CuSO4，比例介在 0.2 到 0.8
  

• Na2S2O3，比例介在0.2 到 0.8

• Glyoxal ，比例介在 0 到 0.6

• 包含一個非混料類別因子：Wavelength波長有三個水平：L1, L2, L3，因?yàn)閷?shí)驗(yàn)者只對這三個水平有興趣。

同樣在定制設(shè)計(jì)(Custom Design)平臺下輸入Y與X變量，如圖9：

加入所有因子的交互作用項(xiàng)，其中波長因子主效應(yīng)會被自動刪除，因?yàn)闀泄簿€性的影響。生成18次實(shí)驗(yàn)如圖10所示：

同例1，可使用比較設(shè)計(jì)來比較不同計(jì)算機(jī)優(yōu)化方法有無差異，此例并沒有差異，所以就不展示結(jié)果。

直接使用JMP擬合模型（Fit Model）平臺，就可以將剛才的模型項(xiàng)自動帶入做估計(jì)，如下圖11所示：

需要注意的一點(diǎn)是，直接在Fit Model自己選擇要估計(jì)的效應(yīng)項(xiàng)時，有可能造成共線性發(fā)生，如下圖12：

至于要如何避免共線性，由于文章篇幅有限，所以這里僅提供幾個方法供大家參考。

1 使用stepwise方法挑選模型；

2 使用JMP Pro的Generalized Regression處理；

3 如果是做實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，在挑選效應(yīng)項(xiàng)時，JMP會提供警告并移除可能造成共線性的效應(yīng)項(xiàng)；

4 確認(rèn)變量相關(guān)性并搭配多變量方法處理再建模等。

最終，篩選出的顯著因子如圖13所示：

可解釋Y變量的比例如圖14所示：根據(jù)選定顯著效應(yīng)項(xiàng)可解釋Damping的R方為0.88，可調(diào)整R方為0.82，代表這些效應(yīng)項(xiàng)所建立的模型可進(jìn)行下一步的預(yù)測。

使用預(yù)測刻畫器搭配混料刻畫器，可找出最佳設(shè)定組合，以及可操作的作業(yè)空間，如圖15與圖16所示：最優(yōu)的Damping為9.36，CuSO4, Na2S2O3, Glyoxal, Wavelength的設(shè)定值分別為0.629, 0.37, 0和 L2，可作業(yè)空間為三元圖空白的區(qū)域。

以上我們簡單介紹了兩種不同的模型，并搭配兩個實(shí)際案例，介紹了混料與非混料因子結(jié)合模型可能遇到的問題點(diǎn)。建模方法的說明此篇礙于篇幅介紹的不多。當(dāng)兩種不同因子類型具有交互作用時，需要考慮不同的建模方法，隨著因子數(shù)增加，模型也會更加復(fù)雜，所以期望以此篇文章做一個簡單說明，讓大家能夠熟悉基本的思路和操作，并能夠運(yùn)用到實(shí)際工作來解決混料實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的難題。想要在JMP軟件中親自體驗(yàn)混料設(shè)計(jì)的話，可下載最新版JMP17 免費(fèi)試用：https://www.jmp.com/zh_cn/download-jmp-free-trial.html?utm_campaign=td7015b0000057famAAA&utm_source=bilibili&utm_medium=social