撰文?|?Ry Sullivan

翻譯?|?zhenni

審校?|?Nothing

最近我學(xué)習(xí)了一種新的曲線——旋輪線（也稱擺線，cycloid），來和我一起看看吧，你也會覺得很驚奇的。
我想我們所認(rèn)識的大多數(shù)形狀都時不時地出現(xiàn)在日常生活，很難發(fā)現(xiàn)新的形狀。從小學(xué)起我們就已經(jīng)認(rèn)識了方形、圓形和三角形，后來又學(xué)習(xí)了雙曲線、橢圓還有正弦曲線，但很多人都不知道這個形狀……那就是我最近才發(fā)現(xiàn)的令人驚奇的——旋輪線。接下來我將與大家一起學(xué)習(xí)這個新形狀。

什么是旋輪線？

在維基百科中，旋輪線被定義為“一個圓無滑動地沿一條直線滾動時，其邊上一點(diǎn)運(yùn)動的軌跡。”用下面這個動圖展示可能會更加直觀一些：

旋輪線就是圓在沿這條直線滾動時，邊界上一點(diǎn)所行進(jìn)的紅色軌跡。這就是旋輪線？很簡單對吧？并不是的。

旋輪線的歷史

旋輪線有時候會由于其在數(shù)學(xué)家當(dāng)中挑起很多紛爭而被稱為“幾何學(xué)家的海倫”，紛爭之一便是誰發(fā)現(xiàn)了這個形狀。
最早的候選者之一是給畢達(dá)哥拉斯寫傳記的人伊安布利霍斯（Iamblichus，公元前245-公元前325年），其他的候選者還有包括德國的尼古拉斯-庫薩（Nicholas of Cusa，公元1401-1464）、法國人Charles de Bovelles（1475-1566），意大利人伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）、法國人馬林·梅森（Marin Mersenne，1588-1648）等等一眾博學(xué)的人。但沒人能肯定誰才是最先發(fā)現(xiàn)旋輪線的人。

伊安布利霍斯是古希臘哲學(xué)家、長袍潮流引領(lǐng)人，也（可能）是旋輪線的發(fā)現(xiàn)者，顯然旋輪線帶來的名氣不能讓他擁有自己的半身大理石像。丨來源：https://en.wikipedia.org/wiki/Iamblichus

我想包括我在內(nèi)的大多數(shù)人也只是知道伽利略是最早研究旋輪線并給它起名的人，他甚至用金屬板制作了旋輪線的模型來研究旋輪線下的面積。如果那時候有微積分的話或許就容易一些了吧。順便一提，發(fā)明水銀氣壓計的托里拆利（Evangelista Torricelli）才是最終求解單條旋輪線下面積的人。
隨著時間推移，旋輪線吸引了大批有名望的數(shù)學(xué)家，其中包括笛卡爾、費(fèi)馬、帕斯卡、牛頓、萊布尼茨、洛必達(dá)、伯努利、歐拉、拉格朗日等等我能一下子就叫上來的名字。
他們顯然很喜歡創(chuàng)造一些關(guān)于旋輪線的競賽和問題，之后再以相互攻擊和辱罵結(jié)束。
帕斯卡（Blaise Pascal）早先就創(chuàng)造了一個關(guān)于求解旋輪線的重心、面積以及體積的比賽，并以西班牙金幣作為獎金?？上В辉u審認(rèn)為沒有人獲勝。倫敦的圣保羅大教堂的設(shè)計者克里斯托弗·雷恩（Christopher Wren，1632-1723）遞交了一份關(guān)于計算旋輪線長度的證明，雖然這不是競賽的內(nèi)容，但仍值得贊許。一位評委在多年后聲稱自己已經(jīng)解決了這個問題但一直沒有文字記載，于是引發(fā)了輿論戰(zhàn)爭。（起碼雷恩通過了自己發(fā)表的成果獲得了屬于他的聲譽(yù)。）
遺憾的是，伯努利（Johann Bernoulli）在1696年提出的挑戰(zhàn)最終也以失敗告終，之后我會給大家介紹。

利用數(shù)學(xué)更深入地了解旋輪線

我們已經(jīng)對旋輪線的歷史有所熟悉了，你可能會有些和偉人伽利略、雷恩一樣的幾何問題：旋輪線下的面積是多少？旋輪線的長度是多少？旋輪線到底是什么形狀的啊？

還好我們有數(shù)學(xué)和發(fā)達(dá)的網(wǎng)絡(luò)。
下面的參數(shù)方程可以表示出在一個圓前進(jìn)時上面一點(diǎn)隨時間（t）變化的用 x、y 坐標(biāo)表示旋輪線軌跡， x、y 彼此獨(dú)立，所以有兩個方程：
x(t) = r(t?sin(t))y(t) = r(1?cos(t))
為了更好地理解這兩個方程，我們令 t = π . 此時 x(π) = r ( π ? sin(π) ) = r ( π ? 0 ) =?πr . 因?yàn)閳A的周長為 2πr ，此時圓滾動了半圈；這個點(diǎn)的高度為 y(π) = r ( 1 ? cos(π) ) = r ( 1 + 1 ) = 2r ，兩倍的半徑可以看出圓上這一點(diǎn)達(dá)到了滾動一周的最高點(diǎn)。
通過兩個等式，我們就可以利用微積分來計算旋輪線的長度和面積了。利用網(wǎng)絡(luò)的幫助和對早先數(shù)學(xué)知識的回憶，我利用不同顏色的筆完成了這個優(yōu)雅的證明：

就像有關(guān)于圓的其他問題一樣，這個解非常簡潔，單條旋輪線下的面積是?3πr2. 令人驚奇的是，伽利略對于旋輪線下面積（3πr2）和圓面積（πr2）的比值計算已經(jīng)非常接近 3:1 了，而這個結(jié)果只是用非常老派的金屬拼接方法來完成的。旋輪線的長度是 8r ，和雷恩老早就算出來的一致，之中沒有 π 的影子。
這個結(jié)果可以說非常之優(yōu)美。

物理中的旋輪線

旋輪線只是中看不中用嗎？自然界中是否存在旋輪線呢？雖然不像其他幾何學(xué)親戚那樣，但旋輪線仍然以一些神奇的姿態(tài)存在于自然界中。

讓我們來回到前面提到的、伯努利在1696年向頂尖數(shù)學(xué)家們提出了他的問題：

我，約翰·伯努利（Johann Bernoulli），致全世界最聰慧的數(shù)學(xué)家們：
對于聰明的人們來說，沒有什么比一個直白且具有挑戰(zhàn)性的問題更具有吸引力的了，更別說這些解法可能會讓他們聲名鵲起，流芳百世。根據(jù)帕斯卡、費(fèi)馬等人提出的例子，我希望我也能通過提出一個現(xiàn)在最頂尖的數(shù)學(xué)家們考驗(yàn)自己頭腦的技巧和力量的問題，來獲得學(xué)界的感謝。如果有人能夠給出我接下來的問題的解法，那么我將在公眾面前表達(dá)對他的贊美。

這個人完全不認(rèn)為自己在說大話——雖然“公開贊揚(yáng)”聽起來好像并沒有西班牙金幣有吸引力。接下來就是他的問題：

在一個垂直空間中有點(diǎn) A 和點(diǎn) B ，有一質(zhì)點(diǎn)只受到重力的作用從 A 至 B ，它的軌跡經(jīng)過什么樣的曲線用時最短？

換句話說，如果有一個小球只受重力場的作用，在一個無摩擦力的軌道上從高一點(diǎn)的 A 點(diǎn)至低一點(diǎn)的 B 點(diǎn)運(yùn)動（ AB 連線不是豎直的），那么什么軌跡可以使小球運(yùn)動的時間最短？
但考慮到伯努利用錯誤的方法推導(dǎo)出了正確的結(jié)果、又從自己的兄弟那里抄來了正確的推導(dǎo)，他的“獎勵”變得有趣了不少。
伯努利給公眾了六個月的時間去提交解答，但沒有收到回應(yīng)。萊布尼茨提議將提交的期限延長至一年半，在這個延長期里，牛頓完成了這個挑戰(zhàn)。
據(jù)牛頓說，他是在1967年1月29日下午4:00從皇家鑄幣廠回家時收到的約翰·伯努利的信件的。他工作了整晚并在第二天以匿名的方式郵出了自己的正確解答，但由于這個解答太過于優(yōu)秀、太過于“牛頓”，伯努利一下子就認(rèn)出了“留下這個爪印的獅子”。
牛頓一晚上的解決時間打破了伯努利所用的兩周的記錄。牛頓在自己的信中加入了一些當(dāng)時數(shù)學(xué)家愛表達(dá)的不屑：“我不喜歡被外國人在數(shù)學(xué)方面糾纏和取樂……”牛頓從來都不怎么討人喜歡，可以說是不近人情。

牛頓，最不近人情的旋輪線數(shù)學(xué)家。丨來源：https://whatculture.com/offbeat/10-times-well-loved-scientists-were-total-jerks?page=10
這個牛頓和伯努利解出的最快路徑被稱為最速降落曲線（brachistochrone curve），來源于希臘語中的“最短時間”，根據(jù)這篇文章的主題相信大家也猜到了，這個路徑就是旋輪線的一段，下面的動圖用實(shí)驗(yàn)來展示這個問題：

動態(tài)圖中的最速降線，永遠(yuǎn)是不同高度兩點(diǎn)之間受重力作用下降最快的路徑。最速降線在上圖中為中間那條，下圖中為紅色曲線。

認(rèn)識到自然界中一些圖形的特點(diǎn)也太有趣了。
關(guān)于旋輪線的另一個插曲是等時降落曲線（tautochrone curve），來源于希臘語“同樣時間”，你可以把一個小球放到這個曲線的任意位置，到達(dá)最低點(diǎn)所用的時間都是相等的。這個圖形來源于半條旋輪線，下面這個動圖展示了這個曲線：

等時降落曲線，旋輪線的另一種有趣的形式。無論你把小球放曲線上在哪個彩球的位置，它們到達(dá)底端所用的時間都相等。

還有一個叫旋輪線擺的東西，這個擺的頂端在兩條旋輪線的交點(diǎn)位置。這個擺的線會沿著兩個旋輪線彎曲，而這個擺掃過的線居然是另外一條旋輪線！

旋輪線擺在兩個旋輪線之間創(chuàng)造出了另一條旋輪線。
我們還可以利用圓滾旋輪線來做很多變換。同樣是在沿直線滾動向前的圓形，圓內(nèi)或者圓外一點(diǎn)的軌跡可以變成更彎曲或平坦的曲線，做成可視化的圖片如下圖所示：

不同的旋輪線曲線。丨來源：https://www.researchgate.net/figure/Cycloidal-motion-and-examples-of-cycloids-Cycloid-blue-prolate-cycloid-red-curtate_fig12_304707433

接下來我們可以看到由滾動的圓形或其他圖形繞某些圖形所組成的旋輪線家族。
你也可以通過從任意高度掉落物體來創(chuàng)造一條旋輪線，這個物體相對于地球的下落軌跡是一條豎直的線，但由于地球是一個旋轉(zhuǎn)的圓形，所以這個下落軌跡將會是一條輕微的倒旋輪線（雖然真得很輕微）！[2]

文學(xué)中的旋輪線

在過去幾個世紀(jì)中的文學(xué)作品中偶爾露面的旋輪線一定小有名氣，雖然我不能列出所有的情況，但以下是從赫爾曼·梅爾維爾（Herman Melville）在1851年的經(jīng)典作品《白鯨》中的一段：

在“裴闊德號”左手邊的煉鍋里，隨著滑石在周圍不住地繞圈，我突然第一次間接意識到一個事實(shí)，那就是所有在旋輪線上滑動的物體，以我的滑石為例，對于幾何學(xué)來說，無論之前在哪一點(diǎn)，之后都會一同落下。

建筑中的旋輪線

可以看出旋輪線真的很有意思，我在想是不是在日常生活中還遺漏了一些旋輪線。

建筑由大量的幾何圖形組成。許多著名的拱都來源于圓形（古羅馬拱）、橢圓形（半橢圓拱）、拋物線型（拋物線拱）以及懸鏈線（懸鏈線拱）。每種都有大量的例子，我從中挑選了幾個非常有名的：

巴黎的凱旋門是半圓拱券，也被稱為古羅馬拱券（Roman Arch）。

跨過倫敦泰晤士河的邱橋（Kew Bridge）具有半橢圓拱，能夠?yàn)榇缓突疖嚨冉煌üぞ邉?chuàng)造較寬闊的跨度。

加州大蘇爾美國一號公路的比克斯比橋具有拋物線拱。攝影：Alamy。

密蘇里州圣路易斯的拱門是一個懸鏈線拱，由于重量分布均勻，是最堅固的拱形。

旋輪線看起來和拱很相似，所以有沒有建筑用旋輪線拱的呢？根據(jù)網(wǎng)上的搜索結(jié)果，是有的，只是很少。有兩個例子在介紹中反復(fù)出現(xiàn)：
第一個是美國德州沃斯堡的金貝兒藝術(shù)博物館（Kimbell Art Museum）的屋頂，這個屋頂上的多個拱形是由一系列間隔的旋輪線組成的，這個滾輪構(gòu)成的圖形給予了它平滑的外觀，非常適合一個藝術(shù)博物館。

德克薩斯沃斯堡，金貝爾藝術(shù)博物館的旋輪線拱。
第二個擁有旋輪線拱的建筑是達(dá)特茅斯學(xué)院中霍普金斯中心正面的拱，是我本科就讀的學(xué)校，這讓我產(chǎn)生了另外的思考：是不是我四年中每天都看到這個建筑，才為旋輪線如此著迷？

新罕布什爾州漢諾威，達(dá)特茅斯學(xué)院的霍普金斯中心正面的旋輪線拱。

藝術(shù)和娛樂中的旋輪線

可能你小的時候就已經(jīng)“玩”過旋輪線了。萬花尺（繁花曲線規(guī)）是基于一種被稱為內(nèi)旋輪線（hypocycloid）的一般旋輪線的玩具，不同于隨直線滾動的圓，內(nèi)旋輪線是“由附著在大圓內(nèi)滾動的小圓上一定點(diǎn)的軌跡構(gòu)成的特殊平面曲線”。

萬花尺。丨來源：https://en.wikipedia.org/wiki/Spirograph
內(nèi)旋輪線有兩個特殊形式三角旋輪線（deltoid）和星狀線（astroid），可以分別通過特定的小圓沿大圓內(nèi)部滾動三周及四周獲得。你可能會在一些標(biāo)識上見過星狀線。

兩種特殊內(nèi)旋輪線：三角旋輪線（上）和星狀線（下）。
匹茲堡鋼人橄欖球隊的標(biāo)識上包含 3 個星狀線。
如果你覺得這種線條很令人舒適，有一些藝術(shù)家會利用多個不同尺寸組合滾動的圓來創(chuàng)造旋輪線藝術(shù)：
在Pinterest上的旋輪線藝術(shù)裝置。
Kickstarter上售賣的旋輪線藝術(shù)品。

光學(xué)中的旋輪線

另一種旋輪線形式可以通過沿一個圓外部滾動的圓上一定點(diǎn)的軌跡構(gòu)成。有一個特別的例子是心臟線（cardioid），是一個圓沿另一個半徑相等的圓外運(yùn)動其上一點(diǎn)的軌跡構(gòu)成的圖形，如下圖所示，這個形狀剛好有一個尖角類似于一顆心，也是它名字的來源：

心臟線是旋輪線的另一種類型。
心臟線在自然界中非常常見，特別容易出現(xiàn)在兩個圓形表面創(chuàng)造的焦散（caustic）中。在光學(xué)中，焦散定義了一種“由于物體表面不平整或反射產(chǎn)生的光線包絡(luò)線，或是其他表面的光線包絡(luò)線（envelope）投影”的曲線或曲面，在這條線或面上，每條光線都與之相切，這些光線集中的位置就是光線包絡(luò)線的邊界。
從咖啡杯到手表等多個圓形物體產(chǎn)生的焦散中，我們可以看到心臟線。

下次早晨喝茶的時候一定要瞪大眼睛看看茶杯里的圖形！??
分形幾何和混沌理論的框架曼德勃羅集合（Mandelbrot set）的中心區(qū)域的邊界也是一個精確的心臟線，雖然我不知道具體的原因，但仍然是另一種心臟線表現(xiàn)形式。

曼德勃羅集合第一階段的中心區(qū)域由一個完美的心臟線圍成。
旋輪線的形狀不止局限于圓形，你也可以沿一條直線滾動一個非圓形然后發(fā)現(xiàn)一個全新的圖形——多邊形轉(zhuǎn)跡線（cyclogon），下面是三角形和方形滾動的轉(zhuǎn)跡線：

一個等邊三角形沿一條直線無滑動滾動所形成的轉(zhuǎn)跡線弧。丨來源：https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclogon

一個正方形沿一條直線無滑動滾動所形成的轉(zhuǎn)跡線弧。丨來源：https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclogon

宇宙中的旋輪線

旋輪線不只是在滾輪，手表，茶杯或是螺旋儀等日常尺度上的圖形，它甚至可以達(dá)到行星尺度。木星的衛(wèi)星木衛(wèi)二歐羅巴（Europa，小圓）繞著巨大的木星（大圓）轉(zhuǎn)動時，受到的引力（一條直線）在衛(wèi)星上形成旋輪線，可以從歐羅巴衛(wèi)星圖像上的冰上裂痕中看出。這個裂痕和衛(wèi)星軌道受到引力壓力作用是一致的。

木星的衛(wèi)星歐羅巴表面的旋輪線形。丨來源：https://www.science.org/doi/10.1126/science.1248879

歐羅巴表面的旋輪線形成。丨來源：https://www.researchgate.net/figure/Model-of-cycloidal-crack-formation-on-Europa-by-Hoppa-et-al-The-arrows-represent-the_fig6_13779479

總結(jié)

我希望你也從這篇文章中學(xué)到一些新圖形的知識，畢竟旋輪線是一群很有意思的圖形，在我看了一系列的旋輪線后，更想去深入認(rèn)識身邊的宇宙了……

參考文獻(xiàn)

[1]?Eli, Maor and Eugen Jost. “Twisted Math and Beautiful Geometry.” American Scientist.

[2]?Lynch, Peter. “The curved history of cycloids, from Galileo to cycle gears.”?The Irish Times. 17-Sep-2015.

本文經(jīng)授權(quán)轉(zhuǎn)載自微信公眾號“中科院物理所”。原題目為《為了解決這個問題，大名鼎鼎的數(shù)學(xué)家不惜……》

原文鏈接：https://medium.com/@rysullivan/celebrating-the-cycloid-be4350ff187b