離散數(shù)學(xué)試題及答案

一、填空題

1 設(shè)集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 則A - B＝____________________; r(A) - r(B)＝ __________________________ .

2. 設(shè)有限集合A, |A| = n, 則 |r(A×A)| = __________________________.

3. 設(shè)集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 則從A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中雙射的是__________________________.

4. 已知命題公式G＝?(P?Q)∧R，則G的主析取范式是_______________________________

__________________________________________________________.

5.設(shè)G是完全二叉樹(shù)，G有7個(gè)點(diǎn)，其中4個(gè)葉點(diǎn)，則G的總度數(shù)為_(kāi)_________，分枝點(diǎn)數(shù)為_(kāi)_______________.

6 設(shè)A、B為兩個(gè)集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 則從A?B＝_________________________; AèB＝_________________________;A－B＝ _____________________ .

7. 設(shè)R是集合A上的等價(jià)關(guān)系，則R所具有的關(guān)系的三個(gè)特性是______________________, ________________________, _______________________________.

8. 設(shè)命題公式G＝?(P?(QùR))，則使公式G為真的解釋有__________________________，_____________________________, __________________________.

9. 設(shè)集合A＝{1,2,3,4}, A上的關(guān)系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 則 R1·R2 = ________________________,R2·R1 =____________________________, R12 =________________________.

10. 設(shè)有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 則| |r(A′B)| = _____________________________.

11 設(shè)A,B,R是三個(gè)集合，其中R是實(shí)數(shù)集，A = {x | -1≤x≤1, x?R}, B = {x | 0≤x < 2, x?R},則A-B = __________________________ , B-A = __________________________ ,

A∩B = __________________________ , .

13. 設(shè)集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，則R以集合形式(列舉法)記為_(kāi)__________ _______________________________________________________.

14. 設(shè)一階邏輯公式G = "xP(x)?$xQ(x)，則G的前束范式是__________________________ _____.

15.設(shè)G是具有8個(gè)頂點(diǎn)的樹(shù)，則G中增加_________條邊才能把G變成完全圖。

16. 設(shè)謂詞的定義域?yàn)閧a, b},將表達(dá)式"xR(x)→$xS(x)中量詞消除，寫(xiě)成與之對(duì)應(yīng)的命題公式是__________________________________________________________________________.

17. 設(shè)集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的二元關(guān)系R＝{(1,1),(1,2),(2,3)}, S＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。則R×S＝_____________________________________________________,

R2＝______________________________________________________.

二、選擇題

1 設(shè)集合A={2,{a},3,4}，B = {{a},3,4,1}，E為全集，則下列命題正確的是( )。

(A){2}?A (B){a}íA (C)?í{{a}}íBíE (D){{a},1,3,4}ìB.

2 設(shè)集合A={1,2,3},A上的關(guān)系R＝{(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}，則R不具備( ).

(A)自反性 (B)傳遞性 (C)對(duì)稱性 (D)反對(duì)稱性

3 設(shè)半序集(A,≤)關(guān)系≤的哈斯圖如下所示，若A的子集B = {2,3,4,5},則元素6為B的( )。

(A)下界 (B)上界 (C)最小上界 (D)以上答案都不對(duì)

4 下列語(yǔ)句中，( )是命題。

(A)請(qǐng)把門(mén)關(guān)上 (B)地球外的星球上也有人

(C)x + 5 > 6 (D)下午有會(huì)嗎？

5 設(shè)I是如下一個(gè)解釋：D＝{a,b},

則在解釋I下取真值為1的公式是( ).

(A)$x"yP(x,y) (B)"x"yP(x,y) (C)"xP(x,x) (D)"x$yP(x,y).

6. 若供選擇答案中的數(shù)值表示一個(gè)簡(jiǎn)單圖中各個(gè)頂點(diǎn)的度，能畫(huà)出圖的是( ).

(A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6).

7. 設(shè)G、H是一階邏輯公式，P是一個(gè)謂詞，G＝$xP(x), H＝"xP(x),則一階邏輯公式G?H是( ).

(A)恒真的 (B)恒假的 (C)可滿足的 (D)前束范式.

8 設(shè)命題公式G＝?(P?Q)，H＝P?(Q??P)，則G與H的關(guān)系是( )。

(A)GTH (B)HTG (C)G＝H (D)以上都不是.

9 設(shè)A, B為集合，當(dāng)( )時(shí)A－B＝B.

(A)A＝B (B)AíB (C)BíA (D)A＝B＝?.

10 設(shè)集合A = {1,2,3,4}, A上的關(guān)系R＝{(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)}, 則R具有( )。

(A)自反性 (B)傳遞性 (C)對(duì)稱性 (D)以上答案都不對(duì)

11 下列關(guān)于集合的表示中正確的為( )。

(A){a}?{a,b,c} (B){a}í{a,b,c} (C)??{a,b,c} (D){a,b}?{a,b,c}

12 命題"xG(x)取真值1的充分必要條件是( ).

(A) 對(duì)任意x，G(x)都取真值1. (B)有一個(gè)x0，使G(x0)取真值1.

(C)有某些x，使G(x0)取真值1. (D)以上答案都不對(duì).

13. 設(shè)G是連通平面圖，有5個(gè)頂點(diǎn)，6個(gè)面，則G的邊數(shù)是( ).

(A) 9條 (B) 5條 (C) 6條 (D) 11條.

14. 設(shè)G是5個(gè)頂點(diǎn)的完全圖，則從G中刪去( )條邊可以得到樹(shù).

(A)6 (B)5 (C)10 (D)4.

15. 設(shè)圖G的相鄰矩陣為

，則G的頂點(diǎn)數(shù)與邊數(shù)分別為( ).

(A)4, 5 (B)5, 6 (C)4, 10 (D)5, 8.

三、計(jì)算證明題

1.設(shè)集合A＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}，R為整除關(guān)系。

(1) 畫(huà)出半序集(A,R)的哈斯圖；

(2) 寫(xiě)出A的子集B = {3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界；

(3) 寫(xiě)出A的最大元，最小元，極大元，極小元。

1. 設(shè)集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的關(guān)系R＝{(x,y) | x, y?A 且 x 3 y}, 求

(1) 畫(huà)出R的關(guān)系圖；

(2) 寫(xiě)出R的關(guān)系矩陣.

2. 設(shè)R是實(shí)數(shù)集合，s,t,j是R上的三個(gè)映射，s(x) = x+3, t(x) = 2x, j(x) ＝ x/4,試求復(fù)合映射s?t，s?s, s?j, j?t，s?j?t.

4. 設(shè)I是如下一個(gè)解釋：D = {2, 3},

a

b

f (2)

f (3)

P(2, 2)

P(2, 3)

P(3, 2)

P(3, 3)

3

2

3

2

0

0

1

1

試求 (1) P(a, f (a))∧P(b, f (b));

(2) "x$y P (y, x).

5. 設(shè)集合A＝{1, 2, 4, 6, 8, 12}，R為A上整除關(guān)系。

(1) 畫(huà)出半序集(A,R)的哈斯圖；

(2) 寫(xiě)出A的最大元，最小元，極大元，極小元；

(3) 寫(xiě)出A的子集B = {4, 6, 8, 12}的上界，下界，最小上界，最大下界.

6. 設(shè)命題公式G = ?(P→Q)∨(Q∧(?P→R)), 求G的主析取范式。

7. (9分)設(shè)一階邏輯公式：G = ("xP(x)∨$yQ(y))→"xR(x)，把G化成前束范式.

9. 設(shè)R是集合A = {a, b, c, d}. R是A上的二元關(guān)系, R = {(a,b), (b,a), (b,c), (c,d)},

(1) 求出r(R), s(R), t(R)；

(2) 畫(huà)出r(R), s(R), t(R)的關(guān)系圖.

11. 通過(guò)求主析取范式判斷下列命題公式是否等價(jià)：

(1) G = (P∧Q)∨(?P∧Q∧R)

(2) H = (P∨(Q∧R))∧(Q∨(?P∧R))

13. 設(shè)R和S是集合A＝{a, b, c, d}上的關(guān)系，其中R＝{(a, a),(a, c),(b, c),(c, d)}, S＝{(a, b),(b, c),(b, d),(d, d)}.

(1) 試寫(xiě)出R和S的關(guān)系矩陣；

(2) 計(jì)算R?S, R∪S, R－1, S－1?R－1.

四、證明題

1. 利用形式演繹法證明：{P→Q, R→S, P∨R}蘊(yùn)涵Q∨S。

2. 設(shè)A,B為任意集合，證明：(A-B)-C = A-(B∪C).

3. (本題10分)利用形式演繹法證明：{?A∨B, ?C→?B, C→D}蘊(yùn)涵A→D。

4. (本題10分)A, B為兩個(gè)任意集合，求證：

A－(A∩B) = (A∪B)－B .

參考答案

一、填空題

1. {3}; {{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.

2.

.

3. a1= {(a,1), (b,1)}, a2= {(a,2), (b,2)},a3= {(a,1), (b,2)}, a4= {(a,2), (b,1)}; a3, a4.

4. (P∧?Q∧R).

5. 12, 3.

6. {4}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2}.

7. 自反性；對(duì)稱性；傳遞性.

8. (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0).

9. {(1,3),(2,2),(3,1)}; {(2,4),(3,3),(4,2)}; {(2,2),(3,3)}.

10. 2m′n.

11. {x | -1≤x < 0, x?R}; {x | 1 < x < 2, x?R}; {x | 0≤x≤1, x?R}.

12. 12; 6.

13. {(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}.

14. $x(?P(x)∨Q(x)).

15. 21.

16. (R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)).

17. {(1, 3),(2, 2)}; {(1, 1),(1, 2),(1, 3)}.

二、選擇題

1. C. 2. D. 3. B. 4. B.

5. D. 6. C. 7. C.

8. A. 9. D. 10. B. 11. B.

13. A. 14. A. 15. D

三、計(jì)算證明題

1.

(1)

(2) B無(wú)上界，也無(wú)最小上界。下界1, 3; 最大下界是3.

(3) A無(wú)最大元，最小元是1，極大元8, 12, 90+; 極小元是1.

2.R = {(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.

(1)

(2)

3. (1)s?t＝s(t(x))＝t(x)+3＝2x+3＝2x+3.

(2)s?s＝s(s(x))＝s(x)+3＝(x+3)+3＝x+6,

(3)s?j＝s(j(x))＝j(luò)(x)+3＝x/4+3,

(4)j?t＝j(luò)(t(x))＝t(x)/4＝2x/4 = x/2,

(5)s?j?t＝s?(j?t)＝j(luò)?t+3＝2x/4+3＝x/2+3.

4. (1) P(a, f (a))∧P(b, f (b)) = P(3, f (3))∧P(2, f (2))

= P(3, 2)∧P(2, 3)

= 1∧0

= 0.

(2) "x$y P (y, x) = "x (P (2, x)∨P (3, x))

= (P (2, 2)∨P (3, 2))∧(P (2, 3)∨P (3, 3))

= (0∨1)∧(0∨1)

= 1∧1

= 1.

5. (1)

(2) 無(wú)最大元，最小元1，極大元8, 12; 極小元是1.

(3) B無(wú)上界，無(wú)最小上界。下界1, 2; 最大下界2.

6. G = ?(P→Q)∨(Q∧(?P→R))

= ?(?P∨Q)∨(Q∧(P∨R))

= (P∧?Q)∨(Q∧(P∨R))

= (P∧?Q)∨(Q∧P)∨(Q∧R)

= (P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)

= (P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)

= m3∨m4∨m5∨m6∨m7 = S(3, 4, 5, 6, 7).

7. G = ("xP(x)∨$yQ(y))→"xR(x)

= ?("xP(x)∨$yQ(y))∨"xR(x)

= (?"xP(x)∧?$yQ(y))∨"xR(x)

= ($x?P(x)∧"y?Q(y))∨"zR(z)

= $x"y"z((?P(x)∧?Q(y))∨R(z))

9. (1) r(R)＝R∪IA＝{(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d)},

s(R)＝R∪R－1＝{(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c)},

t(R)＝R∪R2∪R3∪R4＝{(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)}；

(2)關(guān)系圖:

11. G＝(P∧Q)∨(?P∧Q∧R)

＝(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)

＝m6∨m7∨m3

＝? (3, 6, 7)

H = (P∨(Q∧R))∧(Q∨(?P∧R))

＝(P∧Q)∨(Q∧R))∨(?P∧Q∧R)

＝(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)

＝(P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)

＝m6∨m3∨m7

＝? (3, 6, 7)

G,H的主析取范式相同，所以G = H.

13. (1)

(2)R?S＝{(a, b),(c, d)},

R∪S＝{(a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d)},

R－1＝{(a, a),(c, a),(c, b),(d, c)},

S－1?R－1＝{(b, a),(d, c)}.

四 證明題

1. 證明：{P→Q, R→S, P∨R}蘊(yùn)涵Q∨S

(1) P∨R P

(2) ?R→P Q(1)

(3) P→Q P

(4) ?R→Q Q(2)(3)

(5) ?Q→R Q(4)

(6) R→S P

(7) ?Q→S Q(5)(6)

(8) Q∨S Q(7)

2. 證明：(A-B)-C = (A∩~B)∩~C

= A∩(~B∩~C)

= A∩~(B∪C)

= A-(B∪C)

3. 證明：{?A∨B, ?C→?B, C→D}蘊(yùn)涵A→D

(1) A D(附加)

(2) ?A∨B P

(3) B Q(1)(2)

(4) ?C→?B P

(5) B→C Q(4)

(6) C Q(3)(5)

(7) C→D P

(8) D Q(6)(7)

(9) A→D D(1)(8)

所以 {?A∨B, ?C→?B, C→D}蘊(yùn)涵A→D.

3. 證明：A－(A∩B)

= A∩~(A∩B)

＝A∩(~A∪~B)

＝(A∩~A)∪(A∩~B)

＝?∪(A∩~B)

＝(A∩~B)

＝A－B

而 (A∪B)－B

= (A∪B)∩~B

= (A∩~B)∪(B∩~B)

= (A∩~B)∪?

= A－B

所以：A－(A∩B) = (A∪B)－B.

離散數(shù)學(xué)試題（A卷及答案）

一、（10分）某項(xiàng)工作需要派A、B、C和D 4個(gè)人中的2個(gè)人去完成，按下面3個(gè)條件，有幾種派法？如何派？

(1)若A去，則C和D中要去1個(gè)人；

(2)B和C不能都去；

(3)若C去，則D留下。

解 設(shè)A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。則根據(jù)題意應(yīng)有：A?C?D，?(B∧C)，C??D必須同時(shí)成立。因此

(A?C?D)∧?(B∧C)∧(C??D)

?(?A∨(C∧? D)∨(?C∧D))∧(?B∨?C)∧(?C∨?D)

?(?A∨(C∧? D)∨(?C∧D))∧((?B∧?C)∨(?B∧?D)∨?C∨(?C∧?D))

?(?A∧?B∧?C)∨(?A∧?B∧?D)∨(?A∧?C)∨(?A∧?C∧?D)

∨(C∧? D∧?B∧?C)∨(C∧? D∧?B∧?D)∨(C∧? D∧?C)∨(C∧? D∧?C∧?D)

∨(?C∧D∧?B∧?C)∨(?C∧D∧?B∧?D)∨(?C∧D∧?C)∨(?C∧D∧?C∧?D)

?F∨F∨(?A∧?C)∨F∨F∨(C∧? D∧?B)∨F∨F∨(?C∧D∧?B)∨F∨(?C∧D)∨F

?(?A∧?C)∨(?B∧C∧? D)∨(?C∧D∧?B)∨(?C∧D)

?(?A∧?C)∨(?B∧C∧? D)∨(?C∧D)

?T

故有三種派法：B∧D，A∧C，A∧D。

二、（15分）在謂詞邏輯中構(gòu)造下面推理的證明：某學(xué)術(shù)會(huì)議的每個(gè)成員都是專家并且是工人，有些成員是青年人，所以，有些成員是青年專家。

解：論域：所有人的集合。

(

)：

是專家；

(

)：

是工人；

(

)：

是青年人；則推理化形式為：

(

(

)∧

(

))，

(

)

(

(

)∧

(

))

下面給出證明：

(1)

(

) P

(2)

(c) T(1)，ES

(3)

(

(

)∧

(

)) P

(4)

( c)∧

( c) T(3)，US

(5)

( c) T(4)，I

(6)

( c)∧

(c) T(2)(5)，I

(7)

(

(

)∧

(

)) T(6) ，EG

三、（10分）設(shè)A、B和C是三個(gè)集合，則AìBT?(BìA)。

證明：AìB?"x(x∈A→x∈B)∧$x(x∈B∧x?A)?"x(x?A∨x∈B)∧$x(x∈B∧x?A)

??$x(x∈A∧x?B)∧?"x(x?B∨x∈A)T?$x(x∈A∧x?B)∨?"x(x∈A∨x?B)

??($x(x∈A∧x?B)∧"x(x∈A∨x?B))??($x(x∈A∧x?B)∧"x(x∈B→x∈A))

??(BìA)。

四、（15分）設(shè)A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元關(guān)系，且R＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。

解 r(R)＝R∪IA＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>}

s(R)＝R∪R－1＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，2>，<4，2>，<4，3>}

R2＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}

R3＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>}

R4＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}＝R2

t(R)＝

Ri＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，1>，<5，4>，<5，5>}。

五、（10分）R是非空集合A上的二元關(guān)系，若R是對(duì)稱的，則r(R)和t(R)是對(duì)稱的。

證明 對(duì)任意的x、y∈A，若xr(R)y，則由r(R)＝R∪IA得，xRy或xIAy。因R與IA對(duì)稱，所以有yRx或yIAx，于是yr(R)x。所以r(R)是對(duì)稱的。

下證對(duì)任意正整數(shù)n，Rn對(duì)稱。

因R對(duì)稱，則有xR2y?$z(xRz∧zRy)?$z(zRx∧yRz)?yR2x，所以R2對(duì)稱。若

對(duì)稱，則x

y?$z(x

z∧zRy)?$z(z

x∧yRz)?y

x，所以

對(duì)稱。因此，對(duì)任意正整數(shù)n，

對(duì)稱。

對(duì)任意的x、y∈A，若xt(R)y，則存在m使得xRmy，于是有yRmx，即有yt(R)x。因此，t(R)是對(duì)稱的。

六、（10分）若f：A→B是雙射，則f－1：B→A是雙射。

證明 因?yàn)閒：A→B是雙射，則f－1是B到A的函數(shù)。下證f－1是雙射。

對(duì)任意x∈A，必存在y∈B使f(x)＝y(tǒng)，從而f－1(y)＝x，所以f－1是滿射。

對(duì)任意的y1、y2∈B，若f－1(y1)＝f－1(y2)＝x，則f(x)＝y(tǒng)1，f(x)＝y(tǒng)2。因?yàn)閒：A→B是函數(shù)，則y1＝y(tǒng)2。所以f－1是單射。

綜上可得，f－1：B→A是雙射。

七、（10分）設(shè)<S，*>是一個(gè)半群，如果S是有限集，則必存在a∈S，使得a*a＝a。

證明 因?yàn)?lt;S，*>是一個(gè)半群，對(duì)任意的b∈S，由*的封閉性可知，b2＝b*b∈S，b3＝b2*b∈S，…，bn∈S，…。

因?yàn)镾是有限集，所以必存在j＞i，使得

＝

。令p＝j(luò)－i，則

＝

*

。所以對(duì)q≥i，有

＝

*

。

因?yàn)閜≥1，所以總可找到k≥1，使得kp≥i。對(duì)于

∈S，有

＝

*

＝

*(

*

)＝…＝

*

。

令a＝，則a∈S且a*a＝a。

八、（20分）（1）若G是連通的平面圖，且G的每個(gè)面的次數(shù)至少為l(l≥3)，則G的邊數(shù)m與結(jié)點(diǎn)數(shù)n有如下關(guān)系：

m≤

(n－2)。

證明 設(shè)G有r個(gè)面，則2m＝

≥lr。由歐拉公式得，n－m＋r＝2。于是， m≤

(n－2)。

（2）設(shè)平面圖G＝<V，E，F(xiàn)>是自對(duì)偶圖，則| E|＝2(|V|－1)。

證明 設(shè)G*＝<V*，E*>是連通平面圖G＝<V，E，F(xiàn)>的對(duì)偶圖，則G*@ G，于是|F|＝|V*|＝|V|，將其代入歐拉公式|V|－|E|＋|F|＝2得，|E|＝2(|V|－1)。

離散數(shù)學(xué)試題（B卷及答案）

一、（10分）證明(P∨Q)∧(P?R)∧(Q?S)

S∨R

證明 因?yàn)镾∨R??R?S，所以，即要證(P∨Q)∧(P?R)∧(Q?S)

?R?S。

(1)?R 附加前提

(2)P?R P

(3)?P T(1)(2)，I

(4)P∨Q P

(5)Q T(3)(4)，I

(6)Q?S P

(7)S T(5)(6)，I

(8)?R?S CP

(9)S∨R T(8)，E

二、（15分）根據(jù)推理理論證明：每個(gè)考生或者勤奮或者聰明，所有勤奮的人都將有所作為，但并非所有考生都將有所作為，所以，一定有些考生是聰明的。

設(shè)P(e)：e是考生，Q(e)：e將有所作為，A(e)：e是勤奮的，B(e)：e是聰明的，個(gè)體域：人的集合，則命題可符號(hào)化為："x(P(x)?(A(x)∨B(x)))，"x(A(x)?Q(x))，?"x(P(x)?Q(x))

$x(P(x)∧B(x))。

(1)?"x(P(x)?Q(x)) P

(2)?"x(?P(x)∨Q(x)) T(1)，E

(3)$x(P(x)∧?Q(x)) T(2)，E

(4)P(a)∧?Q(a) T(3)，ES

(5)P(a) T(4)，I

(6)?Q(a) T(4)，I

(7)"x(P(x)?(A(x)∨B(x)) P

(8)P(a)?(A(a)∨B(a)) T(7)，US

(9)A(a)∨B(a) T(8)(5)，I

(10)"x(A(x)?Q(x)) P

(11)A(a)?Q(a) T(10)，US

(12)?A(a) T(11)(6)，I

(13)B(a) T(12)(9)，I

(14)P(a)∧B(a) T(5)(13)，I

(15)$x(P(x)∧B(x)) T(14)，EG

三、（10分）某班有25名學(xué)生，其中14人會(huì)打籃球，12人會(huì)打排球，6人會(huì)打籃球和排球，5人會(huì)打籃球和網(wǎng)球，還有2人會(huì)打這三種球。而6個(gè)會(huì)打網(wǎng)球的人都會(huì)打另外一種球，求不會(huì)打這三種球的人數(shù)。

解 設(shè)A、B、C分別表示會(huì)打排球、網(wǎng)球和籃球的學(xué)生集合。則：

|A|＝12，|B|＝6，|C|＝14，|A∩C|＝6，|B∩C|＝5，|A∩B∩C|＝2，|(A∪C)∩B|＝6。

因?yàn)閨(A∪C)∩B|＝(A∩B)∪(B∩C)|＝|(A∩B)|＋|(B∩C)|－|A∩B∩C|＝|(A∩B)|＋5－2＝6，所以|(A∩B)|＝3。于是|A∪B∪C|＝12＋6＋14－6－5－3＋2＝20，

＝25－20＝5。故，不會(huì)打這三種球的共5人。

四、（10分）設(shè)A1、A2和A3是全集U的子集，則形如

Ai￠(Ai￠為Ai或

)的集合稱為由A1、A2和A3產(chǎn)生的小項(xiàng)。試證由A1、A2和A3所產(chǎn)生的所有非空小項(xiàng)的集合構(gòu)成全集U的一個(gè)劃分。

證明 小項(xiàng)共8個(gè)，設(shè)有r個(gè)非空小項(xiàng)s1、s2、…、sr(r≤8)。

對(duì)任意的a∈U，則a∈Ai或a∈

，兩者必有一個(gè)成立，取Ai￠為包含元素a的Ai或

，則a∈

Ai￠，即有a∈

si，于是Uí

si。又顯然有

siíU，所以U＝

si。

任取兩個(gè)非空小項(xiàng)sp和sq，若sp≠sq，則必存在某個(gè)Ai和

分別出現(xiàn)在sp和sq中，于是sp∩sq＝?。

綜上可知，{s1，s2，…，sr}是U的一個(gè)劃分。

五、（15分）設(shè)R是A上的二元關(guān)系，則：R是傳遞的?R*RíR。

證明 (5)若R是傳遞的，則<x，y>∈R*RT$z(xRz∧zSy)TxRc∧cSy，由R是傳遞的得xRy，即有<x，y>∈R，所以R*RíR。

反之，若R*RíR，則對(duì)任意的x、y、z∈A，如果xRz且zRy，則<x，y>∈R*R，于是有<x，y>∈R，即有xRy，所以R是傳遞的。

六、（15分）若G為連通平面圖，則n－m＋r＝2，其中，n、m、r分別為G的結(jié)點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)和面數(shù)。

證明 對(duì)G的邊數(shù)m作歸納法。

當(dāng)m＝0時(shí)，由于G是連通圖，所以G為平凡圖，此時(shí)n＝1，r＝1，結(jié)論自然成立。

假設(shè)對(duì)邊數(shù)小于m的連通平面圖結(jié)論成立。下面考慮連通平面圖G的邊數(shù)為m的情況。

設(shè)e是G的一條邊，從G中刪去e后得到的圖記為G￠，并設(shè)其結(jié)點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)和面數(shù)分別為n￠、m￠和r￠。對(duì)e分為下列情況來(lái)討論：

若e為割邊，則G￠有兩個(gè)連通分支G1和G2。Gi的結(jié)點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)和面數(shù)分別為ni、mi和ri。顯然n1＋n2＝n￠＝n，m1＋m2＝m￠＝m－1，r1＋r2＝r￠＋1＝r＋1。由歸納假設(shè)有n1－m1＋r1＝2，n2－m2＋r2＝2，從而(n1＋n2)－(m1＋m2)＋(r1＋r2)＝4，n－(m－1)＋(r＋1)＝4，即n－m＋r＝2。

若e不為割邊，則n￠＝n，m￠＝m－1，r￠＝r－1，由歸納假設(shè)有n￠－m￠＋r￠＝2，從而n－(m－1)＋r－1＝2，即n－m＋r＝2。

由數(shù)學(xué)歸納法知，結(jié)論成立。

七、（10分）設(shè)函數(shù)g：A→B，f：B→C，則：

(1)fog是A到C的函數(shù)；

(2)對(duì)任意的x∈A，有fog(x)＝f(g(x))。

證明 (1)對(duì)任意的x∈A，因?yàn)間：A→B是函數(shù)，則存在y∈B使<x，y>∈g。對(duì)于y∈B，因f：B→C是函數(shù)，則存在z∈C使<y，z>∈f。根據(jù)復(fù)合關(guān)系的定義，由<x，y>∈g和<y，z>∈f得<x，z>∈g*f，即<x，z>∈fog。所以Dfog＝A。

對(duì)任意的x∈A，若存在y1、y2∈C，使得<x，y1>、<x，y2>∈fog＝g*f，則存在t1使得<x，t1>∈g且<t1， y1>∈f，存在t2使得<x，t2>∈g且<t2，y2>∈f。因?yàn)間：A→B是函數(shù)，則t1＝t2。又因f：B→C是函數(shù)，則y1＝y(tǒng)2。所以A中的每個(gè)元素對(duì)應(yīng)C中惟一的元素。

綜上可知，fog是A到C的函數(shù)。

(2)對(duì)任意的x∈A，由g：A→B是函數(shù)，有<x，g(x)>∈g且g(x)∈B，又由f：B→C是函數(shù)，得<g(x)，f(g(x))>∈f，于是<x，f(g(x))>∈g*f＝fog。又因fog是A到C的函數(shù)，則可寫(xiě)為fog(x)＝f(g(x))。

八、（15分）設(shè)<H，*>是<G，*>的子群，定義R＝{<a，b>|a、b∈G且a－1*b∈H}，則R是G中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，且[a]R＝aH。

證明 對(duì)于任意a∈G，必有a－1∈G使得a－1*a＝e∈H，所以<a，a>∈R。

若<a，b>∈R，則a－1*b∈H。因?yàn)镠是G的子群，故(a－1*b)－1＝b－1*a∈H。所以<b，a>∈R。

若<a，b>∈R，<b，c>∈R，則a－1*b∈H，b－1*c∈H。因?yàn)镠是G的子群，所以(a－1*b)*(b－1*c)＝a－1*c∈H，故<a，c>∈R。

綜上可得，R是G中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。

對(duì)于任意的b∈[a]R，有<a，b>∈R，a－1*b∈H，則存在h∈H使得a－1*b＝h，b＝a*h，于是b∈aH，[a]RíaH。對(duì)任意的b∈aH，存在h∈H使得b＝a*h，a－1*b＝h∈H，<a，b>∈R，故aHí[a]R。所以，[a]R＝aH。