離散數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案-(左孝凌版)
1-1，1-2
（1） 解：
a) 是命題，真值為T。
b) 不是命題。
c) 是命題，真值要根據(jù)具體情況確定。
d) 不是命題。
e) 是命題，真值為T。
f) 是命題，真值為T。
g) 是命題，真值為F。
h) 不是命題。
i) 不是命題。
（2） 解：
原子命題：我愛北京天安門。
復(fù)合命題：如果不是練健美操，我就出外旅游拉。
（3） 解：
a) (┓P ∧R)→Q
b) Q→R
c) ┓P
d) P→┓Q
（4） 解：
a)設(shè)Q:我將去參加舞會(huì)。R:我有時(shí)間。P:天下雨。
Q? (R∧┓P):我將去參加舞會(huì)當(dāng)且僅當(dāng)我有時(shí)間和天不下雨。
b)設(shè)R:我在看電視。Q:我在吃蘋果。
R∧Q:我在看電視邊吃蘋果。
c) 設(shè)Q:一個(gè)數(shù)是奇數(shù)。R:一個(gè)數(shù)不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則它不能被2整除并且一個(gè)數(shù)不能被2整除，則它是奇數(shù)。
(5) 解：
a) 設(shè)P：王強(qiáng)身體很好。Q：王強(qiáng)成績(jī)很好。P∧Q
b) 設(shè)P：小李看書。Q：小李聽音樂(lè)。P∧Q
c) 設(shè)P：氣候很好。Q：氣候很熱。P∨Q
d) 設(shè)P： a和b是偶數(shù)。Q：a+b是偶數(shù)。P→Q
e) 設(shè)P：四邊形ABCD是平行四邊形。Q ：四邊形ABCD的對(duì)邊平行。P?Q
f) 設(shè)P：語(yǔ)法錯(cuò)誤。Q：程序錯(cuò)誤。R：停機(jī)。（P∨ Q）→ R
(6) 解：
a) P:天氣炎熱。Q:正在下雨。 P∧Q
b) P:天氣炎熱。R:濕度較低。 P∧R
c) R:天正在下雨。S:濕度很高。 R∨S
d) A:劉英上山。B:李進(jìn)上山。 A∧B
e) M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N
f) L:你看電影。M:我看電影。 ┓L→┓M
g) P:我不看電視。Q:我不外出。 R:我在睡覺。 P∧Q∧R
h) P:控制臺(tái)打字機(jī)作輸入設(shè)備。Q:控制臺(tái)打字機(jī)作輸出設(shè)備。P∧Q
1-3
（1）解：
a) 不是合式公式，沒(méi)有規(guī)定運(yùn)算符次序（若規(guī)定運(yùn)算符次序后亦可作為合式公式）
b) 是合式公式
c) 不是合式公式（括弧不配對(duì)）
d) 不是合式公式（R和S之間缺少聯(lián)結(jié)詞）
e) 是合式公式。
（2）解：
a） A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B)) 是合式公式。這個(gè)過(guò)程可以簡(jiǎn)記為：
A；(A∨B)；(A→(A∨B))
同理可記
b） A；┓A ；(┓A∧B) ；((┓A∧B)∧A)
c） A；┓A ；B；(┓A→B) ；(B→A) ；((┓A→B)→(B→A))
d） A；B；(A→B) ；(B→A) ；((A→B)∨(B→A))
（3）解：
a） ((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C))
b） ((B→A)∨(A→B))。
（4）解：
a) 是由c) 式進(jìn)行代換得到，在c) 中用Q代換P, (P→P)代換Q.
d) 是由a) 式進(jìn)行代換得到，在a) 中用 P→(Q→P)代換Q.
e) 是由b) 式進(jìn)行代換得到，用R代換P, S代換Q, Q代換R, P代換S.
（5）解：
a) P: 你沒(méi)有給我寫信。 R: 信在途中丟失了。 P Q
b) P: 張三不去。Q: 李四不去。R: 他就去。 (P∧Q)→R
c) P: 我們能劃船。 Q: 我們能跑步。 ┓(P∧Q)
d) P: 你來(lái)了。Q: 他唱歌。R: 你伴奏。 P→(Q?R)
（6）解：
P:它占據(jù)空間。 Q:它有質(zhì)量。 R:它不斷變化。 S:它是物質(zhì)。
這個(gè)人起初主張：(P∧Q∧R) ? S
后來(lái)主張：(P∧Q?S)∧(S→R)
這個(gè)人開頭主張與后來(lái)主張的不同點(diǎn)在于：后來(lái)認(rèn)為有P∧Q必同時(shí)有R，開頭時(shí)沒(méi)有這樣的主張。
（7）解：
a) P: 上午下雨。 Q:我去看電影。 R:我在家里讀書。 S:我在家里看報(bào)。(┓P→Q)∧(P→(R∨S))
b) P: 我今天進(jìn)城。Q:天下雨。┓Q→P
c) P: 你走了。 Q:我留下。Q→P
1-4
（4）解：a)
P Q R
Q∧R
P∧(Q∧R)
P∧Q
(P∧Q)∧R
T T T
T T F
T F T
T F F
F T T
F T F
F F T
F F F
T
F
F
F
T
F
F
F
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F
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F
F
F
F
F
T
T
F
F
F
F
F
F
T
F
F
F
F
F
F
F
所以，P∧(Q∧R) ? (P∧Q)∧R
b)
P Q R
Q∨R
P∨(Q∨R)
P∨Q
(P∨Q)∨R
T T T
T T F
T F T
T F F
F T T
F T F
F F T
F F F
Ｔ
Ｔ
Ｔ
Ｆ
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Ｔ
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Ｔ
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所以，P∨(Q∨R) ? (P∨Q)∨R
ｃ）
Ｐ?。选。?/strong>
Ｑ∨Ｒ
Ｐ∧（Ｑ∨Ｒ）
Ｐ∧Ｑ
Ｐ∧Ｒ
（Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧Ｒ）
Ｔ?。浴。?/strong>
Ｔ?。浴。?/strong>
Ｔ?。啤。?/strong>
Ｔ?。啤。?/strong>
Ｆ?。浴。?/strong>
Ｆ?。浴。?/strong>
Ｆ?。啤。?/strong>
Ｆ Ｆ?。?/strong>
Ｔ
Ｔ
Ｔ
Ｆ
Ｔ
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Ｆ
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Ｆ
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Ｆ
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Ｆ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
Ｔ
Ｔ
Ｔ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
所以，P∧(Q∨R) ? (P∧Q)∨(P∧R)
ｄ）
P Q
┓P
┓Q
┓P∨┓Q
┓(P∧Q)
┓P∧┓Q
┓(P∨Q)
T T
T F
F T
F F
F
F
T
T
F
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
所以，┓(P∧Q) ?┓P∨┓Q, ┓(P∨Q) ?┓P∧┓Q
（5）解：如表，對(duì)問(wèn)好所填的地方，可得公式F1～F6，可表達(dá)為
P
Q
R
F1
F2
F3
F4
F5
F6
T
T
T
T
F
T
T
F
F
T
T
F
F
F
T
F
F
F
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F
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T
F
F
T
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F
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F
F
F
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F
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T
F
F
T
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
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F
F
F
T
F
F
F
T
T
F
T
T
T
F
F
F
F
F
T
F
T
T
T
F1:(Q→P)→R
F2:(P∧┓Q∧┓R)∨(┓P∧┓Q∧┓R)
F3:(P←→Q)∧(Q∨R)
F4:(┓P∨┓Q∨R)∧(P∨┓Q∨R)
F5:(┓P∨┓Q∨R)∧(┓P∨┓Q∨┓R)
F6:┓(P∨Q∨R)
(6)
P
Q
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
F
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
T
F
F
F
F
F
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
T
T
T
T
F
F
F
F
F
F
F
F
T
T
T
T
T
T
T
T
解：由上表可得有關(guān)公式為
1.F 2.┓(P∨Q) 3.┓(Q→P) 4.┓P
5.┓(P→Q) 6.┓Q 7.┓(P?Q) 8.┓(P∧Q)
9.P∧Q 10.P?Q 11.Q 12.P→Q
13.P 14.Q→P 15.P∨Q 16.T
(7) 證明：
a) A→(B→A)? ┐A∨(┐B∨A)
? A∨(┐A∨┐B)
? A∨(A→┐B)
?┐A→(A→┐B)
b) ┐(A?B) ?┐((A∧B)∨(┐A∧┐B))
?┐((A∧B)∨┐(A∨B))
?(A∨B)∧┐(A∧B)
或 ┐(A?B) ?┐((A→B)∧(B→A))
?┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))
?┐((┐A∧┐B)∨(┐A∧A)∨(B∧┐B)∨(B∧A))
?┐((┐A∧┐B)∨(B∧A))
?┐(┐(A∨B))∨(A∧B)
?(A∨B)∧┐(A∧B)
c) ┐(A→B) ? ┐(┐A∨B) ?A∧┐B
d) ┐(A?B)?┐((A→B)∧(B→A))
?┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))
?(A∧┐B)∨(┐A∧B)
e) (((A∧B∧C)→D)∧(C→(A∨B∨D)))
?(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐C∨(A∨B∨D))
?(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐(┐A∧┐B∧C)∨D)
? (┐(A∧B∧C)∧┐(┐A∧┐B∧C))∨D
?((A∧B∧C)∨(┐A∧┐B∧C))→D
? (((A∧B)∨(┐A∧┐B))∧C)→D
? ((C∧(A?B))→D)
f) A→(B∨C) ? ┐A∨(B∨C)
? (┐A∨B)∨C
?┐(A∧┐B)∨C
? (A∧┐B)→C
g) (A→D)∧(B→D)?(┐A∨D)∧(┐B∨D)
?(┐A∧┐B)∨D
? ┐(A∨B)∨D
? (A∨B)→D
h) ((A∧B)→C)∧(B→(D∨C))
?(┐(A∧B)∨C)∧(┐B∨(D∨C))
? (┐(A∧B)∧(┐B∨D))∨C
?(┐(A∧B) ∧┐(┐D∧B))∨C
?┐((A∧B)∨(┐D∧B))∨C
? ((A∨┐D)∧B)→C
? (B∧(D→A))→C
（8）解：
a) ((A→B) ? (┐B→┐A))∧C
? ((┐A∨B) ? (B∨┐A))∧C
? ((┐A∨B) ? (┐A∨B))∧C
?T∧C ?C
b) A∨(┐A∨(B∧┐B)) ? (A∨┐A)∨(B∧┐B) ?T∨F ?T
c) (A∧B∧C)∨(┐A∧B∧C)
? (A∨┐A) ∧(B∧C)
?T∧(B∧C)
?B∧C
（9）解：1）設(shè)C為T，A為T，B為F，則滿足A∨C?B∨C，但A?B不成立。
2）設(shè)C為F，A為T，B為F，則滿足A∧C?B∧C，但A?B不成立。
3）由題意知┐A和┐B的真值相同，所以A和B的真值也相同。
習(xí)題 1-5
（1） 證明：
a) (P∧(P→Q))→Q
? (P∧(┐P∨Q))→Q
?(P∧┐P)∨(P∧Q)→Q
?(P∧Q)→Q
?┐(P∧Q)∨Q
?┐P∨┐Q∨Q
?┐P∨T
?T
b) ┐P→(P→Q)
?P∨(┐P∨Q)
? (P∨┐P)∨Q
?T∨Q
?T
c) ((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)
因?yàn)?P→Q)∧(Q→R)T(P→R)
所以 (P→Q)∧(Q→R)為重言式。
d) ((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))?(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)
因?yàn)?(a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))
?((a∨c)∧b)∨(c∧a)
?((a∨c)∨(c∧a))∧(b∨(c∧a))
?(a∨c)∧(b∨c)∧(b∨a)
所以((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))?(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) 為重言式。
（2） 證明：
a)(P→Q)TP→(P∧Q)
解法1：
設(shè)P→Q為T
（1）若P為T，則Q為T，所以P∧Q為T，故P→(P∧Q)為T
（2）若P為F，則Q為F，所以P∧Q為F，P→(P∧Q)為T
命題得證
解法2：
設(shè)P→(P∧Q)為F ，則P為T，(P∧Q)為F ，故必有P為T，Q為F ，所以P→Q為F。
解法3：
(P→Q) →(P→(P∧Q))
?┐(┐P∨Q)∨(┐P∨(P∧Q))
?┐(┐P∨Q)∨((┐P∨P)∧(┐P∨Q))
?T
所以(P→Q)TP→(P∧Q)
b)(P→Q)→QTP∨Q
設(shè)P∨Q為F，則P為F，且Q為F，
故P→Q為T，(P→Q)→Q為F，
所以(P→Q)→QTP∨Q。
c)(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))TR→Q
設(shè)R→Q為F，則R為T，且Q為F，又P∧┐P為F
所以Q→(P∧┐P)為T，R→(P∧┐P)為F
所以R→(R→(P∧┐P))為F，所以(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))為F
即(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))TR→Q成立。
（3） 解：
a) P→Q表示命題“如果8是偶數(shù)，那么糖果是甜的”。
b) a)的逆換式Q→P表示命題“如果糖果是甜的，那么8是偶數(shù)”。
c) a)的反換式┐P→┐Q表示命題“如果8不是偶數(shù)，那么糖果不是甜的”。
d) a)的逆反式┐Q→┐P表示命題“如果糖果不是甜的，那么8不是偶數(shù)”。
（4） 解：
a) 如果天下雨，我不去。
設(shè)P：天下雨。Q：我不去。P→Q
逆換式Q→P表示命題:如果我不去，則天下雨。
逆反式┐Q→┐P表示命題:如果我去，則天不下雨
b) 僅當(dāng)你走我將留下。
設(shè)S：你走了。R：我將留下。R→S
逆換式S→R表示命題：如果你走了則我將留下。
逆反式┐S→┐R表示命題：如果你不走，則我不留下。
c) 如果我不能獲得更多幫助，我不能完成個(gè)任務(wù)。
設(shè)E：我不能獲得更多幫助。H：我不能完成這個(gè)任務(wù)。E→H
逆換式H→E表示命題：我不能完成這個(gè)任務(wù)，則我不能獲得更多幫助。
逆反式┐H→┐E表示命題：我完成這個(gè)任務(wù)，則我能獲得更多幫助
（5） 試證明P?Q，Q邏輯蘊(yùn)含P。
證明：解法1：
本題要求證明(P?Q) ∧QTP,
設(shè)(P?Q) ∧Q為T，則(P?Q)為T，Q為T，故由?的定義，必有P為T。
所以(P?Q) ∧QTP
解法2：
由體題可知，即證((P?Q)∧Q)→P是永真式。
((P?Q)∧Q)→P
? (((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∧Q)→P
? (┐((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∨┐Q) ∨P
? (((┐P∨┐Q) ∧(P∨Q)) ∨┐Q) ∨P
? ((┐Q∨┐P∨┐Q) ∧(┐Q∨P∨Q)) ∨P
? ((┐Q∨┐P) ∧T) ∨P
?┐Q∨┐P∨P
?┐Q∨T
?T
（6） 解：
P：我學(xué)習(xí) Q：我數(shù)學(xué)不及格 R：我熱衷于玩撲克。
如果我學(xué)習(xí)，那么我數(shù)學(xué)不會(huì)不及格： P→┐Q
如果我不熱衷于玩撲克，那么我將學(xué)習(xí): ┐R→P
但我數(shù)學(xué)不及格: Q
因此我熱衷于玩撲克。 R
即本題符號(hào)化為：(P→┐Q)∧(┐R→P)∧QTR
證：
證法1：((P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q)→R
? ┐((┐P∨┐Q)∧(R∨P)∧Q) ∨R
? (P∧Q)∨(┐R∧┐P)∨┐Q∨R
? ((┐Q∨P)∧(┐Q∨Q))∨((R∨┐R)∧(R∨┐P))
? ┐Q∨P∨R∨┐P
? T
所以，論證有效。
證法2：設(shè)(P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q為T，
則因Q為T，(P→┐Q) 為T，可得P為F，
由(┐R→P)為T，得到R為T。
故本題論證有效。
（7） 解：
P：6是偶數(shù) Q：7被2除盡 R：5是素?cái)?shù)
如果6是偶數(shù)，則7被2除不盡 P→┐Q
或5不是素?cái)?shù)，或7被2除盡 ┐R∨Q
5是素?cái)?shù) R
所以6是奇數(shù) ┐P
即本題符號(hào)化為：（P→┐Q）∧（┐R∨Q）∧R T┐P
證：
證法1：((P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R)→┐P
? ┐((┐P∨┐Q) ∧(┐R∨Q) ∧R) ∨┐P
? ((P∧Q) ∨(R∧┐Q) ∨┐R) ∨┐P
? ((┐P∨P) ∧(┐P∨Q)) ∨((┐R∨R) ∧(┐R∨┐Q))
? (┐P∨Q) ∨(┐R∨┐Q)
?T
所以，論證有效，但實(shí)際上他不符合實(shí)際意義。
證法2：(P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R為T，
則有R為T，且┐R∨Q 為T，故Q為T，
再由P→┐Q為T，得到┐P為T。
（8） 證明：
a) PT(┐P→Q)
設(shè)P為T，則┐P為F，故┐P→Q為T
b) ┐A∧B∧CTC
假定┐A∧B∧C為T，則C為T。
c) CTA∨B∨┐B
因?yàn)锳∨B∨┐B為永真，所以CTA∨B∨┐B成立。
d) ┐(A∧B) T┐A∨┐B
設(shè)┐(A∧B)為T，則A∧B為F。
若A為T，B為F，則┐A為F，┐B為T，故┐A∨┐B為T。
若A為F，B為T，則┐A為T，┐B為F，故┐A∨┐B為T。
若A為F，B為F，則┐A為T，┐B為T，故┐A∨┐B為T。
命題得證。
e) ┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐ATB∨C
設(shè)┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐A為T，
則D∨E為T，(D∨E)→┐A為T，所以┐A為T
又┐A→(B∨C)為T，所以B∨C為T。命題得證。
f) (A∧B)→C，┐D，┐C∨DT┐A∨┐B
設(shè)(A∧B)→C，┐D，┐C∨D為T，則┐D為T，┐C∨D為T，所以C為F
又(A∧B)→C為T，所以A∧B為F，所以┐A∨┐B為T。命題得證。
（9）解：
a) 如果他有勇氣，他將得勝。
P：他有勇氣 Q：他將得勝
原命題：P→Q 逆反式：┐Q→┐P 表示：如果他失敗了，說(shuō)明他沒(méi)勇氣。
b) 僅當(dāng)他不累他將得勝。
P：他不累 Q：他得勝
原命題：Q→P 逆反式：┐P→┐Q 表示：如果他累，他將失敗。
習(xí)題 1-6
(1)解：
a) (P∧Q)∧┐P?(P∧┐P)∧Q?┐(T∨Q)
b) (P→(Q∨┐R)) ∧┐P∧Q
? (┐P∨(Q∨┐R))∧┐P∧Q
?(┐P∧┓P∧Q)∨(Q∧┓P∧Q)∨(┓R∧┓P∧Q)
?(┓P∧Q)∨(┓P∧Q)∨(┓P∧┓R∧Q)
?┓P∧Q
?┐(P∨┐Q)
c) ┐P∧┐Q∧(┐R→P)
?┐P∧┐Q∧(R∨P)
?(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧P)
?(┐P∧┐Q∧R)∨F
?┐P∧┐Q∧R
?┐(P∨Q∨┐R)
(2) 解：
a)┐P? P↓P
b)P∨Q?┐(P↓Q) ? (P↓Q)↓(P↓Q)
c)P∧Q?┐P↓┐Q? (P↓P)↓(Q↓Q)
(3)解：
P→(┐P→Q)
?┐P∨(P∨Q)
?T
?┐P∨P
? (┐P↑┐P)↑(P↑P)
?P↑(P↑P)
P→(┐P→Q)
?┐P∨(P∨Q)
?T
?┐P∨P
?┐(┐P↓P)
?┐((P↓P)↓P)
?((P↓P)↓P)↓((P↓P)↓P)
(4)解：
P↑Q
?┐(┐P↓┐Q)
?┐((P↓P)↓(Q↓Q))
? ((P↓P)↓(Q↓Q))↓((P↓P)↓(Q↓Q))
(5)證明：
┐(B↑C)
?┐(┐B∨┐C)
? ┐B↓┐C
┐(B↓C)
?┐(┐B∧┐C)
?┐B↑┐C
(6)解：聯(lián)結(jié)詞“↑”和“↓”不滿足結(jié)合律。舉例如下：
a)給出一組指派：P為T，Q為F，R為F，則(P↑Q)↑R為T，P↑(Q↑R)為F
故 (P↑Q)↑R P↑(Q↑R).
b)給出一組指派：P為T，Q為F，R為F，則(P↓Q) ↓R為T，P↓(Q↓R)為F
故(P↓Q)↓R P↓(Q↓R).
(7)證明：
設(shè)變?cè)狿，Q，用連結(jié)詞?,┐作用于P，Q得到：P，Q，┐P，┐Q，P?Q，P?P，Q?Q，Q?P。
但P?Q?Q?P，P?P?Q?Q，故實(shí)際有：
P，Q，┐P，┐Q，P?Q，P?P（T） （A）
用┐作用于（A）類，得到擴(kuò)大的公式類（包括原公式類）：
P，Q，┐P，┐Q，┐（P?Q）， T，F(xiàn)， P?Q （B）
用?作用于（A）類，得到：
P?Q，P?┐P?F，P?┐Q?┐（P?Q），P?（P?Q）?Q，P?（P?P）?P，
Q?┐P?┐（P?Q），Q?┐Q?F，Q?（P?Q）?P，Q?T?Q,
┐P?┐Q?P?Q，┐P?（P?Q）?┐Q，┐P?T?┐P,
┐Q?（P?Q）?┐P，┐Q?T?┐Q,
（P?Q）?（P?Q）?P?Q.
因此，（A）類使用運(yùn)算后，仍在（B）類中。
對(duì)（B）類使用┐運(yùn)算得：
┐P，┐Q，P，Q， P?Q， F，T，
┐（P?Q），
仍在（B）類中。
對(duì)（B）類使用?運(yùn)算得：
P?Q，P?┐P?F，P?┐Q?┐（P?Q），P?┐（P?Q）?┐Q，P?T?P，P?F?┐P，P?（P?Q）?Q，
Q?┐P?┐（P?Q），Q?┐Q?F，Q?┐（P?Q）?┐P，Q?T?Q, Q?F?┐Q， Q?（P?Q）?P，
┐P?┐Q?P?Q，┐P?┐（P?Q）?Q，┐P?T?┐P, ┐P?F?P,┐P?（P?Q）?┐Q，
┐Q?┐（P?Q）?P，┐Q?T?┐Q, ┐Q?T?┐Q,┐Q?（P?Q）?┐P，
┐（P?Q）?T?┐（P?Q），┐（P?Q）?F?P?Q，┐（P?Q）?（P?Q）?F
T?F?F，T?（P?Q）? P?Q
F?（P?Q）? ┐（P?Q）
（P?Q）?（P?Q）?P?Q.
故由（B）類使用?運(yùn)算后，結(jié)果仍在（B）中。
由上證明：用?,┐兩個(gè)連結(jié)詞，反復(fù)作用在兩個(gè)變?cè)墓街校Y(jié)果只能產(chǎn)生（B）類中的公式，總共僅八個(gè)不同的公式，故{?,┐}不是功能完備的，更不能是最小聯(lián)結(jié)詞組。
已證{?,┐}不是最小聯(lián)結(jié)詞組，又因?yàn)镻 Q? ┐（P?Q），故任何命題公式中的聯(lián)結(jié)詞，如僅用{ , ┐}表達(dá)，則必可用{?,┐}表達(dá)，其逆亦真。故{ , ┐}也必不是最小聯(lián)結(jié)詞組。
(8)證明{∨}，{∧}和{→}不是最小聯(lián)結(jié)詞組。
證明：若{∨}，{∧}和{→}是最小聯(lián)結(jié)詞，則
┐P?（P∨P∨……）
┐P?（P∧P∧……）
┐P?P→(P→(P→……)
對(duì)所有命題變?cè)概蒚，則等價(jià)式左邊為F，右邊為T，與等價(jià)表達(dá)式矛盾。
所以{∨}，{∧}和{→}不是最小聯(lián)結(jié)詞。
(9)證明{┐,→}和{┐, }是最小聯(lián)結(jié)詞組。
證明：因?yàn)閧┐,∨}為最小聯(lián)結(jié)詞組，且P∨Q?┐P→Q
所以{┐,→}是功能完備的聯(lián)結(jié)詞組，又{┐},{→}都不是功能完備的聯(lián)結(jié)詞組。
所以{┐,→}是最小聯(lián)結(jié)詞組。
又因?yàn)镻→Q?┐(P Q)，所以{┐, }是功能完備的聯(lián)結(jié)詞組，又{┐},{ }不是功能完備的聯(lián)結(jié)詞組，
所以{┐, }是最小聯(lián)結(jié)詞組。
習(xí)題 1-7
(1) 解：
P∧(P→Q)
?P∧(┐P∨Q)
? (P∧┐P)∨(P∧Q)
P∧(P→Q)
? (P∨(┐Q∧Q))∧(┐P∨Q)
? (P∨┐Q)∧(P∨Q)∧(┐P∨Q)
(2) 解：
a) (┐P∧Q)→R
?┐(┐P∧Q)∨R
? P∨┐Q∨R
?(P∧Q)∨(P∧┐Q) ∨(┐Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(R∧P)∨(R∧┐P)
b) P→((Q∧R)→S)
?┐P∨(┐(Q∧R)∨S)
?┐P∨┐Q∨┐R∨S
?(┐P∧Q)∨(┐P∧┐Q) ∨(┐Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(┐R∧S)∨(┐R∧┐S)∨(S∧P)∨(S∧┐P)
c) ┐(P∨┐Q)∧(S→T)
?(┐P∧Q)∧(┐S∨T)
?(┐P∧Q∧┐S)∨(┐P∧Q∧T)
d) (P→Q)→R
?┐(┐P∨Q)∨R
?(P∧┐Q)∨R
?(P∨R)∧(┐Q∨R)
e) ┐(P∧Q)∧(P∨Q)
?(┐P∨┐Q)∧(P∨Q)
?(┐P∧P)∨(┐P∧Q)∨(┐Q∧P)∨(┐Q∧Q)
? (┐P∧Q)∨(┐Q∧P)
(3) 解：
a) P∨(┐P∧Q∧R)
?(P∨┐P)∧(P∨Q)∧(P∨R)
?(P∨Q)∧(P∨R)
b) ┐(P→Q)∨(P∨Q)
?┐(┐P∨Q)∨(P∨Q)
?(P∧┐Q)∨(P∨Q)
?(P∨P∨Q)∧(┐Q∨P∨Q)
c) ┐(P→Q)
?┐(┐P∨Q)
? P∧┐Q
?(P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(┐Q∨┐P)
d) (P→Q)→R
?┐(┐P∨Q)∨R
? (P∧┐Q)∨R
? (P∨R)∧(┐Q∨R)
e) (┐P∧Q)∨(P∧┐Q)
?(┐P∨P)∧(┐P∨┐Q)∧(Q∨P)∧(Q∨┐Q)
?(┐P∨┐Q)∧(Q∨P)
(4) 解：
a) (┐P∨┐Q)→(P?┐Q)
?┐(┐P∨┐Q) ∨(P?┐Q)
? (P∧Q) ∨(P∧┐Q)∨(┐P∧Q)
??1，2，3
?P∨Q=P0
b) Q∧(P∨┐Q)
? (P∧Q)∨(Q∧┐Q)
? P∧Q =?3
?P0，1，2
?(P∨Q)∧(P∨┐Q) ∧(┐P∨Q)
c) P∨(┐P→(Q∨(┐Q→R))
?P∨(P∨(Q∨(Q∨R))
?P∨Q∨R=P0
??1，2，3,4,5,6,7
=(┐P∧┐Q∧R) ∨(┐P∧Q∧┐R) ∨(┐P∧Q∧R) ∨(P∧┐Q∧┐R) ∨(P∧┐Q∧R) ∨(P∧Q∧┐R) ∨(P∧Q∧R)
d) (P→(Q∧R) )∧(┐P→(┐Q∧┐R))
? (┐P∨(Q∧R)) ∧(P∨(┐Q∧┐R))
? (P∧┐P) ∨(P∧(Q∧R)) ∨ ((┐Q∧┐R) ∧┐P) ∨((┐Q∧┐R) ∧(Q∧R))
? (P∧Q∧R) ∨(┐P∧┐Q∧┐R) =?0,7
?P1，2，3,4,5,6
? (P∨Q∨┐R) ∧(P∨┐Q∨R) ∧(P∨┐Q∨┐R) ∧(┐P∨Q∨R) ∧(┐P∨Q∨┐R) ∧(┐P∨┐Q∨R)
e) P→(P∧(Q→P)
?┐P∨(P∧(┐Q∨P)
?(┐P∨P)∧(┐P∨┐Q∨P)
?T∨(T∧┐Q) ?T
??0,1,2,3= (┐P∧┐Q) ∨(┐P∧Q) ∨(P∧┐Q) ∨(P∧Q)
f) (Q→P) ∧(┐P∧Q)
? (┐Q∨P) ∧┐P∧Q
? (┐Q∨P) ∧┐(P∨┐Q) ?F
?P0,1，2，3= (P∨Q) ∧(P∨┐Q) ∧(┐P∨Q) ∧(┐P∨┐Q)
(5) 證明：
a)
(A→B) ∧(A→C)
? (┐A∨B) ∧(┐A∨C)
A→(B∧C)
?┐A∨(B∧C)
? (┐A∨B) ∧(┐A∨C)
b)
(A→B) →(A∧B)
?┐(┐A∨B) ∨(A∧B)
? (A∧┐B) ∨(A∧B)
?A∧(B∨┐B)
?A∧T
?A
(┐A→B) ∧(B→A)
? (A∨B) ∧(┐B∨A)
?A∨(B∧┐B)
?A∨F
?A
c)
A∧B∧(┐A∨┐B)
? ((A∧┐A)∨(A∧┐B))∧B
?A∧B∧┐B
?F
┐A∧┐B∧(A∨B)
? ((┐A∧A)∨(┐A∧B))∧┐B
?┐A∧┐B∧B
?F
d)
A∨(A→(A∧B)
?A∨┐A∨(A∧B)
?T
┐A∨┐B∨(A∧B)
?┐(A∧B) ∨(A∧B)
?T
(6)解：A?R↑(Q∧┐(R↓P)),則A*? R↓(Q∨┐(R↑P))
A?R↑(Q∧┐(R↓P))
?┐(R∧(Q∧(R∨P)))
?┐R∨┐Q∨┐(R∨P)
?┐(R∧Q) ∨┐(R∨P)
A*?R↓(Q∨┐(R↑P))
?┐(R∨(Q∨(R∧P))
?┐R∧┐Q∧┐(R∧P)
?┐(R∨Q) ∧┐(R∧P)
(7) 解：設(shè)A：A去出差。B：B去出差。C：C去出差。D：D去出差。
若A去則C和D中要去一個(gè)。 A→(C
D)
B和C不能都去。 ┐(B∧C)
C去則D要留下。 C→┐D
按題意應(yīng)有：A→(C
D)，┐(B∧C)，C→┐D必須同時(shí)成立。
因?yàn)镃
D ? (C∧┐D) ∨(D∧┐C)
故(A→(C
D))∧┐(B∧C) ∧(C→┐D)
? (┐A∨(C∧┐D) ∨(D∧┐C)) ∧┐(B∧C) ∧(┐C∨┐D)
? (┐A∨(C∧┐D) ∨(D∧┐C)) ∧(┐B∨┐C) ∧(┐C∨┐D)
? (┐A∨(C∧┐D) ∨(D∧┐C)) ∧((┐B∧┐C) ∨(┐B∧┐D) ∨(┐C∧┐D) ∨┐C)
? (┐A∧┐B∧┐C) ∨(┐A∧┐B∧┐D) ∨(┐A∧┐C∧┐D) ∨(┐A∧┐C)
∨(┐B∧┐C∧D) ∨(┐C∧D∧┐B∧┐D) ∨(┐C∧D∧┐C∧┐D)
∨(┐C∧D∧┐C) ∨(┐D∧C∧┐B∧┐C) ∨(┐D∧C∧┐B∧┐D)
∨(┐D∧C∧┐C∧┐D) ∨(┐D∧C∧┐C)
在上述的析取范式中，有些（畫線的）不符合題意，舍棄，得
(┐A∧┐C) ∨(┐B∧┐C∧D) ∨（┐C∧D）∨(┐D∧C∧┐B)
故分派的方法為：B∧D ,或 D∧A,或 C∧A。
(8) 解：設(shè)P：A是第一。Q：B是第二。R：C是第二。S：D是第四。E：A是第二。
由題意得 (P
Q) ∧(R
S) ∧(E
S)
? ((P∧┐Q) ∨(┐P∧Q)) ∧((R∧┐S) ∨(┐R∧S)) ∧((E∧┐S) ∨(┐E∧S))
? ((P∧┐Q∧R∧┐S) ∨(P∧┐Q∧┐R∧S) ∨(┐P∧Q∧R∧┐S) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S))∧((E∧┐S)∨(┐E∧S))
因?yàn)?(P∧┐Q∧┐R∧S)與(┐P∧Q∧R∧┐S)不合題意，所以原式可化為
((P∧┐Q∧R∧┐S) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S))∧((E∧┐S) ∨(┐E∧S))
? (P∧┐Q∧R∧┐S∧E∧┐S) ∨(P∧┐Q∧R∧┐S∧┐E∧S) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧E∧┐S)∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E∧S)
? (P∧┐Q∧R∧┐S∧E) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E)
因R與E矛盾，故┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E為真，
即A不是第一，B是第二，C不是第二，D為第四，A不是第二。
于是得： A是第三 B是第二 C是第一 D是第四。
習(xí)題1-8
(1)證明：
a)┐(P∧┐Q)，┐Q∨R，┐RT┐P
(1) ┐R P
(2) ┐Q∨R P
(3) ┐Q (1)(2)T,I
(4) ┐(P∧┐Q) P
(5) ┐P∨Q (4)T,E
(6) ┐P (3)(5)T,I
b)J→(M∨N)，(H∨G)→J，H∨GTM∨N
(1) (H∨G) →J P
(2) (H∨G) P
(3) J (1)(2)T,I
(4) J→(M∨N) P
(5) M∨N (3)(4)T,I
c)B∧C，(B?C)→(H∨G) TG∨H
(1) B∧C P
(2) B (1)T,I
(3) C (1)T,I
(4) B∨┐C (2)T,I
(5) C∨┐B (3)T,I
(6) C→B (4)T,E
(7) B→C (5)T,E
(8) B?C (6)(7)T,E
(9) (B?C) →(H∨G) P
(10) H∨G (8)(9)T,I
d)P→Q，(┐Q∨R)∧┐R，┐(┐P∧S) T┐S
(1) (┐Q∨R) ∧┐R
(2) ┐Q∨R (1)T,I
(3) ┐R (1)T,I
(4) ┐Q (2)(3)T,I
(5) P→Q P
(6) ┐P (4)(5)T,I
(7) ┐(┐P∧┐S) P
(8) P∨┐S (7)T,E
(9) ┐S (6)(8)T,I
(2) 證明：
a)┐A∨B，C→┐BTA→┐C
(1) ┐(A→┐C) P
(2) A (1)T,I
(3) C (1)T,I
(4) ┐A∨B P
(5) B (2)(4)T,I
(6) C→┐B P
(7) ┐B (3)(6)T,I
(8) B∧┐B 矛盾。(5),(7)
b)A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E) TA→(B→F)
(1) ┐(A→(B→F)) P
(2) A (1)T,I
(3) ┐(B→F) (1)T,I
(4) B (3)T,I
(5) ┐F (3)T,
(6) A→(B→C) P
(7) B→C (2)(6)T,I
(8) C (4)(7)T,I
(9) ┐F→(D∧┐E) P
(10) D∧┐E (5)(9)T,I
(11) D (10)T,I
(12) C∧D (8)(11)T,I
(13) (C∧D) →E P
(14) E (12)(13)T,I
(15) ┐E (10)T,I
(16) E∧┐E 矛盾。(14),(15)
c)A∨B→C∧D，D∨E→FTA→F
(1) ┐(A→F) P
(2) A (1)T,I
(3) ┐F (1)T,I
(4) A∨B (2)T,I
(5) (A∨B) →C∧D P
(6) C∧D (4)(5)T,I
(7) C (6)T,I
(8) D (6)T,I
(9) D∨E (8)T,I
(10) D∨E→F P
(11) F (9)(10)T,I
(12) F∧┐F 矛盾。(3),(11)
d)A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F)→┐D，B→(A∧┐E) TB→E
(1) ┐(B→E) P
(2) B (1)T,I
(3) ┐E (1)T,I
(4) ┐B∨D P
(5) D (2)(4)T,I
(6) (E→┐F) →┐D P
(7) ┐(E→┐F) (5)(6)T,I
(8) E (7)T,I
(9) E∧┐E 矛盾
e)(A→B)∧(C→D)，(B→E)∧(D→F)，┐(E∧F)，A→CT┐A
(1) (A→B) ∧(C→D) P
(2) A→B (1)T,I
(3) (B→E) ∧(D→F) P
(4) B→E (3)T,I
(5) A→E (2)(4)T,I
(6) ┐(E∧F) P
(7) ┐E∨┐F (6)T,E
(8) E→┐F (7)T,E
(9) A→┐F (5)(8)T,I
(10) C→D (1)T,I
(11) D→F (3)T,I
(12) C→F (10)(10)T,I
(13) A→C P
(14) A→F (13)(12)T,I
(15) ┐F→┐A (14)T,E
(16) A→┐A (9)(15)T,I
(17) ┐A∨┐A (16)T,E
(18) ┐A (17) T,E
(3) 證明：
a)┐A∨B，C→┐BTA→┐C
(1) A P
(2) ┐A∨B P
(3) B (1)(2)T,I
(4) C→┐B P
(5) ┐C (3)(4)T,I
(6) A→┐C CP
b)A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E) TA→(B→F)
(1) A P
(2) A→(B→C) P
(3) B→C (1)(2)T,I
(4) B P
(5) C (3)(4)T,I
(6) (C∧D) →E P
(7) C→(D→E) (6)T,E
(8) D→E (5)(7)T,I
(9) ┐D∨E (8)T,E
(10) ┐(D∧┐E) (9)T,E
(11) ┐F→(D∧┐E) P
(12) F (10)(11)T,I
(13) B→F CP
(14) A→(B→F) CP
c)A∨B→C∧D，D∨E→FTA→F
(1) A P
(2) A∨B (1)T,I
(3) A∨B→C∨D P
(4) C∧D (2)(3)T,I
(5) D (4)T,I
(6) D∨E (5)T,I
(7) D∨E→F P
(8) F (6)(7)T,I
(9) A→F CP
d)A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F)→┐D，B→(A∧┐E) TB→E
(1) B P(附加前提)
(2) ┐B∨D P
(3) D (1)(2)T,I
(4) (E→┐F)→┐D P
(5) ┐(E→┐F) (3)(4)T,I
(6) E (5)T,I
(7) B→E CP
(4)證明：
a) R→┐Q，R∨S，S→┐Q，P→QT┐P
(1) R→┐Q P
(2) R∨S P
(3) S→┐Q P
(4) ┐Q (1)(2)(3)T,I
(5) P→Q P
(6) ┐P (4)(5)T,I
b) S→┐Q，S∨R，┐R，┐P?QTP
證法一：
(1) S∨R P
(2) ┐R P
(3) S (1)(2)T,I
(4) S→┐Q P
(5) ┐Q (3)(4)T,I
(6) ┐P?Q P
(7)(┐P→Q)∧(Q→┐P) (6)T,E
(8) ┐P→Q (7)T,I
(9) P (5)(8)T,I
證法二：（反證法）
(1) ┐P P（附加前提）
(2) ┐P?Q P
(3)（┐P→Q）∧（ Q→┐P） (2)T，E
(4) ┐P→Q (3)T,I
(5) Q (1)(4)T,I
(6) S→┐Q P
(7) ┐S (5)(6)T,I
(8) S∨R P
(9) R (7)(8)T,I
(10) ┐R P
(11) ┐R∧R 矛盾（9）（10）T，I
c)┐(P→Q)→┐(R∨S)，((Q→P)∨┐R)，RTP?Q
(1) R P
(2) (Q→P) ∨┐R P
(3) Q→P (1)(2)T,I
(4)┐(P→Q) →┐(R∨S) P
(5) (R∨S) →(P→Q) (4)T,E
(6) R∨S (1)T,I
(7) P→Q (5)(6)
(8) (P→Q) ∧(Q→P) (3)(7)T,I
(9) P?Q (8)T,E
(5) 解：
a) 設(shè)P：我跑步。Q：我很疲勞。
前提為：P→Q，┐Q
(1) P→Q P
(2) ┐Q P
(3) ┐P (1)(2)T,I
結(jié)論為：┐P，我沒(méi)有跑步。
b) 設(shè)S：他犯了錯(cuò)誤。 R：他神色慌張。
前提為：S→R，R
因?yàn)椋⊿→R）∧R?（┐S∨R）∧R?R。故本題沒(méi)有確定的結(jié)論。
實(shí)際上，若S →R為真，R為真,則S可為真，S也可為假，故無(wú)有效結(jié)論。
c) 設(shè)P：我的程序通過(guò)。 Q：我很快樂(lè)。
R：陽(yáng)光很好。 S：天很暖和。（把晚上十一點(diǎn)理解為陽(yáng)光不好）
前提為：P→Q，Q→R，┐R∧S
(1) P→Q P
(2) Q→R P
(3) P→R (1)(2)T,I
(4) ┐R∨S P
(5) ┐R (4)T,I
(6) ┐P (3)(5)T,I
結(jié)論為： ┐P，我的程序沒(méi)有通過(guò)
習(xí)題2-1,2-2
（1） 解：
a) 設(shè)W（x）：x是工人。c：小張。
則有 ?W（c）
b) 設(shè)S（x）：x是田徑運(yùn)動(dòng)員。B（x）：x是球類運(yùn)動(dòng)員。h：他
則有 S（h）úB（h）
c) 設(shè)C（x）：x是聰明的。B（x）：x是美麗的。l：小莉。
則有 C（l）ù B（l）
d）設(shè)O（x）：x是奇數(shù)。
則有 O（m）?? O（2m）。
e)設(shè)R（x）：x是實(shí)數(shù)。Q（x）：x是有理數(shù)。
則有 （"x）（Q（x）?R（x））
f) 設(shè)R（x）：x是實(shí)數(shù)。Q（x）：x是有理數(shù)。
則有 （$x）（R（x）ùQ（x））
g) 設(shè)R（x）：x是實(shí)數(shù)。Q（x）：x是有理數(shù)。
則有 ?（"x）（R（x）?Q（x））
h)設(shè)P（x，y）：直線x平行于直線y
G（x，y）：直線x相交于直線y。
則有 P（A，B）D?G（A，B）
（2） 解：
a) 設(shè)J(x)：x是教練員。L(x)：x是運(yùn)動(dòng)員。
則有 （"x）（J（x）?L（x））
b) 設(shè)S(x)：x是大學(xué)生。L(x)：x是運(yùn)動(dòng)員。
則有 （$x）（L（x）ùS（x））
c) 設(shè)J(x)：x是教練員。O(x)：x是年老的。V（x）：x是健壯的。
則有 （$x）（J（x）ùO（x）ùV（x））
d) 設(shè)O(x)：x是年老的。V（x）：x是健壯的。j：金教練
則有 ? O（j）ù?V（j）
e) 設(shè)L(x)：x是運(yùn)動(dòng)員。J(x)：x是教練員。
則 ?（"x）（L（x）?J（x））
本題亦可理解為：某些運(yùn)動(dòng)員不是教練。
故 （$x）（L（x）ù?J（x））
f) 設(shè)S（x）：x是大學(xué)生。L（x）：x是運(yùn)動(dòng)員。C（x）：x是國(guó)家選手。
則有 （$x）（S（x）ùL（x）ùC（x））
g) 設(shè)C（x）：x是國(guó)家選手。V（x）：x是健壯的。
則有 （"x）（C（x）?V（x））或?（$x）（C（x）ù?V（x））
h) 設(shè)C（x）：x是國(guó)家選手。O（x）：x是老的。L（x）：x 是運(yùn)動(dòng)員。
則有 （"x）（O（x）ùC（x）?L（x））
i) 設(shè)W（x）：x是女同志。H（x）：x是家庭婦女。C（x）：x是國(guó)家選手。
則有 ?（$x）（W（x）ùC（x）ùH（x））
j） W（x）：x是女同志。J（x）：x是教練。C（x）：x是國(guó)家選手。
則有（$x）（W（x）ùJ（x）ùC（x））
k） L（x）：x 是運(yùn)動(dòng)員。J（y）：y是教練。A(x,y)：x欽佩y。
則有 （"x）（L（x）? （$y）（J（y）ùA（x，y）））
l） 設(shè)S（x）：x是大學(xué)生。L（x）：x 是運(yùn)動(dòng)員。A(x,y)：x欽佩y。
則（$x）（S（x）ù（"y）（L（y）?? A(x,y)））
習(xí)題2-3
（1）解：
a）5是質(zhì)數(shù)。
b）2是偶數(shù)且2是質(zhì)數(shù)。
c）對(duì)所有的x，若x能被2除盡，則x是偶數(shù)。
d）存在x，x是偶數(shù)，且x能除盡6。（即某些偶數(shù)能除盡6）
e）對(duì)所有的x，若x不是偶數(shù)，則x不能被2除盡。
f）對(duì)所有的x，若x是偶數(shù)，則對(duì)所有的y，若x能除盡y，則y也是偶數(shù)。
g）對(duì)所有的x，若x是質(zhì)數(shù)，則存在y，y是偶數(shù)且x能除盡y（即所有質(zhì)數(shù)能除盡某些偶數(shù)）。
h）對(duì)所有的x，若x是奇數(shù)，則對(duì)所有y，y是質(zhì)數(shù)，則x不能除盡y（即任何奇數(shù)不能除盡任何質(zhì)數(shù)）。
（2）解：（"x）("y)((P(x)∧P(y)∧┐E(x,y)→($!z)(L(z)∧R(x,y,z)))
或 （"x）("y)((P(x)∧P(y)∧┐E(x,y)→($z)(L(z)∧R(x,y,z) ∧┐($u)(┐E(z,u) ∧L(u)∧R(x,y,u))))
（3）解：
a) 設(shè)N(x):x是有限個(gè)數(shù)的乘積。 z(y):y為0。
P(x):x的乘積為零。 F(y):y是乘積中的一個(gè)因子。
則有 ("x)((N(x)∧P(x)→($y)(F(y)∧z(y)))
b) 設(shè)R(x):x是實(shí)數(shù)。Q(x,y):y大于x。 故 ("x)(R(x)→($y)(Q(x,y)∧R(y)))
c) R(x):x是實(shí)數(shù)。G(x,y):x大于y。 則
($x)($y)($z)(R(x)∧R(y)∧R(z)∧G(x+y,x·z)
（4）解：設(shè)G(x,y):x大于y。則有 ("x)("y)("z)(G(y,x) ∧G(0,z)→G(x·z,y·z))
（5）解：設(shè)N(x):x是一個(gè)數(shù)。 S(x,y):y是x的后繼數(shù)。E(x,y)：x=y.則
a) ("x)(N(x)→($!y)(N(y)∧S(x,y)))
或("x)(N(x)→($y)(N(y)∧S(x,y) ∧┐($z)(┐E(y,z) ∧N(z)∧S(x,z))))
b) ┐($x)(N(x)∧S(x,1))
c) ("x)(N(x)∧┐S(x,2)→($!y)(N(y) ∧S(y,x)))
或("x)(N(x)∧┐S(x,2)→($y)(N(y) ∧S(y,x) ∧┐($z)(┐E(y,z) ∧N(z)∧S(z,x))))
（6）解：設(shè)S(x):x是大學(xué)生。 E(x):x是戴眼睛的。
F(x):x是用功的。 R(x,y):x在看y。
G(y):y是大的。 K(y):y是厚的。 J(y):y是巨著。 a:這本。 b:那位。
則有 E(b)∧F(b)∧S(b)∧R(b,a)∧G(a)∧K(a)∧J(a)
（7）解：設(shè)P(x,y):x在y連續(xù)。 Q(x,y):x>y。則
P(f,a)D(("ε)($δ)("x)(Q(ε,0)→(Q(δ,0)∧Q(δ,|x-a|)→Q(ε,|f(x)-f(a)|))))
習(xí)題2-4
(1) 解：a) x是約束變?cè)?，y是自由變?cè)?/strong>
b) x是約束變?cè)?，P(x)∧Q(x)中的x受全稱量詞"的約束，S(x)中的x受存在量詞$的約束。
c) x，y都是約束變?cè)?P(x)中的x受$的約束，R(x)中的x受"的約束。
d) x，y是約束變?cè)?，z是自由變?cè)?/strong>
(2) 解：a) P(a)∧P(b)∧P(c)
b) R(a)∧R(b)∧R(c)∧S(a)∧S(b)∧S(c)
c) (P(a)→Q(a))∧(P(b)→Q(b))∧(P(c)→Q(c)
d) (┐P(a)∧┐P(b)∧┐P(c))∨(P(z)∧P(b)∧P(c))
e) (R(a)∧R(b)∧R(c))∧(S(a)∨S(b)∨S(c))
(3) 解：
a) ("x)(P(x)∨Q(x))?(P(1)∨Q(1))∧(P(2)∨Q(2))，
但P(1)為T，Q(1)為F，P(2)為F，Q(2)為T,所以
("x)(P(x)∨Q(x))?(T∨F)∧(F∨T) ?T。
b) ("x)(P→Q(x))∨R(a)? ((P→Q(-2))∧(P→Q(3))∧(P→Q(6)))∨R(a)
因?yàn)镻 為T，Q(-2)為T，Q(3)為T，Q(6)為F，R(5)為F，所以
("x)(P→Q(x))∨R(a)? ((T→T)∧(T→T)∧(T→F))∨F? F
(4) 解：a) ("u)($v)(P(u，z)→Q(v))DS(x，y)
b) ("u)(P(u)→ (R(u)∨Q(u))∧($v)R(v))→($z)S(x,z)
(5) 解：a) (($y)A(u，y)→("x)B(x，v))∧($x)("z)C(x，t，z)
b) (("y)P(u，y)∧($z)Q(u，z))∨("x)R(x，t)
習(xí)題2-5
（1）解： a) P(a,f(a))∧P(b,f(b))?P(1,f(1))∧P(2,f(2))?P(1,2)∧P(2,1) ?T∧F?F
b) ("x)($y)P(y,x)? ("x) (P(1,x)∨P(2,x))? (P(1,1)∨P(2,1))∧(P(1,2)∨P(2,2))
? (T∨F)∧(T∨F) ? T
c) ("x)( "y)(P(x,y)→P(f(x),f(y)))
? ("x) ((P(x,1)→P(f(x),f(1)))∧(P(x,2) →P(f(x)f(2))))
? (P(1,1)→P(f(1),f(1)))∧(P(1,2)→P(f(1),f(2)))
∧(P(2,1)→P(f(2),f(1)))∧(P(2,2) →P(f(2),f(2)))
? (P(1,1)→P(2,2))∧(P(1,2)→P(2,1))∧(P(2,1)→P(1,2))∧(P(2,2)→P(1,1))
? (T→F∧(T→F)∧(F→T)∧(F→T)?F∧F∧T∧T?F
（2）解：a) ("x)(P(x)→Q(f(x),a))
?(P(1)→Q(f(1),1))∧(P(2)→Q(f(2),1))
? (F→Q(2,1))∧(T→Q(1,1))
? (F→F)∧(T→T) ?T
b) ($x)(P(f(x))∧Q(x,f(a))
? (P(f(1))∧Q(1,f(1)))∨(P(f(2))∧Q(2,f(1)) ? (T∧T)∨(F∧F) ?T
c) ($x)(P(x)∧Q(x,a))
? (P(1)∧Q(1,a))∨(P(2)∧Q(2,a))
? (P(1)∧Q(1,1))∨(P(2)∧Q(2,1))
? (F∧T)∨(T∧F) ?F
d) ("x)( $y)(P(x)∧Q(x,y))
? ("x) (P(x)∧($y)Q(x,y))
? ("x) (P(x)∧(Q(x,1)∨Q(x,2)))
? (P(1)∧(Q(1,1)∨Q(1,2)))∧(P(2)∧(Q(2,1)∨Q(2,2)))
? (F∧(T∨T))∧(T∧(F∨F)) ?F
(3) 舉例說(shuō)明下列各蘊(yùn)含式。
a) ù(($x)(P(x)∧Q(a))T ($x)P(x)?ùQ(a)
b) ("x) (ù P(x) ?Q(x)), ("x) ùQ(x)TP(a)
c) ("x) (P(x) ?Q(x)), ("x) (Q(x) ?R(x))T ("x) (P(x) ?R(x))
d) ("x) (P(x) úQ(x)), ("x) ùP(x)T ($x)Q (x)
e) ("x) (P(x) úQ(x)), ("x) ùP(x)T ("x)Q (x)
解：a）因?yàn)楱?($x)(P(x)∧Q(a)) ?ù($x)P(x)∨ùQ(a)
故原式為ù($x)P(x)∨ùQ(a) T ($x)P(x)?ùQ(a)
設(shè)P（x）：x是大學(xué)生。Q（x）：x是運(yùn)動(dòng)員
前提 或者不存在x，x是大學(xué)生，或者a是運(yùn)動(dòng)員
結(jié)論 如果存在x是大學(xué)生，則必有a是運(yùn)動(dòng)員。
b)設(shè)P（x）：x是研究生。Q（x）：x是大學(xué)生。a：論域中的某人。
前提：對(duì)論域中所有x，如果x不是研究生則x是大學(xué)生。
對(duì)論域中所有x， x不是大學(xué)生。
結(jié)論：對(duì)論域中所有x都是研究生。
故，對(duì)論域中某個(gè)a，必有結(jié)論a是研究生，即P（a）成立。
c）設(shè)P（x）：x是研究生。Q（x）：x曾讀過(guò)大學(xué)。R（x）：x曾讀過(guò)中學(xué)。
前提 對(duì)所有x，如果x是研究生，則x曾讀過(guò)大學(xué)。
對(duì)所有x，如果x曾讀過(guò)大學(xué)，則x曾讀過(guò)中學(xué)。
結(jié)論：對(duì)所有x，如果x是研究生，則x曾讀過(guò)中學(xué)。
d）設(shè)P（x）：x是研究生。Q（x）：x是運(yùn)動(dòng)員。
前提 對(duì)所有x，或者x是研究生，或者x是運(yùn)動(dòng)員。
對(duì)所有x，x不是研究生
結(jié)論 必存在x，x是運(yùn)動(dòng)員。
e）設(shè)P（x）：x是研究生。Q（x）：x是運(yùn)動(dòng)員。
前提 對(duì)所有x，或者x是研究生，或者x是運(yùn)動(dòng)員。
對(duì)所有x，x不是研究生
結(jié)論 對(duì)所有x，x是運(yùn)動(dòng)員。
（4）證明：($x)(A(x)→B(x))? ($x) (┐A(x)∨B(x)) ? ($x)┐A(x)∨ ($x) B(x)
? ┐("x)A(x)∨($x) B(x) ? ("x)A(x)→($x) B(x)
（5） 設(shè)論域D={a，b，c}，求證("x)A(x)∨("x)B(x)T( "x)(A(x)∨B(x))
證明：因?yàn)檎撚駾={a，b，c}，所以
("x)A(x)∨("x)B(x) ?(A(a) ∧A(b) ∧A(c)) ∨(B(a) ∧B(b) ∧B(c))
?(A(a) ∨B(a)) ∧(A(a) ∨B(b)) ∧(A(a) ∨B(c)) ∧(A(b) ∨B(a)) ∧(A(b) ∨B(b)) ∧(A(b)∨B(c)) ∧(A(c) ∨B(a)) ∧(A(c) ∨B(b)) ∧(A(c) ∨B(c))
T(A(a) ∨B(a)) ∧(A(b) ∨B(b))∧(A(c) ∨B(c))
?( "x)(A(x)∨B(x))
所以("x)A(x)∨("x)B(x)T( "x)(A(x)∨B(x))
（6）解：推證不正確，因?yàn)?/strong>
┐($x)(A(x)∧┐B(x))?┐(($x)A(x)∧($x)┐B(x))
（7）求證("x)( "y)(P(x)→Q(y)) ? ( $x)P(x)→("y)Q(y)
證明：("x)( "y)(P(x)→Q(y))
?("x)( "y)( ┐P(x) ∨Q(y))
?("x) ┐P(x) ∨( "y)Q(y)
?┐($x)P(x) ∨( "y)Q(y)
? ( $x)P(x)→("y)Q(y)
習(xí)題2-6
（1）解：a) ("x)(P(x)→($y)Q(x,y))
?("x)( ┐P(x) ∨($y)Q(x,y))
?("x) ($y) (┐P(x) ∨Q(x,y))
b) ($x)(┐(($y)P(x,y))→(($z)Q(z)→R(x)))
?($x)(($y)P(x,y)∨(($z)Q(z)→R(x)))
?($x)(($y)P(x,y) ∨(┐($z)Q(z) ∨R(x)))
?($x)(($y)P(x,y) ∨(("z)┐Q(z) ∨R(x)))
?($x) ($y) ("z) ( P(x,y) ∨┐Q(z) ∨R(x))
c)("x)( "y)((($zP(x,y,z)∧($u)Q(x,u))→($v)Q(y,v))
?("x)( "y)( ┐(($z)P(x,y,z)∧($u)Q(x,u))∨($v)Q(y,v))
?("x)( "y)( ("z)┐P(x,y,z) ∨("u)┐Q(x,u)∨($v)Q(y,v))
?("x)( "y)( ("z)┐P(x,y,z) ∨("u)┐Q(x,u)∨($v)Q(y,v))
?("x)( "y) ("z) ("u) ($v) (┐P(x,y,z) ∨┐Q(x,u)∨Q(y,v))
（2）解：a) (($x)P(x)∨($x)Q(x))→($x)(P(x)∨Q(x))
?┐(($x)P(x)∨($x)Q(x)) ∨($x)(P(x)∨Q(x))
?┐($x) (P(x)∨Q(x)) ∨($x)(P(x)∨Q(x)) ?T
b) ("x)(P(x)→("y)(("z)Q(x,y)→┐("z)R(y,x)))
?("x)( ┐P(x) ∨("y)( Q(x,y)→┐R(y,x)))
?("x) ("y) ( ┐P(x) ∨┐Q(x,y) ∨┐R(y,x))
前束合取范式
?("x) ("y)( (P(x) ∧Q(x,y) ∧R(y,x))
∨(P(x) ∧Q(x,y) ∧┐R(y,x))
∨ (P(x) ∧┐Q(x,y) ∧R(y,x))
∨(┐P(x) ∧Q(x,y) ∧R(y,x))
∨(┐P(x) ∧┐Q(x,y) ∧R(y,x))
∨( (P(x) ∧┐Q(x,y) ∧┐R(y,x))
∨(┐P(x) ∧Q(x,y) ∧┐R(y,x)))
前束析取范式
c) ("x)P(x)→($x)(("z)Q(x,z)∨("z)R(x,y,z))
?┐("x)P(x) ∨($x)(("z)Q(x,z)∨("z)R(x,y,z))
?($x)┐P(x) ∨($x)(("z)Q(x,z)∨("u)R(x,y,u))
?($x)(┐P(x) ∨("z)Q(x,z)∨("u)R(x,y,u))
?($x) ("z) ("u)(┐P(x) ∨Q(x,z)∨R(x,y,u))
前束合取范式
?($x) ("z) ("u)(( P(x) ∧Q(x,z) ∧R(x,y,u))
∨(P(x) ∧Q(x,z) ∧┐R(x,y,u))
∨(P(x) ∧┐Q(x,z) ∧R(x,y,u))
∨(P(x) ∧┐Q(x,z) ∧┐R(x,y,u))
∨(┐P(x) ∧Q(x,z) ∧┐R(x,y,u))
∨(┐P(x) ∧┐Q(x,z) ∧R(x,y,u))
∨(┐P(x) ∧┐Q(x,z) ∧┐R(x,y,u)))
前束析取范式
d)("x)(P(x)→Q(x,y))→(($y)P(y)∧($z)Q(y,z))
?┐("x)( ┐P(x) ∨Q(x,y)) ∨(($y)P(y)∧($z)Q(y,z))
?($x)( P(x) ∧┐Q(x,y)) ∨(($u)P(u)∧($z)Q(y,z))
?($x) ($u) ($z) (( P(x) ∧┐Q(x,y)) ∨(P(u)∧Q(y,z)))
前束析取范式
?($x) ($u) ($z) (( P(x)∨P(u)) ∧ (P(x)∨Q(y,z)) ∧(┐Q(x,y)∨P(u)) ∧ (┐Q(x,y)∨Q(y,z)))
前束合取范式
習(xí)題2-7
(1) 證明：
(2) a) ①("x)(┐A(x)→B(x)) P
②┐A(u)→B(u) US①
③( "x)┐B(x) P
④┐B(u) US③
⑤A(u)∨B(u) T②E
⑥A(u) T④⑤I
⑦ ( $x)A(x) EG⑥
b) ①┐( "x)(A(x)→B(x)) P（附加前提）
②( $x)┐(A(x)→B(x)) T①E
③┐(A(c)→B(c)) ES②
④A(c) T③I
⑤┐B(c) T③I
⑥( $x)A(x) EG④
⑦ ($x)A(x)→("x)B(x) P
⑧("x)B(x) T⑥⑦I
⑨B(c) US⑧
⑩B(c)∧ ┐B(c) T⑤⑨矛盾
c）①("x)(A(x)→B(x)) P
②A(u)→B(u) US①
③( "x)(C(x)→┐B(x)) P
④C(u)→┐B(u) US③
⑤┐B(u) →┐A(u) T②E
⑥C(u)→┐A(u) T④⑤I
⑦("x)(C(x)→┐A(x)) UG⑥
d) ("x)(A(x)∨B(x)),( "x)(B(x)→┐C(x)),( "x)C(x)T ("x)A(x)
①( "x)(B(x)→┐C(x)) P
②B(u)→┐C(u) US①
③( "x)C(x) P
④C(u) US③
⑤┐B(u) T②④I
⑥ ("x)(A(x)∨B(x)) P
⑦A(u)∨B(u) US
⑧A(u) T⑤⑦I
⑨("x)A(x) UG⑧
(2) 證明：
a)①( "x)P(x) P（附加前提）
②P(u) US①
③("x)(P(x)→Q(x)) P
④P(u)→Q(u) US③
⑤Q(u) T②④I
⑥("x)Q(x) UG⑤
⑦( "x)P(x)→("x)Q(x) CP
b)因?yàn)?"x)P(x)∨($x)Q(x)?┐("x)P(x) →($x)Q(x)
故本題就是推證("x)(P(x)∨Q(x)) T ┐("x)P(x) →($x)Q(x)
①┐("x)P(x) P（附加前提）
②( $x)┐P(x) T①E
③┐P(c) ES②
④("x)(P(x)∨Q(x)) P
⑤P(c)∨Q(c) ES④
⑥Q(c) T③⑤I
⑦( $x) Q(x) EG⑥
⑧┐("x)P(x) →($x)Q(x) CP
(3)
解：a)設(shè)R（x）：x是實(shí)數(shù)。Q（x）：x是有理數(shù)。I（x）：x是整數(shù)。
本題符號(hào)化為：
("x)(Q(x) →R(x)) ∧($x)(Q(x) ∧I(x)) T ($x)(R(x) ∧I(x))
①($x)(Q(x) ∧I(x)) P
②Q(c) ∧I(c) ES①
③("x)(Q(x) →R(x)) P
④Q(c) →R(c) US③
⑤Q(c) T②I
⑥ R(c) T④⑤I
⑦I(c) T②I
⑧R(c)∧I(c) T⑥⑦I
⑨($x)(R(x) ∧I(x)) EG⑧
b)設(shè)P（x）：x喜歡步行。Q（x）：x喜歡乘汽車。R（x）：x喜歡騎自行車
本題符號(hào)化為：
("x)(P(x) →┐Q(x)), ("x)(Q(x) ∨R(x)) , ($x) ┐R(x) T ($x) ┐P(x)
①($x) ┐R(x) P
②┐R (c) ES①
③("x)(Q(x) ∨R(x)) P
④Q(c) ∨R(c) US③
⑤Q(c) T②④I
⑥ ("x)(P(x) →┐Q(x)) P
⑦P(c) →┐Q(c) US⑥
⑧┐P (c) T⑤⑦I
⑨($x) ┐P(x) EG⑧
c) 每個(gè)大學(xué)生不是文科學(xué)生就是理工科學(xué)生，有的大學(xué)生是優(yōu)等生，小張不是理工科學(xué)生，但他是優(yōu)等生，因而如果小張是大學(xué)生，他就是文科學(xué)生。
設(shè)G（x）：x是大學(xué)生。L（x）：x是文科學(xué)生。P（x）：x是理工科學(xué)生。
S（x）：x是優(yōu)秀生。c：小張。
本題符號(hào)化為：
("x)(G(x) →L(x)∨P(x)), ($x)(G(x) ∧ S(x)), ┐P (c) , S(c) T G(c) →L(c)
①G(c) P（附加前提）
②("x)(G(x) →L(x)∨P(x)) P
③G(c) →L(c)∨P(c) US②
④L(c)∨P(c) T①③I
⑤┐P (c) P
⑥ L(c) T④⑤I
⑦G(c) →L(c) CP
注意：本題推證過(guò)程中未用到前提($x)(G(x) ∧ S(x))以及S(c)。主要是S（x）：x是優(yōu)秀生，這個(gè)條件與其他前提的聯(lián)系對(duì)證明結(jié)論沒(méi)有影響，因S（x）與其他前提不矛盾，故本題的推證仍是有效的。
證明 設(shè)A上定義的二元關(guān)系R為：
＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈R?y(x)=v(u)
① 對(duì)任意＜x,y＞∈A，因?yàn)?/strong>y(x)=y(x)，所以
＜＜x,y＞, ＜x,y＞＞∈R
即R是自反的。
② 設(shè)＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，若
＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈RTy(x)=v(u)Tv(u)=y(x)T＜＜u,v＞,＜x,y＞＞∈R
即R是對(duì)稱的。
③ 設(shè)任意＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，＜w,s＞∈A，對(duì)
＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈R∧＜＜u,v＞, ＜w,s＞＞∈R
T（y(x)=v(u)）∧（v(u)=s(w)）Ty(x)=s(w)
T＜＜x,y＞, ＜w,s＞＞∈R
故R是傳遞的，于是R是A上的等價(jià)關(guān)系。
3-10.6 設(shè)R是集合A 上的對(duì)稱和傳遞關(guān)系，證明如果對(duì)于A中的每一個(gè)元素a,在A中同時(shí)也存在b，使<a,b>在R之中，則R是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。
證明 對(duì)任意a∈A，必存在一個(gè)b∈A，使得＜a,b＞∈R.
因?yàn)镽是傳遞的和對(duì)稱的，故有：
＜a,b＞∈R∧＜b, c＞∈RT＜a, c＞∈RT＜c,a＞∈R
由＜a,c＞∈R∧＜c, a＞∈RT＜a,a＞∈R
所以R在A上是自反的，即R是A上的等價(jià)關(guān)系。
3-10.7 設(shè)R1和R2是非空集合A上的等價(jià)關(guān)系，試確定下述各式，哪些是A上的等價(jià)關(guān)系，對(duì)不是的式子，提供反例證明。
a）（A×A）-R1；
b）R1-R2；
c）R12；
d) r（R1-R2）（即R1-R2的自反閉包）。
解 a）（A×A）-R1不是A上等價(jià)關(guān)系。例如：
A={a,b}，R1={＜a,a＞，＜b,b＞}
A×A={＜a,a＞，＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,b＞}
（A×A）-R1={＜a,b＞，＜b,a＞}
所以（A×A）-R1不是A上等價(jià)關(guān)系。
b）設(shè) A={a,b,c}
R1={＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,c＞，＜c,b＞，＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞}
R2={＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞，＜b,c＞，＜c,b＞}
R1-R2={＜a,b＞，＜b,a＞，＜a,c＞，＜c,a＞}
所以R1和R2是A上等價(jià)關(guān)系，但R1-R2不是A上等價(jià)關(guān)系。
c）若R1是A上等價(jià)關(guān)系，則
＜a,a＞∈R1T＜a,a＞∈R1○R1
所以R12是A上自反的。
若＜a,b＞∈R12則存在c，使得＜a, c＞∈R1∧＜c,b＞∈R1。因R1對(duì)稱，故有
＜b, c＞∈R1∧＜c,a＞∈R1T＜b, a＞∈R12
即R12是對(duì)稱的。
若＜a,b＞∈R12∧＜b, c＞∈R12,則有
＜a,b＞∈R1○R1∧＜b, c＞∈R1○R1
T（$e1）（＜a, e1＞∈R1∧＜e1, b＞∈R1) ∧（$e2）（＜b, e2＞∈R1∧＜e2, c＞∈R1）
T＜a,b＞∈R1∧＜b, c＞∈R1（∵R1傳遞）
T＜a,c＞∈R12
即R12是傳遞的。
故R12是A上的等價(jià)關(guān)系。
d）如b）所設(shè)，R1和R2是A上的等價(jià)關(guān)系，但
r（R1-R2）=（R1-R2）∪IA
={＜a,b＞, ＜b,a＞, ＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞, ＜c,c＞}
不是A上的等價(jià)關(guān)系。
3-10.8 設(shè)C*是實(shí)數(shù)部分非零的全體復(fù)數(shù)組成的集合，C*上的關(guān)系R定義為：(a+bi)R(c+di)?ac>0,證明R是等價(jià)關(guān)系，并給出關(guān)系R的等價(jià)類的幾何說(shuō)明。
證明：(1)對(duì)任意非零實(shí)數(shù)a，有a2>0?(a+bi)R(a+bi)
故R在C*上是自反的。
(2) 對(duì)任意(a+bi)R(c+di)?ac>0,
因ca=ac>0?(c+di)R(a+bi),
所以R在C*上是對(duì)稱的。
(3)設(shè)(a+bi)R(c+di) ，(c+di)R(u+vi)，則有ac>0ùcu>0
若c>0，則a>0ùu>0T au>0
若c<0，則a<0ùu<0T au>0
所以(a+bi)R(u+vi)，即R在C*上是傳遞的。
關(guān)系R的等價(jià)類，就是復(fù)數(shù)平面上第一、四象限上的點(diǎn)，或第二、三象限上的點(diǎn)，因?yàn)樵谶@兩種情況下，任意兩個(gè)點(diǎn)(a,b)，(c,d)，其橫坐標(biāo)乘積ac>0。
3-10.9 設(shè)Π和Π￠是非空集合A上的劃分，并設(shè)R和R￠分別為由Π和Π￠誘導(dǎo)的等價(jià)關(guān)系，那么Π￠細(xì)分Π的充要條件是R￠ í R。
證明：若Π￠細(xì)分Π。由假設(shè)aR￠b，則在Π￠中有某個(gè)塊S￠，使得a,b∈S￠，因Π￠細(xì)分Π，故在Π中，必有某個(gè)塊S，使S￠í S，即a,b∈S，于是有aRb,即R￠ í R。
反之，若R￠ í R，令S￠為H￠的一個(gè)分塊，且a∈S￠，則S￠=[a]R￠={x|xR￠a}
但對(duì)每一個(gè)x，若xR￠a，因R￠ í R，故xRa，因此{(lán)x|xR￠a} í{x|xRa}即[a]R￠ í[a]R
設(shè)S=[a]R,則S￠í S
這就證明了Π￠細(xì)分Π。
3-10.10 設(shè)Rj是表示I上的模j等價(jià)關(guān)系，Rk是表示I上的模k等價(jià)關(guān)系，證明I/Rk細(xì)分I/Rj當(dāng)且僅當(dāng)k是j的整數(shù)倍。
證明：由題設(shè)Rj={<x,y>|x≡y(modj)}
Rk={<x,y>|x≡y(modk)}
故<x,y>∈Rj?x-y=c×j (對(duì)某個(gè)c∈I)
<x,y>∈Rk?x-y=d×k (對(duì)某個(gè)d∈I)
a)假設(shè)I/Rk細(xì)分I/Rj，則Rk í Rj
因此<k,0>∈RkT<k,0>∈Rj
故k-0=1×k=c×j (對(duì)某個(gè)c∈I)
于是k是j的整數(shù)倍。
b)若對(duì)于某個(gè)r∈I，有k=rj則：
<x,y>∈Rk?x-y=ck (對(duì)某個(gè)c∈I)
T x-y=crj (對(duì)某個(gè)c,r∈I)
T<x,y>∈Rj
因此，Rk í Rj，于是I/Rk細(xì)分I/Rj
