分析題 3.?是否存在??上的全純函數(shù)??使得對任意??都有?？其中??表示??的??次迭代。

假設這樣的??存在，首先證明對任意?，?可以取到??的所有數(shù)。一方面，?一定不能取到全體復數(shù)：若?，則?，但?，矛盾。另一方面，如果??取不到??中的兩個點，則根據(jù)??小定理，?則為常數(shù)，從而??也是常數(shù)，矛盾。因此??僅恰好取不到?。同理，對各??使用??小定理即得到對任意?，?均僅取不到?。

因此，存在全純函數(shù)??使得?。則?，故存在??使得?，因此?。故存在??使得??以及存在??使得?。并且由于?，存在??使得?。

此時

由此得，矛盾。故這樣的??不存在。

應用與計算數(shù)學題 1.??迭代

考慮線性方程組?，其中??對稱半正定且對角元都是正數(shù)，。假設該方程組有解，?迭代的求解格式為

(a) 證明：?迭代從任意初始點出發(fā)都收斂。

(b) 若??的秩為 1，證明從任意初始點出發(fā)，?迭代一步即可收斂。

(a) 直接寫?Golob 書上的證明。

即驗證??的特征值均在單位圓內。該矩陣與

的特征值相同?？紤]

則?。若?，則可以算得

然而由于??正定，故?。因此?。

(b) 由題意可設?，通過計算不難得到當??時

自然如此迭代一步即可收斂。