我們先看一下今天的效果圖。猜猜看：右邊的蔥寶繞著左邊的蔥寶旋轉(zhuǎn)半圈，蔥寶頭朝哪邊呢？答案見(jiàn)①

今天我們通過(guò)GGB來(lái)制作這樣一個(gè)動(dòng)圖，還附屬的會(huì)產(chǎn)生笛卡爾心形線哦~

今天這節(jié)課，你將收獲：

1. 利用三角函數(shù)表示平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)

2. 使用指令畫(huà)弧

3. 定位圖片，使得圖片隨著圖形一起轉(zhuǎn)動(dòng)

本節(jié)課主要分為兩部分，第一部分畫(huà)出一個(gè)圓繞著一個(gè)圓轉(zhuǎn)動(dòng)，第二部分，固定圖片隨著圓的轉(zhuǎn)動(dòng)而轉(zhuǎn)動(dòng)。

01?一個(gè)圓繞著一個(gè)圓轉(zhuǎn)動(dòng)

畫(huà)圓的指令如下：

Circle( <圓心>, <半徑長(zhǎng)度> )

我們需要確定圓的半徑和圓心，固定圓的圓心已定，半徑可設(shè)置滑動(dòng)條R；轉(zhuǎn)動(dòng)圓的半徑可以設(shè)置滑動(dòng)條r，而圓心是一直在轉(zhuǎn)動(dòng)的，我們可以怎么確定呢？請(qǐng)看下面分解。

A. 繪制固定的圓

使用畫(huà)圓的指令，你可以畫(huà)出固定圓c1嗎？答案見(jiàn)②

B. 繪制轉(zhuǎn)動(dòng)的圓

繪制轉(zhuǎn)動(dòng)的圓主要改變的是圓心的位置。如果轉(zhuǎn)動(dòng)圓的圓心在固定圓的圓周上，我們可以觀察到兩個(gè)圓心的夾角從0-2π，我們可以設(shè)置滑動(dòng)條t（從0-1），利用三角函數(shù)來(lái)表示轉(zhuǎn)動(dòng)圓的圓心，即(cos(2π*t),sin(2π*t))，而兩個(gè)圓的圓心之間的距離為(R+r)，那么你可以寫(xiě)出轉(zhuǎn)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)嗎？答案見(jiàn)③

最后繪制轉(zhuǎn)動(dòng)圓，答案見(jiàn)④

C. 顯示轉(zhuǎn)動(dòng)圓的軌跡

P點(diǎn)--右鍵--顯示軌跡

02?標(biāo)記轉(zhuǎn)過(guò)的弧和動(dòng)圓上定點(diǎn)軌跡

A. 標(biāo)記轉(zhuǎn)過(guò)的弧

畫(huà)弧的指令如下：

圓弧( <圓心>, <點(diǎn)1>, <點(diǎn)2> )

定圓上轉(zhuǎn)過(guò)的弧

點(diǎn)1為t=0時(shí)，兩個(gè)圓的交點(diǎn)的起點(diǎn)A：（R,0）,點(diǎn)2為 C: (cos(2π*t) *R,sin(2π*t) *R)即可得定圓轉(zhuǎn)過(guò)的弧度，可修改顏色便于觀察，效果如下：

動(dòng)圓上轉(zhuǎn)過(guò)的弧

兩圓交點(diǎn)已經(jīng)確定為(cos(2π*t) *R,sin(2π*t) *R)，那么二圓在起點(diǎn)未知的交點(diǎn)隨著小圓的轉(zhuǎn)動(dòng)，這個(gè)點(diǎn)是怎么運(yùn)動(dòng)的呢？

當(dāng)R=r=1時(shí)，我們觀察到：動(dòng)圓上的B點(diǎn)也繞著動(dòng)圓旋轉(zhuǎn)了一定的角度：t*2π；那么我們就可以使用旋轉(zhuǎn)的指令，將C 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)回去：

旋轉(zhuǎn)的指令為：

旋轉(zhuǎn)( <幾何對(duì)象>, <度*abs(弧度>, <旋轉(zhuǎn)中心> )

你可以寫(xiě)出動(dòng)圓上B 點(diǎn)的位置嗎？答案見(jiàn)⑤

因?yàn)閯?dòng)圓和定圓轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長(zhǎng)是一樣的，所以轉(zhuǎn)動(dòng)的度數(shù)需要修正，B 點(diǎn)為B= Rotate(C,(R/r)*t*2*π,P)

效果圖如下：

B. 動(dòng)圓上定點(diǎn)軌跡

選擇B 點(diǎn)顯示軌跡即可，快來(lái)看看R和r 在不同的比例下，B點(diǎn)會(huì)有什么不同的軌跡嗎？

03?繞圓滾動(dòng)的圖片

A. 插入圖片調(diào)整位置

找一個(gè)正方形的卡通圖像，直接將檔案拖拉進(jìn)入 Geogebra 的繪圖區(qū)。

設(shè)定圖片的角點(diǎn)來(lái)調(diào)整圖片大小

將圖片插入后會(huì)有兩個(gè)預(yù)設(shè)的角點(diǎn)，例如下圖的 D, E。要更換圖片的角點(diǎn)，可在圖片的【設(shè)置/位置】中，來(lái)改變。

為了讓圖片顯示在正中央的圓，將圖片的左下角的角點(diǎn)1 定為 OL ，其中 OL=(-R,-R)。右下角的角點(diǎn)為 OR 。你能寫(xiě)出 OR 的坐標(biāo)嗎？答案見(jiàn)⑤。

B. 動(dòng)圓上的上下左右

接著要在動(dòng)圓上插入圖片，并擺放好適當(dāng)?shù)奈恢?。因此，要先取得轉(zhuǎn)動(dòng)后圖象的左下角與右下角的位置。

先觀察原本 B 點(diǎn)是圖片正左方的點(diǎn)，要取得圖片正下方的點(diǎn)就將 B 對(duì) P 轉(zhuǎn) 90 度?？捎?/p>

S = Rotate(B,π/2,P) 。

? 有了 B, S 兩點(diǎn)就可用此決定動(dòng)圓上的角點(diǎn) PL, PR。其中左下角的角點(diǎn)1 PL 可寫(xiě)為 PL=P+Vector(P,B) + Vector(P,S) 。? 而右下角 PR 的點(diǎn)可表示為何呢？答案見(jiàn)⑦ 。

????完成 PL, PR 后再將蔥寶圖片插入，再關(guān)聯(lián)對(duì)應(yīng)的角點(diǎn)，就可完成繞圓轉(zhuǎn)動(dòng)的圖片。

C. 轉(zhuǎn)動(dòng)方向的說(shuō)明

當(dāng) R=1, r=1，P 點(diǎn)繞 O 所進(jìn)過(guò)的路徑為 (1+1)*π?= 2*π 。但對(duì)動(dòng)圓 P 上的 C 點(diǎn)來(lái)看。其繞行 2*π 時(shí)，表示 B 轉(zhuǎn)動(dòng)了一圈。因此，動(dòng)圓上的蔥寶會(huì)朝上。

請(qǐng)改變 R=1, r=2 ，思考小圓繞大圓轉(zhuǎn)半圈后，頭朝哪個(gè)方向？答案見(jiàn)⑧

請(qǐng)改變 R=2, r=1 ，思考小圓繞大圓轉(zhuǎn)半圈后，頭朝哪個(gè)方向？答案見(jiàn)⑨

答案區(qū)

① 頭朝上

② c1= ((0,0),R)

③ P= (cos(2π*t) (r+R),sin(2π*t) (r+R))

④ c2=Circle((cos(2π*t) (r+R),sin(2π*t) (r+R)),r)或c2=Circle(P,r)

⑤ B= Rotate(C,t*2*π,P)

⑥ OR=(R,-R)

⑦ PR = P - Vector(P,B) + Vector(P,S)

⑧ 朝下

⑨ 朝右

參考資料

【GGB】https://www.geogebra.org/classic/p6ngb9kq

【Bili】https://www.bilibili.com/video/av77000889