為老師辯解，沒(méi)有實(shí)力很難站穩(wěn)，但他做到了，他就是費(fèi)拉里——一元四次方程求根第一人

老師被質(zhì)疑

? ? ?十六世紀(jì)中期，有位數(shù)學(xué)家叫費(fèi)拉里，他的老師是卡爾達(dá)諾，那個(gè)傳奇人物，為了求解一元三次方程而騙取塔塔利亞的果實(shí)，并公開發(fā)表，如今一元三次方程求根公式依然被稱為卡爾達(dá)諾公式，這位老師是個(gè)毫無(wú)破綻的人，為統(tǒng)計(jì)學(xué)做出過(guò)許多貢獻(xiàn)，喜歡賭博，也酷愛(ài)占星，準(zhǔn)確地占卜出自己死亡的日期，在他忌日那天自殺身亡……

? ? 而是塔塔利亞真正提出的三次方程解法，因不滿卡爾達(dá)諾的做法，言行抨擊，可惜卡爾達(dá)諾有個(gè)好徒弟，幫老師辯解，當(dāng)時(shí)社會(huì)喜歡浪漫，提出新的理論不愿發(fā)表，都為了證明實(shí)力而四處挑戰(zhàn)，事實(shí)勝于雄辯，由此，一場(chǎng)費(fèi)拉里與塔塔利亞別開生面的挑戰(zhàn)開始了！

? ? 不負(fù)眾望，費(fèi)拉里得到最后的勝利，三次方程求根公式被認(rèn)為卡爾達(dá)諾公式了！他獲勝的籌碼是一元四次方程的解法，作為提出的者的費(fèi)拉里給后人留下了寶貴的財(cái)富。

四次求根公式

? ? 四次求根公式還是很復(fù)雜的，費(fèi)拉里的做法是先將四次項(xiàng)與三次項(xiàng)配成完全平方式，然后引入?yún)?shù)y，再把余下的配成完全平方式，對(duì)于型如

ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0的四次方程，由于a≠0，

都可將最高次項(xiàng)系數(shù)約掉，所以只考慮

x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0型的四次方程，四次方程代數(shù)式比較復(fù)雜，盡量避免雞肋的參數(shù)，可化簡(jiǎn)如下：

(x^2+0.5bx)^2=(0.25b^2-c)x^2-dx-e

引入?yún)?shù)y

(x^2+0.5bx)^2+2(x^2+0.5bx)y+y^2

=2(x^2+0.5bx)y+y^2+(0.25b^2-c)x^2-dx-e

(x^2+0.5bx+y)^2

=(2y+0.25b^2-c)x^2+(by-d)x+y^2-e

使等式右邊為完全平方式，那么該四次方程就可求了，即令

(by-d)^2-(8y+b^2-4c)(y^2-e)=0

可以看出，上式是一元三次方程，解出任意一滿足條件的實(shí)根即可，那么

所以型如x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0的四次方程，根與如下兩個(gè)二次方程的根完全相同

其中y就是前面所說(shuō)的一元三次方程的根了，四次方程求根公式還是很亂的，可見費(fèi)拉里在當(dāng)時(shí)還是很有天賦的。

其他解法

? ? 通過(guò)三次方程求根的靈感，四次方程也總結(jié)出很多解法，型如

z^4+Bz^3+Cz^2+Dz+E=0

的四次方程，還可以設(shè)z=x-0.25B

化簡(jiǎn)成沒(méi)有三次項(xiàng)的一元四次方程，即可化成如下形式：

x^4+cx^2+dx+e=0

這樣更好看，解法也容易記憶，根據(jù)待定系數(shù)法，設(shè)原式可化簡(jiǎn)成如下兩個(gè)因式的乘積：

(x^2+y1x+y2)(x^2-y1x+y3)=0

即

x^4-y1^2x^2+y3x^2+y1y3x+y2x^2-y1y2x+y2y3=0

x^4+(y2+y3-y1^2)x^2+y1(y3-y2)x+y2y3=0

比較對(duì)應(yīng)系數(shù)，得

若d=0，原四次方程可以化簡(jiǎn)成關(guān)于x^2的二次方程，從而得出4個(gè)根，

若d≠0，那么y1≠0，觀察發(fā)現(xiàn)

可以用y1分別表示y2、y3，即

代入y2y3=e，可得出只含有偶次方項(xiàng)的六次方程

將其看成是關(guān)于y1^2的三次方程，從而算得y1、y2、y3，只取一組實(shí)數(shù)根即可，那么原四次方程的根與如下兩個(gè)二次方程的根完全相同

x^2+y1x+y2=0；x^2-y1x+y3=0，

即可算出x1、x2、x3、x4。

總結(jié)

? ? 次數(shù)越高越復(fù)雜，三次方程求根公式已經(jīng)很亂了，沒(méi)想到這個(gè)更亂吧？我就不再把完全形式的求根公式寫出來(lái)了，能記住求法就行了。費(fèi)拉里還是很厲害的，不愧是卡爾達(dá)諾的學(xué)生。有興趣想知道三次方程求根公式的朋友，可以翻閱專欄中的三次求根公式的文章啊，現(xiàn)在你會(huì)解四次方程了嗎？