????????前n項(xiàng)自然數(shù)的和怎么求？這個(gè)問題很簡單，“首項(xiàng)加末項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)除以2”，這個(gè)口訣大家都能張口就來。自然我們要問，前n項(xiàng)自然數(shù)平方和有沒有求和公式？答案是：有。

????????我們繼續(xù)追問，對于3次方、4次方乃至m次方是否有求和公式？都是有的。實(shí)際上這一系列公式可以推廣至任意自然數(shù)。1次方的公式十分好求，那么相應(yīng)后續(xù)的公式呢？乍一看并不容易。下面介紹這一系列公式的兩種求法。

求法一：數(shù)學(xué)歸納法。

? ? ? ? 利用這種求法求前n項(xiàng)自然數(shù)m次冪的求和公式時(shí)，需要事先知道前m-1次的求和公式。因而當(dāng)m比較大時(shí)比較麻煩。

????????我們先將前n項(xiàng)自然數(shù)m次冪的和記為S(n,m)。當(dāng)m=0時(shí)，顯然S(n,0)=n。

????????假設(shè)m=1,2,…,k-1時(shí)的求和公式已知，分別為S(n,1),S(n,2),…,S(n,k-1)，然后據(jù)此推導(dǎo)m=k時(shí)的求和公式。利用公式

令公式(2)中的n取遍1,2,…,n

累加得

稍作整理即得

推導(dǎo)完畢。

????????我們通過例子來驗(yàn)證這個(gè)公式的正確性。

對比公式(1)，結(jié)果正確?？梢园凑者@種做法一直做下去求出前n項(xiàng)自然數(shù)任意自然數(shù)次冪的求和公式。

求法二：待定系數(shù)法

????????通過上面方法一的推導(dǎo)可以發(fā)現(xiàn)，前n項(xiàng)自然數(shù)m次冪之和是一個(gè)m+1次多項(xiàng)式。

????????反向考慮這件事情，通過公式(2)，可以發(fā)現(xiàn)任意兩個(gè)自然數(shù)m+1次冪之差可以用一個(gè)m次多項(xiàng)式來描述。這就說明，m次多項(xiàng)式可以寫成兩個(gè)m+1次多項(xiàng)式之差。而自然數(shù)m次冪其實(shí)就是前述m次多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)為1，其余各項(xiàng)為0的特例。這特性是個(gè)足夠好的性質(zhì)，能夠保證變換過程中消去足夠多的中間項(xiàng)。這樣就可以說明前n項(xiàng)自然數(shù)m次冪之和是一個(gè)比較簡單的m+1次多項(xiàng)式。

????????知道了這件事情，我們就可以設(shè)

然后計(jì)算出在S(n,m)上任意m+2個(gè)點(diǎn)(i,S(i,m))，代入公式(8)中，進(jìn)而解出各項(xiàng)系數(shù)即可。

????????我們?nèi)杂胢=2進(jìn)行檢驗(yàn)。

一般說來，方程組的未知數(shù)會(huì)比較多，因此建議用線性代數(shù)中的高斯消元法求解

于是也得

????????我們可以利用一些結(jié)論使方程的未知數(shù)變得少一些。例如，通過S(0,m)=0可知S(n,m)的常數(shù)項(xiàng)為0；由公式(5)可知S(n,m)中m+1次項(xiàng)的系數(shù)一定是1/(m+1)；另外，1次項(xiàng)的系數(shù)就是伯努利數(shù)Bm(本文不介紹，感興趣可以查閱相關(guān)資料)。那么我們通過查表知m=2時(shí)Bm=1/6，就可以設(shè)

只需要代入點(diǎn)(1,1)就可以求出未知系數(shù)a1=1/2。

????????補(bǔ)充說明一點(diǎn)，以上兩種方法所適用的范圍是m為自然數(shù)。如果你很好奇，想知道m(xù)可不可以推廣至整數(shù)、分?jǐn)?shù)乃至實(shí)數(shù)呢？答案是不行，這種通式是不存在的，否則調(diào)和級數(shù)和Basel問題就不用花那么大力氣去研究了……

????????在文章的最后，讓我們試著求一下S(n,3)。對除m=1以外的所有奇數(shù)，有Bm=0，于是設(shè)

代入點(diǎn)(1,1)和(2,9)

解之得a1=1/2,a2=1/4。于是

可以檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)果是正確的。