前置知識：矩陣的基本運算、矩陣的相似對角化、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

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????????在學(xué)習(xí)線性代數(shù)時，我們學(xué)過可相似對角化的n階方陣冪次的一種求法。設(shè)矩陣A為n階實矩陣，并且可以相似對角化，則存在可逆矩陣P，使得

其中λi(i=1,2,…,n)為矩陣A的特征值。從而

這樣計算起來比較容易。而不必傻fufu地一次一次做矩陣乘法。

????????可是，并不是所有方陣都能進(jìn)行相似對角化的。很容易就可以舉出一個例子(盡管這個屑例子的n次冪求起來極其容易)：

實際上，n階方陣可以進(jìn)行相似對角化的充要條件是：n階方陣m個互異的特征值的代數(shù)重數(shù)等于幾何重數(shù)。特征值λi的代數(shù)重數(shù)就是特征方程|λEn-A|=0根的λi重數(shù)，幾何重數(shù)就是線性方程組(λiEn-A)x=0解空間的維數(shù)。顯然上面那個例子不滿足這個條件，于是無法作相似對角化，也就無法利用上面的方法求其n次冪了。

????????有觀眾同學(xué)可能已經(jīng)想到了Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，這是一種不錯的方法。不過，利用Jordan標(biāo)準(zhǔn)型求冪存在一點點困難，因為它不是對角陣，求冪并不容易。不過這種程度對于觀眾同學(xué)而言都是小意思，我們直接看一個簡單的例子吧。

????????不加證明地指出，對于一切n階矩陣A，都存在唯一一個相應(yīng)的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣J，使得

其中T為n階可逆矩陣。換句話說，矩陣化成Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是沒有限制條件的。

????????再啰嗦一下矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J的求法。首先對矩陣(λEn-A)做初等變換，化成Smith標(biāo)準(zhǔn)形(關(guān)于λ多項式的對角陣，對角線上元素稱為不變因子，后一個不變因子必能整除前一個)，然后寫出初等因子(把所有不變因子寫成一次多項式冪次的乘積，然后拆成若干個一次多項式的冪)，據(jù)初等因子寫出Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J。

例????求A^n。其中

解????矩陣A做不了相似對角化，但一定可以化成Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。

????????對矩陣(λE3-A)作初等變換

????????求出其初等因子為(λ-1), (λ-2)^2，于是矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為

????????設(shè)T=(X1,X2,X3)，由AT=TJ得

????????解得

????????于是

????????因此

其中求Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J的n次冪利用了準(zhǔn)對角矩陣n次冪的推論：

顯然當(dāng)其中某一個Jordan塊Ji(i=1,2,…,m)階數(shù)k較大時求冪略顯復(fù)雜：

其中

公式(3)請觀眾同學(xué)自行證明。