? ? 干貨:[預(yù)警:紅衣將不會(huì)從極坐標(biāo)定義講起，高一的學(xué)弟抱歉了...]

? ? 詳講:?[預(yù)告:如果可以理解干貨部分內(nèi)容的話，這里將會(huì)浪費(fèi)你人生中寶貴的幾分鐘，所以直奔最后紅衣的日常嘮叨吧(霧)]?

? ? 實(shí)在想不到怎么引出話題了 ?“當(dāng)我開口說話的時(shí)候就感到了空虛”(魯迅) ? 所以，我們還是直接進(jìn)入推導(dǎo)吧。

? ? ? ? ?⑴曲線ι(好吧，別吐槽這是個(gè)希臘字母了...難道你想看“直線l”嗎？) ? 曲線ι: ρ sin(α－θ)＝d

??首先，讓我們以O(shè)為極點(diǎn)建立一個(gè)極坐標(biāo)系。

? 作直線θ＝α，命名為基準(zhǔn)線ι'。

? 取ι上一點(diǎn)P(ρ1,θ1) ? (別跟我說角標(biāo)應(yīng)該在下面的事，我盡力了，只找到了在上面的序數(shù)標(biāo)識(shí))

? 過P作基準(zhǔn)線ι'垂線，交ι'于Q。

? 有∠POQ＝α－θ

? |OP|＝ρ1

? |PQ|=|OP?|?×?sin∠POQ=ρ1 ×?sin(α-θ1)=d

? 同理可知ι上任意一點(diǎn)M(ρ，θ)，MN⊥ι'于N，

? 有|MN|=d為定值恒成立。

? 即ι上任點(diǎn) ?亦 ?ι自身 ?與ι'距離為定值d，

? 即ι／／ι' ? ? ??(哭了，坑爹輸入法有垂直沒平行)

? ? ? ι: ? ρ sin(θ-α)=d同理

敲黑板:

ι即為與基準(zhǔn)線ι'距離為d的平行線[體位(霧)由 ? ?θ±α中加、減號(hào)決定]

繪圖技巧:

? ? ? ? ?⑵曲線ι: ρ cos(θ-α)=d

??省掉那些七七八八的，直接剛主題:

? ι上任點(diǎn)M(ρ,θ)，MN⊥ι'(基準(zhǔn)線)于N

?有|MN|?=ρ

? ∠MON=θ-α

?|ON|?=|OM| cos∠MON=ρ cos(θ-α)=d

? 即ι上任不同于N的點(diǎn)M與N(d,α)的連線MN⊥ι'，且ι過N

? 即認(rèn)為ι⊥ι'于N(|ON|=d)

敲黑板:

ι即為垂直基準(zhǔn)線ι'于N(|NO|=d)的垂線[別問我d取負(fù)怎么辦，反向延長(zhǎng)線]

? ? ? ? ?⑶cos/sin(θ+α)?cos/sin(θ-(-α))

不解釋。

? ? ? ? ?⑷曲線Q: 2r cos(θ-α)=ρ

??累(lǎn),累(lǎn)得遭不住，不多解釋。

? 同樣引線ι':θ=α作為基準(zhǔn)線，剩下的參考課本[北師大版 ?選修4-4 ?P14 ?(不是這版本教材的同學(xué)可以到紅衣的動(dòng)態(tài)找書影，因?yàn)椴磺宄c(diǎn)原創(chuàng)能不能把教材那段加進(jìn)來，所以這里就不放圖了。抱歉，麻煩各位了)]吧。

敲黑板:

Q即為半徑為r，圓心于基準(zhǔn)線ι'上且過O點(diǎn)的圓

? ? ? ? ?⑸曲線Q: ρ2-2ρ (d+r) cos(θ-α)+d2+d r=0 為圓[“2”表示平方，不是序數(shù)(另外，令該式為①式)] ? ? ? 別逼我解釋為什么。

? 該方程，即 ①式 由逆推而來，可化簡(jiǎn)為

②式:ρ2-m ρ cos(θ-α)+n=0

??因?yàn)槲疫€沒強(qiáng)到可以直接剛 ②式 來推演圖像，所以沒法解釋啦……

??①式小講:[看的時(shí)候自己邊畫圖體驗(yàn)一下吧]

有⊙Q，連OQ，以O(shè)Q所在直線為基準(zhǔn)線ι'。

ι'交⊙Q于M、N(|MO|＜|NO|)

取⊙Q上一點(diǎn)P(ρ,θ)，有MP⊥PN。

作PH⊥ι'于H，連OP、HP

令||OM|為d，|PQ|為r

有|HP|2+|OP|2=|PQ|2=r2

又|HP|=ρ sin∠POH=ρ sin(θ-α)

|QH|=|OH|-|OQ|=|OH|-|OM|-|MQ|

? ? ? ?=?ρ cos(θ-α)-d-r

∴r2=[ρ cos(θ-α)-(d+r)]2+[ρ sin(θ-α)]2

∴①式得證

那么對(duì)于 ①式 的衍生，即更為普遍的②式，有什么是可以為我們所用的呢？

敲黑板:

于ρ2-m ρ cos(θ-α)+n=0 ?(m＞0，n∈R)

其圖像為圓

其半徑=√(1/4×m2-n) ? [四分之一的m2減n的整體的二分之一次冪(也就是整體開根號(hào)啦)]

圓心-極點(diǎn)距=m/2 ? [二分之m]

其圓心于基準(zhǔn)線ι'上

? ? ?n＜0時(shí)極點(diǎn)于圓內(nèi)

? ? ? ? =0?時(shí) ? ? ?? 于圓上

? ? ?推廣:

? ? ??⑹對(duì)課本使用的對(duì)直線的解法的推廣

見圖:

? ? 結(jié):

? ?其實(shí)當(dāng)寫到這的時(shí)候，原本以為會(huì)有的很多的話都并沒有了……

? ?學(xué)期初做的筆記，2個(gè)晚自習(xí)寫的文案，2個(gè)晚上(打下這行字已經(jīng)23了)厚著臉皮跟我媽要手機(jī)碼完專欄。

? ?筆記來自學(xué)期初做題的時(shí)候冒出來的一個(gè)狂想:既然極坐標(biāo)的直線方程有角、有長(zhǎng)度?，為什么不可以挖掘它的幾何意義呢？當(dāng)然可以，可惜第一次嘗試的時(shí)候小角減大角，sin忘取負(fù)，錯(cuò)了。可喜，也因此作了更深入的分析，有了這篇筆記。

? ?不知道以前有沒有人推過，這么簡(jiǎn)單的東西，一定有吧？然而，不在乎了。

? ?相較于課本上的方法[一個(gè)靠a/sinA，只能分析sin形式下的直線方程;一個(gè)是轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程(對(duì)于其它的圓錐曲線……在我解決完橢圓與圓伸縮變換的問題前，我大概是沒有勇氣悖逆課本、不用化直角坐標(biāo)的了)]我更偏愛這個(gè)。

? ?一，它直觀而富有美感，不是嗎？二，更重要的，它是我推導(dǎo)的。大概有點(diǎn)像魯迅所謂的“對(duì)兒子的偏愛”吧。

? ?很累，真的，倒計(jì)時(shí)400天。高考一完，就算準(zhǔn)高三狗了。會(huì)寫完承諾的三篇的，第二篇會(huì)是三角代換(你已經(jīng)從干貨第二張圖那看到了a sinφ±b sinφ ?，不是嗎？)第三篇雜談。高三封筆。我還會(huì)再回來，但不在明天。

? ? 不求硬幣，不求收藏，不求推薦，甚至，不求關(guān)注。

? ? 我是紅衣，黌(hóng)弌(yī)司語。一年后你還會(huì)再聽到這個(gè)名字，那，為什么不記住它呢？