感覺經(jīng)濟(jì)學(xué)里面主要用的數(shù)學(xué)知識集中在，實(shí)變函數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)、微分方程，尤其是簡單的偏微分方程技巧這三部分，雖然涉及的知識不難，但是像老碧這種沒有微分方程知識基礎(chǔ)的，真的跟抓瞎一樣。所以大部分?jǐn)?shù)學(xué)解題步驟從簡，還記得老碧曾經(jīng)寫過的關(guān)于類似經(jīng)濟(jì)學(xué)這種具有大量數(shù)學(xué)知識的學(xué)科的學(xué)習(xí)攻略嗎？——老碧會(huì)先把十八講遇到的經(jīng)濟(jì)模型、名詞、定義以及涉及的數(shù)學(xué)知識用這個(gè)筆記記錄起來，然后下一步，就開始進(jìn)入數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)了，所以，提前預(yù)告零基礎(chǔ)學(xué)經(jīng)濟(jì)的第二個(gè)專題，就是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識了！

所以，今天開始總結(jié)加速——

第二講要點(diǎn)——

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經(jīng)濟(jì)學(xué)概念——間接效用函數(shù)——

“需求函數(shù)u（x）最大值”直接受限于“預(yù)算集”里的元素x，而“預(yù)算集”則受限于“價(jià)格向量p”和“收入y”。

所以，“需求函數(shù)u（x）最大值”間接受限于“價(jià)格向量p”和“收入y”。

“直接效用函數(shù)”是關(guān)于“消費(fèi)計(jì)劃x”的單調(diào)函數(shù)，“間接效用函數(shù)”則是關(guān)于“價(jià)格向量p”和“收入y”的函數(shù)。

技術(shù)要求——圖線分析

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間接效用函數(shù)的（數(shù)學(xué)）性質(zhì)——

書上定理——如果直接效用函數(shù)u（x）在R^n+上是連續(xù)且嚴(yán)格遞增的，那么間接效用函數(shù)

v（p，y）=max u（x），s.t. px<=y

一定是

1. 連續(xù)的

2. 零次齊次的

3. 對于y嚴(yán)格遞增

4. 對于p嚴(yán)格遞減

5. 滿足羅爾恒等式

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定理內(nèi)涵——

1. 內(nèi)涵——價(jià)格向量p，收入y的任何波動(dòng)，都會(huì)造成極大化的效用的變化，比如，某商品降價(jià)了，可以多買，收入增加了，也可以多買；

2. 內(nèi)涵——價(jià)格和收入同倍數(shù)增長，最佳購買計(jì)劃x不變，比如，每一個(gè)商品價(jià)格都漲價(jià)到之前的兩倍，但是，收入也漲了兩倍，那么購買計(jì)劃與之前沒有區(qū)別；

3. 內(nèi)涵——賺得多，買得多——數(shù)學(xué)工具：求關(guān)于y偏導(dǎo)數(shù)；

4. 內(nèi)涵——賣得貴，買得少——數(shù)學(xué)工具：求關(guān)于任一物品價(jià)格pi的偏導(dǎo)數(shù)；

5. 由3、4的數(shù)學(xué)過程直接導(dǎo)出。

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例一：由直接效用函數(shù)求間接效用函數(shù)——用到了第一講例一中的馬歇爾需求函數(shù)+羅爾恒等式——過程不難，但是計(jì)算繁瑣，這兩個(gè)公式不太好記

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間接效用函數(shù)的應(yīng)用——

例子——所得稅比商品稅對消費(fèi)者效用影響比較小——

數(shù)學(xué)知識點(diǎn)：拉格朗日乘數(shù)法——偏微分方程內(nèi)容

求出效用最優(yōu)消費(fèi)量代會(huì)間接效用函數(shù)式子，分別提高價(jià)格——商品稅，降低收入——所得稅，求出結(jié)果，比較同樣變化之后那個(gè)數(shù)字大。

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經(jīng)濟(jì)學(xué)概念——支出函數(shù)——

目標(biāo)問題——當(dāng)消費(fèi)者面臨的價(jià)格給定時(shí)，為了達(dá)到給定的效用水平，如何花錢最省？——最低消費(fèi)組合

圖線名稱——等花費(fèi)線（isoexpenditure curve），同一條線上的花費(fèi)水平相等，字母e表示花費(fèi)水平。

以二維組合為例，兩種物品價(jià)格都是確定的，所以p1/p2不變。但是兩件物品的購買量是會(huì)變動(dòng)的，即x1與x2是會(huì)變動(dòng)的。e=p1*x1+p2*x2。

給定效用水平u，其相切的最靠下的等花費(fèi)線所對應(yīng)的花費(fèi)水平即為所求最小花費(fèi)水平，切點(diǎn)即為對應(yīng)的消費(fèi)計(jì)劃。

我們記價(jià)格向量為p的前提下，為滿足特定的效用水平u，所必需的最低花費(fèi)為e（p，u）。

支出函數(shù)的定義為一個(gè)最小值函數(shù)——

e（p，u）=min（px），在u（x）>=u的前提下。

即在滿足最低效用水平為u的前提下，最小的消費(fèi)量，因?yàn)閮r(jià)格向量p是確定的，所以這個(gè)問題就是一個(gè)單純的求消費(fèi)計(jì)劃x的問題，即每件物品買多少能夠滿足要求的問題。

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?？怂剐枨蠛瘮?shù)——

?？怂剐枨蠛瘮?shù)即為支出函數(shù)的進(jìn)一步引申的一個(gè)結(jié)果，支出函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值，是支出的最小值；

而希克斯需求函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值，則是在滿足固定價(jià)格和效用的情形下，滿足最小值的消費(fèi)組合x。

對比之前學(xué)過的馬歇爾需求函數(shù)，也是求消費(fèi)組合x，限制條件不同，給定了價(jià)格與收入。

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謝潑特引理——

內(nèi)容——如果u——1.連續(xù)2.嚴(yán)格遞增——那么當(dāng)p>>0時(shí)，支出函數(shù)e（p，u）在點(diǎn)（p0，u0）對于p可微，并且，對支出函數(shù)求pi求偏導(dǎo)數(shù)，推知?？怂剐枨蠛瘮?shù)。

證明——數(shù)學(xué)知識——拉氏函數(shù)、包絡(luò)定理——偏微分方程技巧

例2——由直接效用函數(shù)求支出函數(shù)——數(shù)學(xué)：拉氏函數(shù)

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例3——由最低效用水平、效用函數(shù)求支出函數(shù)——數(shù)學(xué)：拉格朗日表達(dá)式

要滿足的效用水平提高，支出也會(huì)提高，一次齊次性。

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預(yù)算份額——

Si=pixi/y——購買商品xi的消費(fèi)占收入的份額

所有預(yù)算份額相加，和為1。

例4——Cobb-Douglass效用函數(shù)中指數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義——拉氏函數(shù)——

指數(shù)是預(yù)算份額。

第二講要點(diǎn)，主要就是各種解方程，記效用函數(shù)。