命題1.45：

可用已知角建立一個平行四邊形使其等于已知多邊形

已知：多邊形ABCD，∠E

求：用∠E建一平行四邊形使其等于多邊形ABCD

解：

連接BD

（公設(shè)1.1）

建?KFGH，使S?KFGH=S△ABD，∠K=∠E

（命題1.42）

在線段GH上作?GHML，使S?GHML=S△BCD，∠GHM=∠E

（命題1.44）

證明：四邊形KFLM是平行四邊形，且S?KFLM=S多邊形ABCD

證:

∵∠K=∠E，∠GHM=∠E

（已知）

∴∠HKF=∠GHM

（公理1.1）

∴∠K+∠KHG=∠GHM+∠KHG

（公理1.2）

∵?KFGH中，KF∥GH

（定義1.22）

∴∠K+∠KHG=兩直角

（命題1.29）

∴∠GHM+∠KHG=兩直角

（公理1.1）

∴KH，HM在同一直線上

（命題1.14）

∵?KFGH中，KM∥FG

（定義1.22）

∴∠MHG=∠HGF

（命題1.29）

∴∠MHG+∠HGL=∠HGF+∠HGL

（公理1.2）

∵?GHML中，GL∥HM

（定義1.22）

∴∠MHG+∠HGL=兩直角

（命題1.29）

∴∠HGF+∠HGL=兩直角

（公理1.1）

∴FG，GJ在同一直線上

（命題1.14）

∵KF∥GH，GH∥ML

（定義1.22）

∴KF∥ML

（命題1.30）

∵KM∥FL

（已知）

∴四邊形KFLM是平行四邊形

（定義1.22）

∵S?KFGH=S△ABD，S?GHML=S△BCD

（已知）

∴S?KFGH+S?GHML=S△ABD+S△BCD

即S?KFLM=S多邊形ABCD

（公理1.2）

證畢

?

此命題在本卷中未被使用

PS：用這種方法，任何直線形都可以被轉(zhuǎn)換成一個平行四邊形，這是一個求不規(guī)則直線形面積的好方法