牛頓278、歐多克斯對窮竭法的定義，翻譯成數(shù)學(xué)語言；用窮竭法計算面積

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窮竭法（百度百科）：…

…窮、竭（jié）、窮竭，法，窮竭法：見《牛頓245》…

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相關(guān)研究

…研、究、研究：見《歐幾里得42》…

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古希臘的安蒂豐（Antiphon 480-403BC）最早表述了窮竭法，他在研究“化圓為方”問題時，提出了使用圓內(nèi)接正多邊形面積“窮竭”圓面積的思想。

…安蒂豐：見《牛頓246》…

…面、積、面積：見《牛頓261》…

…思、想、思想：見《歐幾里得154》…

后來，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯（Eudoxus of Cnidus, 408-355 BC）改進(jìn)了安蒂豐的窮竭法。將其定義為：“在一個量中減去比其一半還大的量。不斷重復(fù)這個過程，可以使剩下的量變得任意小”。

…數(shù)、學(xué)、數(shù)學(xué)：見《歐幾里得49》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

…家：掌握某種專門學(xué)識或從事某種專門活動的人：?！?。畫～。政治～?？茖W(xué)～。藝術(shù)～。社會活動～…見《歐幾里得92》…

…歐多克斯：見《歐幾里得102》…

…定、義、定義：見《歐幾里得28》…

…過、程、過程：見《歐幾里得194》…

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用數(shù)學(xué)語言描述是：

…描、述、描述：見《伽利略34》…

（…《伽利略》：小說名…）

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任意給定兩個正的量b<a， 從a 減去λa ，1/2<λ<1，則必可找到一個整數(shù)n，使（1-λ）^n·a<b。

…λ：希臘字母表中排序第十一位的字母，大寫為Λ，英語名稱為Lambda…

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古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德進(jìn)一步完善了“窮竭法”，并將其廣泛應(yīng)用于求解曲面面積和旋轉(zhuǎn)體體積。

…阿基米德：見《伽利略9~31》…

…應(yīng)、用、應(yīng)用：見《歐幾里得181》…

…體、積、體積：見《牛頓253》…

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阿基米德最早使用窮竭法進(jìn)行了積分運(yùn)算，是微積分學(xué)的先驅(qū)。

…運(yùn)、算、運(yùn)算：見《歐幾里得121》…

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窮竭法被后人稱為阿基米德原理。

…原、理、原理：見《歐幾里得41》…

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[阿基米德（百度百科）：…

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阿基米德的數(shù)學(xué)思想中蘊(yùn)涵微積分。

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阿基米德的《方法論》中已經(jīng)“十分接近現(xiàn)代微積分”，這里有對數(shù)學(xué)上“無窮”的超前研究，貫穿全篇的則是如何將數(shù)學(xué)模型進(jìn)行物理上的應(yīng)用。

…模、型、模型：見《伽利略30》…

…物、理、物理：見《歐幾里得139》…

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他所缺的是沒有極限概念，但其思想實質(zhì)卻伸展到17世紀(jì)趨于成熟的無窮小分析領(lǐng)域里去，預(yù)告了微積分的誕生。

…極、限、極限：見《歐幾里得178》…

…概、念、概念：見《歐幾里得22、23》…

…分、析、分析：見《歐幾里得36》…]

例如，計算y=^2與x軸在x=0和x=1之間圍成的曲邊三角形的面積，把底邊[0，1]分成n等分，分點(diǎn)分別是1/n，2/n，…（n-1）/n，然后在每個分點(diǎn)處作底邊的垂線，這樣曲邊三角形被分成了n個窄條。

對每個窄條，近似用矩形條替代。每個矩形的底寬1/n，高（i/n）^2（i=0，1，2，…，n-1），把這些矩形條加起來，得到S的近似Sn：

Sn=0·（1/n）+（1/n）^2·（1/n）+（2/n）^2·（1/n）+…+[（n-1）/n]2·（1/n）

=1/n^3·[n（n+1）（2n+1）/6]=1/6·（1+1/n）（2+1/n）

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對每個n，都可以算出相應(yīng)的Sn的值。

一方面，隨著n的增大，Sn的值，越來越接近S。但另一方面，所得的Sn始終都是S的近似值。

為了得到S的精確值，使n無限制的增大。從幾何上看，面積Sn的那個多邊形越來越貼近曲邊三角形，即阿基米德所說的窮竭曲邊三角形。

…精、確、精確：見《牛頓25》…

…幾、何、幾何：見《歐幾里得28》…

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從數(shù)值上看，Sn無限接近一個確定的數(shù)，這個數(shù)就是曲邊三角形的面積S。

這個數(shù)等于1/3。

當(dāng)年，阿基米德就是通過這個方法求得結(jié)果。

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用窮竭法計算曲邊形的面積時，對不同的曲邊形，采用不同的直邊形去逼近。并且計算的過程中采用了特殊的技巧，因而不具有一般性，無法向一般的曲邊形推廣。

…計、算、計算：見《歐幾里得157》…

…特、殊、特殊：見《伽利略30》…

…一、般、一般：見《歐幾里得125》…

…性：1.物質(zhì)所具有的性能；物質(zhì)因含有某種成分而產(chǎn)生的性質(zhì)：黏～。彈～。藥～。堿～。油～。2.后綴，加在名詞、動詞或形容詞之后構(gòu)成抽象名詞或?qū)傩栽~，表示事物的某種性質(zhì)或性能：黨～。紀(jì)律～。創(chuàng)造～。適應(yīng)～。優(yōu)越～。普遍～。先天～。流行～…見《歐幾里得10》…

…一般性：見《歐幾里得126》…

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“16世紀(jì)的歐洲處于資本主義萌芽時期，生產(chǎn)力得到極大的發(fā)展。

生產(chǎn)和技術(shù)中遇到大量問題，人們只用初等數(shù)學(xué)的方法已無法解決，要求數(shù)學(xué)突破“只研究常量”的傳統(tǒng)范圍，尋找能描述和研究運(yùn)動、變化過程的新工具。

請看下集《牛頓279、促進(jìn)“極限”思維發(fā)展、建立微積分的社會背景》”

若不知曉歷史，便看不清未來

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