歐幾里得127、證明思路：設(shè)出滿足條件最小量，找到更小值，得出矛盾

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2017年3月30日，網(wǎng)友發(fā)表名為《如何證明存在一種不能表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)？》的文章。

文章內(nèi)容：

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有發(fā)現(xiàn)上面的代數(shù)證明和幾何證明之間的共同點(diǎn)嗎？它們都是這樣的一個(gè)思路：假設(shè)我已經(jīng)是滿足這個(gè)性質(zhì)的最小的那個(gè)了，那么我就可以用一種方法找出更小的一個(gè)來(lái)，讓你無(wú)限循環(huán)下去。數(shù)目越來(lái)越小，永無(wú)止境。嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明中你或許會(huì)看到這樣一句話：“不失一般性，設(shè)n為最小的滿足……”

…上面的代數(shù)證明：見(jiàn)《歐幾里得116》…

…上面的幾何證明：見(jiàn)《歐幾里得124》…

…性、質(zhì)、性質(zhì)：見(jiàn)《歐幾里得37》…

…嚴(yán)、格、嚴(yán)格，不、失、不失，一、般、一般，一般性，不失一般性：見(jiàn)《歐幾里得125、126》…

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這種證明方法應(yīng)用很廣。比如，證明3^n不能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和。

…^：乘方…

…3^n：3的n次方…

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假設(shè)存在一個(gè)最小的n使得x^2+y^2=3^n（x的平方+y的平方=3的n次方），那么x^2+y^2可以被3整除，于是x和y也應(yīng)該能被3整除（一個(gè)正整數(shù)的平方除以3，要么除盡，要么余1）。

…證明：

∵?x^2+y^2可以被3整除

∴（x^2+y^2）/3=某整數(shù)

∴（x^2+y^2）/3=（x^2）/3+（y^2）/3=某整數(shù)

∴ x^2/3=某整數(shù)，x^2/3=某整數(shù)

即x·x/3=某整數(shù)，y·y/3=某整數(shù)

∴ x有質(zhì)因數(shù)3，y有質(zhì)因數(shù)3

即x和y能被3整除…

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假如x=3p，y=3q，那么（3p）^2+（3q）^2=3^n，即9（p^2+q^2）=3^n，那么：p^2+q^2=3^（n-2）。這和n最小的假設(shè)矛盾。

…矛、盾、矛盾：見(jiàn)《歐幾里得72》…

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換句話說(shuō)，你永遠(yuǎn)找不到最小的，你必須一直遞歸下去。

…遞、歸、遞歸：見(jiàn)《歐幾里得124》…

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接下來(lái)的兩個(gè)證明才是我佩服的，真正的Very Simple & Very Tricky。

…Very（英語(yǔ)）：adv.（副詞）很，非常…

…Simple（英語(yǔ)）：adj.（形容詞）簡(jiǎn)單的；樸素的；易于理解的；易做的；簡(jiǎn)樸的；不加裝飾的；（用在名詞前表示強(qiáng)調(diào)）純粹的，完全的，不折不扣的…

…Very Simple：非常簡(jiǎn)單…

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＆這個(gè)符號(hào)叫什么？——網(wǎng)友提問(wèn)

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2019-07-25，是嘛10：&叫and。來(lái)源于拉丁語(yǔ)et （意為and）的連寫，是一個(gè)邏輯語(yǔ)言，是指邏輯上表示兩者屬于缺一不可的關(guān)系，還表示意思是一個(gè)人和另外一個(gè)人之意，與and同義。如A&B，表示A與B，A和B，A×B。

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是指邏輯上表示兩者屬于缺一不可的關(guān)系，還表示一個(gè)人和另外一個(gè)人之意，與and同義。如A&B，表示A與B，A和B，A×B。

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字符&的最早歷史可以追溯到公元1世紀(jì)，最早是拉丁語(yǔ)et （意為and）的連寫。最早的&是e和t的合字，后來(lái)經(jīng)過(guò)一些演變，形成了固定的合字，繼而演變?yōu)榉?hào)。這個(gè)符號(hào)和古代一些西文字體的et連寫幾乎一樣。

…Tricky（英語(yǔ)）：adj.（形容詞）狡猾的；難辦的；難對(duì)付的；詭計(jì)多端的…

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下面的這個(gè)證明曾經(jīng)是我最喜歡的關(guān)于無(wú)理數(shù)的存在性的證明，它實(shí)在是太神奇了。

…證、明、證明：見(jiàn)《歐幾里得6》…

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假設(shè)（p/q）^2=2，那么p^2=2q^2。我們將要證明，一個(gè)數(shù)的平方等于另一個(gè)數(shù)的平方的兩倍是根本不可能的。

如果對(duì)一個(gè)平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，它必然有偶數(shù)個(gè)因子（x^2的所有質(zhì)因子就是把x的質(zhì)因子復(fù)制成兩份）。于是，p^2有偶數(shù)個(gè)質(zhì)因子，q^2有偶數(shù)個(gè)質(zhì)因子，2q^2有奇數(shù)個(gè)質(zhì)因子。

等號(hào)左邊的數(shù)有偶數(shù)個(gè)質(zhì)因子，等號(hào)右邊的數(shù)有奇數(shù)個(gè)質(zhì)因子，大家都知道這是不可能的，因?yàn)橥粋€(gè)數(shù)只有一種分解質(zhì)因數(shù)的方法（唯一分解定理）。

…方、法、方法：見(jiàn)《歐幾里得2、3》…

…定、理、定理：見(jiàn)《歐幾里得2》…

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這個(gè)證明還有一種更加神奇的變化。p^2和2q^2的質(zhì)因子中，因子2的個(gè)數(shù)肯定是一奇一偶。那么它們轉(zhuǎn)化成二進(jìn)制后，末尾0的個(gè)數(shù)肯定也是一奇一偶。因此，這兩個(gè)數(shù)不可能相等。

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今天，我見(jiàn)到了一個(gè)更加簡(jiǎn)潔的證明。它就來(lái)源于哲牛介紹的那篇文章。

…哲牛：哲學(xué)方面很牛的人…

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這個(gè)證明雖然與前面的證明有些類似，但它的簡(jiǎn)潔性足以讓我打算寫下今天這篇4000字的文章。

…性：1.物質(zhì)所具有的性能；物質(zhì)因含有某種成分而產(chǎn)生的性質(zhì)：黏～。彈～。藥～。堿～。油～。2.后綴，加在名詞、動(dòng)詞或形容詞之后構(gòu)成抽象名詞或?qū)傩栽~，表示事物的某種性質(zhì)或性能：黨～。紀(jì)律～。創(chuàng)造～。適應(yīng)～。優(yōu)越～。普遍～。先天～。流行～…見(jiàn)《歐幾里得10》…

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看后我大為折服，這真的叫做the power of simple ideas in mathematics（數(shù)學(xué)中簡(jiǎn)單思想的力量）。

同樣是證明不存在整數(shù)p、q，使得p^2=2q^2，這個(gè)證明只需要一句話：假如p、q是最小的正整數(shù)使得p^2=2q^2，看圖，兩個(gè)邊長(zhǎng)為q的小正方形放在一個(gè)邊長(zhǎng)為p的大正方形里，那么，圖中深灰色正方形的面積就等于兩個(gè)白色正方形面積之和（面積守恒）。于是，我們就找到了具有同樣性質(zhì)的更小的整數(shù)p和q。

仔細(xì)體會(huì)一下這個(gè)“面積守恒”，如果A+B=C，那么A和B重復(fù)計(jì)算了的必然是C里還沒(méi)有算過(guò)的。很有意思。

“范疇是一種抽象程度最高的命題結(jié)構(gòu)性概念，是哲學(xué)及其邏輯系統(tǒng)中最重要、最核心的概念。有大量的具體范疇經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次的感知驗(yàn)證和理知推演，已經(jīng)成為人類抽象思維成果中具有高度概括性、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的概念。例如：內(nèi)涵、外延，合、分，關(guān)系（絕對(duì)/相對(duì)），姿態(tài)（獨(dú)生態(tài)/眾生態(tài)），獨(dú)生態(tài)（主動(dòng)/被動(dòng)）、眾生態(tài)（自由/專制），自由（自在/互聯(lián)），狀況（連續(xù)/離散），個(gè)性、集性，思維（具體/抽象），等等。

請(qǐng)看下集《歐幾里得128、自、然、自然，現(xiàn)、象、現(xiàn)象，范、疇、范疇，哲學(xué)范疇》”

若不知曉歷史，便看不清未來(lái)

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