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圖片來源｜網(wǎng)絡(luò)

1．近年來難度最高的題目

2．用「簡化模型」破解「概率難題」

由于「概率題」的「反直覺」特性，所以我們要盡量通過「建立模型」的方法解析難度較高的題目。需要知道，公考不會考察的特別深，因此即使是難題，在簡化后也會很容易理解。

一、近年來難度最高的題目

【2021年3月聯(lián)考】某公司職員小王要乘坐公司班車上班，班車到站點(diǎn)的時(shí)間為上午7點(diǎn)到8點(diǎn)之間，班車接人后立刻開走；小王到站點(diǎn)的時(shí)間為上午6點(diǎn)半至7點(diǎn)半之間。

假設(shè)班車和小王到站的概率是相等（均勻分布）的，那么小王能夠坐上班車的概率為：
（A）1/8
（B）3/4
（C）1/2
（D）7/8

假設(shè)班車和小王到站的概率是相等（均勻分布）的，那么小王能夠坐上班車的概率為：
（A）1/8
（B）3/4
（C）1/2
（D）7/8

正確率9%，易錯(cuò)項(xiàng)BC

本題難度之高，世所罕見。9%的正確率幾乎通殺了所有考生。因此，想要研究好「概率題」，這道題是繞不開的。

列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
①班車7點(diǎn)~8點(diǎn)到車站
②小王6點(diǎn)半~7點(diǎn)半到車站
③求小王坐上車的概率

可以看出，本題的題干極為簡單，但很多小伙伴無法理解在概率「均勻分布」的前提下如何找到解題思路。

目前，主流公考培訓(xùn)機(jī)構(gòu)給出的解題思路是「直角坐標(biāo)系」法。這種方法沒有任何問題，但僅限于熟悉「直角坐標(biāo)系」運(yùn)用的考生。

直接畫坐標(biāo)分析，如圖：

圖中的大正方形就是「小王所有的到達(dá)時(shí)間」和「班車所有的到達(dá)時(shí)間」的總面積（即概率之和為1），可發(fā)現(xiàn)：

斜線左上側(cè)「白三角形面積」=小王沒有趕上班車的情況=1/8個(gè)正方形
斜線右下「陰影三角形面積」=小王趕上班車的情況=7/8個(gè)正方形

因此小王能夠坐上班車的概率為7/8，D「7/8」正確。

如果不會「直角坐標(biāo)系」的小伙伴，這道題是否就做不出來了呢？當(dāng)然不是的，因?yàn)槲覀兛梢越⒁粋€(gè)簡單的「模型」。

二、用「簡化模型」破解「概率難題」

根據(jù)「班車7點(diǎn)~8點(diǎn)到」和「小王6點(diǎn)半~7點(diǎn)半到」可知小王大概率能坐上車，因此我們可以分析「小王坐不上車的概率」，用1減去該概率即可。

首先分析班車的情況，可知：

班車7:30-8:00到，小王不可能遲到
班車7:00-7:30到，小王可能遲到

因此從班車的角度分析，只有在1/2的時(shí)間內(nèi)，小王才可能遲到。

同樣分析小王的情況，可知：

小王6:30-7:00到，小王不可能遲到
小王7:00-7:30到，小王可能遲到

因此從小王的角度分析，只有1/2的時(shí)間內(nèi)，小王才可能遲到。

所以，假設(shè)在「7:00-7:30」的區(qū)間內(nèi)，小王必定遲到，那整體遲到幾率也只有1/2×1/2=1/4。當(dāng)然，小王不是必定遲到的，繼續(xù)分析：

在「7:00-7:30」區(qū)間，小王和班車在任何時(shí)間到達(dá)車站的概率都是「均勻分布」的，那么小王遲到的概率是多少呢？

這里有個(gè)簡單的方法，因?yàn)椤感⊥酢埂赴嘬嚒苟际窃谕欢螘r(shí)間「均勻分布」的，因此「小王比班車來的早」的概率和「小王比班車來的晚」的概率完全相同，都為1/2。

如果覺得上面的方法太抽象，我們可以再建立一個(gè)簡單的模型來理解。

假設(shè)「小王到達(dá)的時(shí)間」和「班車到達(dá)的時(shí)間」都用數(shù)值來表示，則：

「小王＜班車」→小王比班車來得早
「小王＞班車」→小王比班車來得晚
「小王=班車」→刪掉該情況

之所以「小王=班車」時(shí)要?jiǎng)h掉該情況，是因?yàn)樵谠}中長達(dá)30分鐘的時(shí)間內(nèi)「均勻分布」，雙方「同時(shí)到達(dá)」的概率可以忽略不計(jì)，所以在模型中我們就要?jiǎng)h掉。

如果只有「1，2」兩個(gè)數(shù)值，則：

小王比班車來得早有1種情況：

小王1，班車2

小王比班車來得晚有1種情況：

小王2，班車1

同樣，如果有「1，2，3」三個(gè)數(shù)值，則：

小王比班車來得早有2種情況：

小王1，班車2
小王1，班車3
小王2，班車3

小王比班車來得晚有2種情況：

小王2，班車1
小王3，班車1
小王3，班車2

據(jù)此進(jìn)一步推論，可發(fā)現(xiàn)無論有多少個(gè)數(shù)值，「小王比班車來得早」和「小王比班車來得晚」的出現(xiàn)次數(shù)都是相同的，即都是「1/2」。

因此：

小王趕不上班車的概率=
「小王7點(diǎn)至7點(diǎn)半到車站的概率」×「班車在7點(diǎn)至7點(diǎn)半到車站的概率」×「在這個(gè)時(shí)間段小王趕不上班車的概率」
=1/2×1/2×1/2
=1/8

即「小王趕上班車的概率」=1-1/8=7/8，D選項(xiàng)正確。

總結(jié)：

「概率」的出題方式千變?nèi)f化，從強(qiáng)化武器能否用「墊子」，到「主持人換門」后能否選到汽車，再到「小王整體的遲到概率」，看上去讓人目不暇接，但其核心始終沒變，無非就是「擲硬幣」和「擲骰子」。

由于「概率」題可以很容易出得「反直覺」，所以近年來的「數(shù)量關(guān)系」板塊基本上每套都有那么一兩道和「概率」有關(guān)的超級難題，甚至還有很多低于25%的——也就是說，如果考生感覺某道求概率的題特別難，那隨便蒙個(gè)選項(xiàng)，可能就比浪費(fèi)大量時(shí)間來解題的其他考生正確率更高……

從這道正確率只有9%的題目可以看出，難題不一定計(jì)算量大——只要解題思路找不到，再簡單的條件也做不對。而通過這道題我們也可以看出，「簡化模型」是多么重要。

回過頭來看，這道題簡化后的模型無非就是「3次擲硬幣」，即小王、班車都盡量往「小王遲到」的可能性去靠，三次都擲出「遲到面」才符合要求。

第一次擲硬幣：小王的「遲到區(qū)間」

小王前半小時(shí)到站，必不遲到；后半小時(shí)到站，可能遲到。所以小王位于「遲到區(qū)間」的概率是1/2。

第二次擲硬幣：班車的「遲到區(qū)間」

同理，班車后半小時(shí)到站，則小王必不遲到；前半小時(shí)到站，則小王可能遲到。所以班車位于小王「遲到區(qū)間」的概率是1/2。

第三次擲硬幣：在「遲到區(qū)間」遲到的概率

在「遲到區(qū)間」，小王和班車任何時(shí)候到站的概率都相同。此時(shí)我們無論是根據(jù)「小王不遲到概率=遲到概率」還是建立簡單模型推理，都可確定小王在「遲到區(qū)間」遲到的概率是1/2。

因此「小王總的遲到概率」就相當(dāng)于三次擲硬幣都擲出了「讓小王遲到」這一面，即1/2×1/2×1/2=1/8，因此「不遲到」的概率就是1-1/8=7/8了。