我又回來了！

TP A.4 給出了任意切角速度和旋轉(zhuǎn)母球在撞擊后運(yùn)動軌跡，也是我認(rèn)為所有證明中比較重要的一部分。TP A.4 證明了帶有旋轉(zhuǎn)的母球的運(yùn)動形式（拋物線+直線，雖然在國內(nèi)的理解一般說成弧線），是后面Dr.Dave的30度角法則的基礎(chǔ)。TP A.4也說明了一個問題，就是某些時候我們需要低桿小力擊打才能快速的讓母球表現(xiàn)出低桿的效果（見本文后半部分內(nèi)容）。

順便安利一個公式識別工具 Mathpix。

TP A.4 Post-impact cue ball trajectory for any cut angle, speed, and spin

任意切角，速度和旋轉(zhuǎn)母球撞擊后運(yùn)動軌跡

原文鏈接：?https://billiards.colostate.edu/technical_proofs/new/TP_A-4.pdf

母球（撞擊后）的平動方程為：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(1)

其中，?是按曲線軌跡運(yùn)動期間臺尼和母球間的摩擦力，是母球球心的速度；

母球（撞擊后）的轉(zhuǎn)動方程為：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)

其中，是是圍繞母球球心的摩擦力力矩；是母球的角速度；

母球和臺尼的接觸點(diǎn)（記為C）的速度為：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??(3)

注意，z軸自旋（，由加塞產(chǎn)生）對接觸點(diǎn)速度沒有影響，因此不會影響接下來的分析。

關(guān)于滾動和后面的無滑滾動，可以參考這篇文章https://zhuanlan.zhihu.com/p/503560876

摩擦力（）與滑動相反，方向與相對滑移速度方向相反：

? ? ? ? ? ? ? ? ?(4)

摩擦力矩可以表示為：

? ? ? ? ? ? ? ? ?(5)

取式（3）左側(cè)的時間導(dǎo)數(shù)，將線加速度和角加速度聯(lián)系起來：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

將式（4）帶入式（1），可以得到母球的（線）加速度：

? ? ? ? ? ? ?(7)

將式（5）帶入式（2），可以得到母球的角加速度：

? ? ? ?（8）

因此，式（6） 的最后一項可以寫成：

? ? ? ? ? ? ? ? (9)

將 式（7）式（9）帶入式（6），有：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （10）

根據(jù)式（10）， 有如下推論：

相對速度矢量以及相應(yīng)的摩擦力矢量（見式4），不會改變方向?。。∠鄬瑒铀俣冉档偷?后保持為0（即母球在某一點(diǎn)開始滾動而不滑動，并繼續(xù)沿直線（無滑）滾動。此外，根據(jù)式（4）和（7），摩擦力矢量和母球加速度是恒定的（在大小和方向上）。因此，母球軌跡是拋物線形的，就像任何恒加速度運(yùn)動一樣（例如，拋射運(yùn)動）。

由式（10），易知相對速率按下式變化：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(11)

因此，相對速率可由下式計算：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (12)

其中，?是初始相對速率（即母球撞擊的瞬間）。至此，不同時刻的相對速度矢量已知：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(13)

如果指定了初始母球線速度和角速度（母球撞擊的瞬間），則式（3）可表示為：

(14)

初始相對速度大?。此俾剩椋?/p>

? ? ? （15）

初始相對速度的方向（保持不變）為：

? ?（16）

將式（16）帶入式（7），母球加速度為：

? ?（17）

上式的解為：

? ? ? ??（18）

該式只適用于母球滑動時。當(dāng)滑動停止時，母球沿著與該點(diǎn)軌跡相切的直線移動。母球從滑動到（滑動）消失的耗時可由式（12）求得：

? ? ?（19）

因此，母球路徑僅在以下時間內(nèi)為曲線（從母球撞擊的瞬間記）

? ? ?（20）

母球路徑的最終偏轉(zhuǎn)角度可由式（20）給出的時刻對應(yīng)的軌跡斜率計算。根據(jù)式（16）和（18），利用式（20），母球速度的最終分量為：

（21）

以及

（22）

因此，母球角度的最終偏轉(zhuǎn)為：

? ? （23）

最終球速度（式21和22）也可由向量形式表示：

? ? ?(24)

其中是撞擊后的初始速度，是初始角速度。有趣的是，最終速度并不取決于摩擦力。最終速度的5/7（71.4%）來自切線方向上的初始速度矢量（），2/7（28.6%）來自初始自旋速度矢量（）。向量是從靜止點(diǎn)一直向上到球的中心（即，將其與上面的向量聯(lián)系起來）。

對式（18）進(jìn)行積分，可以求得母球軌跡的x和y坐標(biāo)：

? ? ?（25）

? ? ? ? （26）

易見，母球軌跡是一條拋物線（也可參見式10后面的論述）。式（25）和（26）僅適用于式（20）給出的時間段內(nèi)。

給定y方向上的初始母球速率（），并忽略母球和目標(biāo)球之間的摩擦（僅在本proof中），撞擊后母球速度和速度分量為（更多細(xì)節(jié)請參見下圖和TP 3.1）：

? ? ? （27）

? ? ? （28）

? ? ? ?（29）

如果我們假設(shè)母球沒有y軸旋轉(zhuǎn)（即，這意味著這次擊球只有前旋，無旋和后旋三種可能的狀態(tài)），則式（15）（利用式28和29）簡化為：

? ? ?（30）

其中是母球繞x軸的初始旋轉(zhuǎn)。根據(jù)式（14），

? ? ? （31）

? ? ? ?（32）

根據(jù)式（23），

? ? ?（33）

將式（28）到（32）帶入式（25）和（26），母球軌跡變?yōu)椋?/p>

? ?（34）

? ? （35）

從式（20）和（30）可知，式（34）和（35）只適用于從0時刻到如下時刻

? ? ? （36）

如果母球在物體球碰撞時滾動而不滑動（即碰撞前就進(jìn)入了無滑滾動狀態(tài)），則：

? （37）

那么式（33）簡化為：

? ? ? （38）

這與1987年Wallace和Schroeder論文的著名結(jié)果一致，該論文是30度角法則的基礎(chǔ)（見TP 3.3）。

同樣，對于滾動母球，式（24）（利用式27和37）變?yōu)椋?/p>

? ? ? ? （39）

其中是切線方向，是滾動母球的初始方向（即瞄準(zhǔn)線）。下圖為該結(jié)論和相似三角形的一個應(yīng)用。最終的（母）球方向是切線和瞄準(zhǔn)線之間距離的2/7，需垂直于切線（即平行于撞擊線）測量。對于任何切度和速度的滾動母球來說，這個結(jié)果都是正確的。

在鮑勃·杰維特2008年7月的《臺球文摘》文章中，他展示了如何使用球桿來幫助預(yù)測滾動母球擊球的最終母球方向。如果你將球桿（長度為“”）垂直于切線（即平行于沖擊線），球桿的一端在瞄準(zhǔn)線上，另一端在切線上，那么母球的最終方向?qū)⒃诰嚯x切線沿球桿的2/7點(diǎn)處（處）。

現(xiàn)在，盡管擊球速度不會影響母球的最終方向，但它確實會影響通往最終方向的路徑，因此在預(yù)測母球的行進(jìn)方向時也需要考慮到這一點(diǎn)（參見下文和Dr.Dave在2005年6月的《臺球文摘》文章）

（我沒怎么打過九球，但是Dr.Dave的視頻和證明中看到了很多關(guān)于自然滾動狀態(tài)下母球運(yùn)動路徑的判斷方法，常打九球的朋友可以告知，是否九球中常常用到推桿）

現(xiàn)在我們來看看各種類型擊球的運(yùn)動軌跡。式（34）和（35）描述了前旋、斯登和后旋擊球的通用軌跡，僅在式（36）給出的時間內(nèi)適用。以下是方程中使用的參數(shù)以及MathCAD形式的結(jié)果：

下面是Dr.Dave給出的不同擊球方式母球撞球后的運(yùn)動軌跡

注：所有參數(shù)均以公制（SI）當(dāng)量值表示，用于無量綱分析。

球的屬性：

母球和臺尼之間的摩擦系數(shù)：

，?幾個參考文獻(xiàn)的近似值（也有我自己的實驗支持）

重力：

母球開始滾動（停止滑動）所需的時間：

，式（36）

母球開始延直線滾動時的速度分量：

， 式（21）和（28）

， 式（22）和（29）

母球的最終偏轉(zhuǎn)角度：

，式（23），（28）和（29）

曲線運(yùn)動時母球的x位置：

，式（34）

曲線運(yùn)動及后續(xù)的母球的x位置：

曲線運(yùn)動時母球的y位置：

，式35

曲線運(yùn)動及后續(xù)的母球的y位置：

下圖中使用的參數(shù)：

, 模擬時長

, 繪圖間隔

， 對應(yīng)了1/2 球的切角

，?轉(zhuǎn)換為m/s的平均速度（單位：mph）

， 滾動（轉(zhuǎn)動）速度

， 母球偏轉(zhuǎn)角度

切線方程式：

球的方程式（按比例）

帶自然滾動的不同前旋擊球：

從慢速到非?？焖俚牟煌俣龋ㄒ杂⒗?小時為單位，轉(zhuǎn)換為m/s）：

帶反向滾動（相對于自然滾動）的各種后旋擊球：

各種較慢速度的自然滾動前旋擊球：