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數(shù)學(xué)物理方法公式（12）：Generalized Laguerre Polynomial

2023-03-22 21:18 作者:打電動(dòng)的阿偉嘻嘻嘻 0人讀過(guò) | 我要投稿

考慮Laplace方程在球坐標(biāo)系下的徑向解：我們通過(guò)薛定諤方程展開(kāi)

$%5Cfrac%7B1%7D%7BR%7D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdr%7D(r%5E2%5Cfrac%7BdR%7D%7Bdr%7D)%2B%5C%7B%5Cfrac%7B2%5Cmu%20r%5E2%7D%7B%5Chbar%5E2%7D%5BE-V(r)%5D%5C%7D%3Dl(l%2B1)%2Cn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%5E%7B%2B%7D%7D%2Cl%3D0%2C1%2C2%2C%5Ccdots%2Cn-1%3BE%3E0.$

取以下形式 $a%3D%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%7D%7B%5Cmu%20e%5E2%7D%2C%5C%20V(r)%3D-%5Cfrac%7BZe%5E2%7D%7Br%7D.$

其解為

$R_%7Bnl%7D(r)%3D%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7B2Z%7D%7Ban%7D)%5E3%5Cfrac%7B(n-l-1)!%7D%7B2n(n%2Bl)!%7D%7De%5E%7B-%5Cfrac%7BZ%7D%7Ban%7Dr%7D(%5Cfrac%7B2Z%7D%7Ban%7Dr)%5E%7Bl%7DL%5E%7B2l%2B1%7D_%7Bn-l-1%7D(%5Cfrac%7B2Z%7D%7Ban%7Dr)%2C$

其中 $L%5Em_n(x)%3D%5Csum%5En_%7Bk%3D0%7D(-1)%5Ek%5Cfrac%7B(m%2Bn)!%7D%7Bk!(n-k)!(m%2Bk)!%7Dx%5Ek$ 稱(chēng)為m階n度 Generalized Laguerre Polynomial.? ?徑向解的前幾項(xiàng)為