隔板法基礎入門

隔板法是高中排列組合必會方法之一，它用于解決相同元素的分配問題，實用性很強。我們來看一個很有生活氣息的問題，現在有10瓶礦泉水，讓3個同學幫忙帶去學校操場，每個人都不能閑著，請問有幾種分配方式。

怎么樣？生活中是不是經常會接觸這種問題，比如工作任務的分配，各種名額的分配等，使用隔板法可以快速地解決分組方案數問題。

將10瓶水分成3組，可以在瓶子內部的9個空位之間隨機插入2個隔板，比如A|AA|AAAAAAA，其中A表示第一組，AA表示第二組，AAAAAAA表示第三組。這樣的隔板組合方式有C(10-1, 3-1) = C(9,2) 種。

總結一下隔板法的基礎題型和結論，將n個相同小球放入m個不同盒子,盒子不空，則在n-1個空位中插入m-1個隔板即可。

運用上面的結論，最基礎的題型就被搞定了，接下來讓我們一起快樂探究不同的情境，如果改變“盒子不空”的條件，應該怎么去處理。

理解進階：不定方程的正整數解

上面我們說了10個瓶子分到三個盒子的問題，來對比下面這個方程，

我們把“10”看成“10個整數1”，那么解這個方程的過程就是“把10個1分到三組“，因為正整數解，每個x大于等于1，所以相當于是盒子不空的隔板法問題。

因此，相同元素的分配問題可以理解為”不定方程的正整數解“，它們具有相同的結論。那么這種理解方式的好處是什么呢？

假設我們更改了條件，把“盒子不空”改為“盒子可以為空”，對于方程來說，僅僅是改變了“x的取值范圍”，“x大于等于1”改變?yōu)椤皒大于等于0”。

我們只需把x范圍更改為原來條件的“大于等于1”，就把問題處理成最開始的題型。所以對每個x進行加1的操作，如下

這就是“13個球分3組”的隔板法，直接使用結論C(12, 2)計算即可。所以方程的形式在處理不同條件時候，更加靈活快捷，也不需記住太多結論，條件的改變僅僅是對“x”范圍的改變，我們改回去即可。

題型變化：“閃電五連鞭”

1，9個相同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少一個小球，不同的方法有多少種。

2，9個相同的小球放入3個不同的盒子，有的盒子可以不放小球，不同的方法有多少種。

3，9個相同的小球放入編號為1，2，3的盒子，每個盒子的小球數不少于編號數，不同的方法有多少種。

4，9個相同的小球放入編號為1，2，3的盒子，恰有一個盒子為空，不同的方法有多少種。

5，9個相同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少一個小球，且每個盒子里的小球個數都不相同，不同的方法有多少種。