? ? ? ? 凡是學(xué)數(shù)學(xué)者,無不對函數(shù)概念印象深刻,記憶猶新.皆因函數(shù)乃數(shù)學(xué)之基石,它自始至終引領(lǐng)數(shù)學(xué)之潮流.

? ? ? ?欲知函數(shù)為何物?必先知其來自何方圣地?縱觀上下五千年,方圓數(shù)萬里,一切皆在運動變化之中,而現(xiàn)實世界中的許多運動變化現(xiàn)象都表現(xiàn)出變量之間的依賴關(guān)系.數(shù)學(xué)上,我們用函數(shù)模型描述這種依賴關(guān)系,并通過研究函數(shù)的性質(zhì)了解他們的變化規(guī)律.可見,函數(shù)不過是我們認識世界改造世界之一種數(shù)學(xué)工具.

? ? ? ?于是在初中數(shù)學(xué)中,就有了傳統(tǒng)意義的函數(shù)定義:

? ? ? ?在某一個運動變化的過程中有兩個變量x,y,對于x在某個范圍內(nèi)的每一個值,按照某種對應(yīng)法則f,變量y都有唯一確定的值和它對應(yīng),這時就說y是x的函數(shù),記為y=f(x),其中x叫做自變量,x的取值范圍就是定義域,對應(yīng)的y的值叫函數(shù)值,函數(shù)值的取值范圍就是值域.顯然,這里的函數(shù)定義來自于初中物理的運動學(xué)內(nèi)容,其實數(shù)學(xué)就是在科學(xué)尤其是物理學(xué)發(fā)展的過程中逐漸產(chǎn)生并壯大起來的,為了丈量土地,產(chǎn)生了平面幾何;在研究天文學(xué)的過程中產(chǎn)生了三角與圓錐曲線；在研究不規(guī)則圖形的面積問題中產(chǎn)生了微積分；而函數(shù)顯然就是研究運動變化的規(guī)律中出現(xiàn)的，因而它的概念有明顯的物理背景。

? ? ? ?但在現(xiàn)實中，函數(shù)本身的概念常常被遺忘，一提到函數(shù)，我們立刻會聯(lián)想到正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)，我想這大概是先入為主的緣故吧！因為認識事物，往往第一印象是很關(guān)鍵的，可對函數(shù)概念這樣的理解，就只能算是初級境界了，畢竟在諸多函數(shù)中，上述幾類具體函數(shù)只不過是特例而已，更多的函數(shù)并不見得能歸入這些類型，何況，能寫出表達式的函數(shù)也是很有限的。高中一年級的學(xué)生，基本是停留在這個境界的，有些甚至還達不到這樣的要求，他的印象中只有函數(shù)、正比例、反比例、一次、二次這樣的名稱，要進一步問他具體內(nèi)容，就只能搖頭說不明白了。

? ? ???從高中進校開始，我們接觸到了集合的概念，包括集合間的包含關(guān)系，運算關(guān)系等，許多同學(xué)不明白為什么要學(xué)習(xí)集合，等到函數(shù)定義出來時才知道，原來現(xiàn)在的函數(shù)定義是建立在兩個非空數(shù)集上的一種對應(yīng)，包括一對一、多對一兩種情形。由原來運動變化基礎(chǔ)上的定義到如今建立在兩個集合對應(yīng)之上的定義，這是一種視角的改變，也是一種觀念的更新，這個所謂“近代定義”中有幾點需要注意：

? ? ? ? 一是必須是兩個非空的數(shù)集A和B，而不是其他的集合；

? ? ? ? 二是對A中的任意一個元素x,在對應(yīng)關(guān)系f的作用之下，在B中必有一個元素f(x)與它對應(yīng)；

? ? ? ? 三是f:A→B中A、B是有順序的，有主次之分的；

? ? ? ? 四是明白A是所有x的集合，叫做函數(shù)的定義域，所有對應(yīng)元素f(x)的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域，特別要清楚，一般情況下值域{f(x)|x∈A}是集合B的子集，言下之意B中可以有元素不是A中元素的對應(yīng)元素。

? ? ? ? 對于函數(shù)概念一定要把握其三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域，還要堅持一個原則：定義域優(yōu)先。

? ? ? ?對集合觀點下的函數(shù)定義如果能抓住這樣幾點，就說對函數(shù)概念的理解又上升了一個層次，達到了更高的境界。

? ? ? ? 然而我們更重要的是應(yīng)該明白：函數(shù)雖然有解析法、列表法和圖象法等常用的方法來表示，但函數(shù)不光是像正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等這樣既能夠用解析法來表示，又能夠用列表法和圖象法來表示的，還有許多的函數(shù)關(guān)系只能用圖象表示，如現(xiàn)在證券公司的大屏幕上顯示的“股價走勢圖”，或者只能用列表的辦法來表示的，如年份與國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）的對應(yīng)關(guān)系，而且還有的函數(shù)需要在不同的范圍內(nèi)用不同的解析式來表示，就稱為“分段函數(shù)”，如出租車的收費與行駛路程的函數(shù)關(guān)系，郵寄包裹時的費用與包裹重量的函數(shù)關(guān)系等。學(xué)習(xí)到這里，不僅需要掌握函數(shù)的基本表示方法，還要明確什么樣的函數(shù)用什么樣的方法表示是適當(dāng)?shù)模獙W(xué)會在具體問題中選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉肀硎竞瘮?shù)關(guān)系，另外還要掌握常見函數(shù)的三種表示方法之間的相互轉(zhuǎn)化，尤其是提高學(xué)生的讀圖能力，使之能充分利用函數(shù)圖像提供的信息，解決相關(guān)問題，強化數(shù)形結(jié)合意識。

???? ? 既然函數(shù)是描述事物運動變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，那么了解了函數(shù)的變化規(guī)律，也就基本把握了相應(yīng)事物的變化規(guī)律。因此研究函數(shù)的性質(zhì)，如函數(shù)在什么時候遞增或遞減，有沒有最大值或最小值，函數(shù)圖象圖有什么特征等，是非常重要和必要的。這里就涉及函數(shù)的單調(diào)性與最值，函數(shù)的奇偶性等。

? ? ? ?要從數(shù)量與圖形兩個方面對函數(shù)的單調(diào)性有所把握，即要學(xué)會利用定義判斷一個函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性，掌握其步驟：取給定區(qū)間內(nèi)兩個自變量的值x1,x2,設(shè)x1<x2,進而比較對應(yīng)的函數(shù)值f(x1)與f(x2)的大小，一般用作差法來比較，就是看f(x1)-f(x2)的結(jié)果是大于0還是小于0，然后再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義作出結(jié)論。這個過程可以簡單地記為：取值－作差－判號－結(jié)論。還要注意觀察函數(shù)的圖象特征：從左向右函數(shù)圖象是上升的還是下降的。

(2007-10-31 09:30:57)