牛頓366、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

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2019-05-12 22:00:31?，網(wǎng)友“jyr9424”上傳名為《導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則》的文檔。

…導(dǎo)、數(shù)、導(dǎo)數(shù)：見(jiàn)《牛頓288~294》…

…運(yùn)、算、運(yùn)算：見(jiàn)《歐幾里得121》…

（…《歐幾里得》：小說(shuō)名…）

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…法、則、法則：見(jiàn)《歐幾里得108》…

文檔內(nèi)容：

…內(nèi)、容、內(nèi)容：見(jiàn)《歐幾里得66》…

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一、函數(shù)和（或差）的求導(dǎo)法則

…函、數(shù)、函數(shù)：見(jiàn)《歐幾里得52》…

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設(shè)f（x），g（x）是可導(dǎo)的，則[f（x）±g（x）]’=f’（x）±g’（x）。

…可導(dǎo)：若f（x）在x0處連續(xù)，則當(dāng)a趨向于0時(shí)，[f（x0+a）-f（x0）]/a存在極限，則稱f（x）在x0處可導(dǎo)…見(jiàn)《牛頓360》…

即：兩個(gè)函數(shù)的和（或差）的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和（或差）。

也可寫為（f±g）’=f’±g’

有的書上寫作（u±v）’=u’±v’

證明：

…證、明、證明：見(jiàn)《歐幾里得6》…

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令y=f（x）+g（x）

則△y=y（x+△x）-y（x）

?????=f（x+△x）+g（x+△x）-[f（x）+g（x）]

?????=[f（x+△x）-f（x）]+[g（x+△x）-g（x）]

?????=△f+△g

兩邊同時(shí)比上△x，得△y/△x=△f/△x+△g/△x

…△：讀音是“德爾塔”。音標(biāo)為/delt?/。

在物理學(xué)中，△常常作為變量的前綴使用，表示該變量的變化量，如：△t（時(shí)間變化量）、△T（溫度變化量）、△X（位移變化量）、△v（速度變化量）等等…見(jiàn)《牛頓8》…

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∵??lim（△x→0）△y/△x=lim（△x→0）（△f/△x+△g/△x）

?????????????????????= lim（△x→0）△f/△x+ lim（△x→0）△g/△x

[極限運(yùn)算法則：lim[ f（x）±g（x）]=lim f（x）±lim g（x）

證明見(jiàn)《牛頓317》。]

…lim：limit…

[…limit（英文）：n.限度；限制；極限；限量；限額；（地區(qū)或地方的）境界，界限，范圍。

v.限制；限定；限量；減量…]

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∴??y’=[f（x）+g（x）]’=f’（x）+g’（x）

簡(jiǎn)記為：y’=（f+g）’=f’+g’

同理可證y’=（f-g）’=f’-g’

這個(gè)法則可以推廣到任意有限個(gè)函數(shù)，即（f1±f2±…±fn）’=f1’±f2’±…±fn’

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二、函數(shù)積的求導(dǎo)法則

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設(shè)f（x），g（x）是可導(dǎo)的函數(shù)，則[f（x）g（x）]’=f’（x）g（x）+f（x）g’（x）

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兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)，加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

即（uv）’=u’v+uv’

證：

令y=f（x）=u（x）v（x）

則△y=y（x+△x）-y（x）

?????=u（x+△x）v（x+△x）-u（x）v（x）

?????=u（x+△x）v（x+△x）-u（x）v（x+△x）+u（x）v（x+△x）-u（x）v（x）

[“即在u（x+△x）v（x+△x）-u（x）v（x）中間添個(gè)‘-u（x）v（x+△x）+u（x）v（x+△x）’?！爆F(xiàn)代學(xué)者說(shuō)。]

?????=[u（x+△x）-u（x）]v（x+△x）+u（x）[v（x+△x）-v（x）]

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兩邊同時(shí)比上△x，得

△y/△x={[u（x+△x）-u（x）]/△x}·v（x+△x）+u（x）·[v（x+△x）-v（x）]/△x

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因?yàn)関（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，所以它在點(diǎn)x處連續(xù)，于是當(dāng)△x→0時(shí)，v（x+△x）→v（x）。

…連、續(xù)、連續(xù)：見(jiàn)《歐幾里得44》…

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從而：

lim（△x→0）△y/△x=lim（△x→0）{[u（x+△x）-u（x）]/△x}·v（x+△x）

+lim（△x→0）u（x）·[v（x+△x）-v（x）]/△x

???????????????????=u’（x）v（x）+u（x）v’（x）

推論：常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：

（Cu）’=Cu’+C’u=Cu’+0=Cu’

（常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是0。

證明見(jiàn)《牛頓333》。）

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三、函數(shù)的商的求導(dǎo)法則

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設(shè)f（x），g（x）是可導(dǎo)的函數(shù)，g（x）≠0，兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方。

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即

[f（x）/g（x）]’=[f’（x）g（x）-f（x）g’（x）]/g^2（x）

…^：乘方…

…g^2（x）：g（x）的平方…

四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：

{f[g（x）]}’=g’（x）f’（t），t=g（x）最后代入。

“拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，同時(shí)也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一階展開）。

請(qǐng)看下集《牛頓367、羅爾中值定理》”

若不知曉歷史，便看不清未來(lái)

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