上一篇文章( MIMO初步 (一) ) 介紹了 MIMO 系統(tǒng)中如何求解信道的系數(shù)矩陣，當(dāng)然，那是非常理想的情況，沒(méi)有考慮噪聲。但是，即使是非常理想的情況，也應(yīng)該對(duì)我們理解 MIMO 系統(tǒng)是很有幫助的，而且，我是盡可能地寫得淺顯易懂。

這篇文章是接著上篇文章的，在知道了信道的系數(shù)矩陣后，根據(jù)接收到的數(shù)據(jù)，如何估計(jì)出發(fā)送的數(shù)據(jù)？這也是通信的最終目的，我們就是要從發(fā)送方把信息傳給接收方，對(duì)于接收方來(lái)講，就是想知道發(fā)送方到底發(fā)送了什么東西。 我們也分多種情況來(lái)分析。

這篇文章還是基于最基本的方程組的概念，基于矩陣乘法和逆矩陣的基本知識(shí)來(lái)展開的，希望以最低的門檻來(lái)介紹相關(guān)的知識(shí)。



如果估計(jì)發(fā)送的數(shù)據(jù)

我們假定已知了信道的系數(shù)，當(dāng)然，接收到的數(shù)據(jù)也是已知的，現(xiàn)在要求解的是發(fā)送方發(fā)送的數(shù)據(jù)，我們分四種情況來(lái)討論。

一發(fā)兩收

已知接收到的數(shù)據(jù)是? y1 和 y2，信道的參數(shù)為：

從發(fā)射天線 1 到接收天線 1 的信道系數(shù)為 w11

從發(fā)射天線 1 到接收天線 2 的信道系數(shù)為 w12.

則發(fā)送方的數(shù)據(jù)是 x，是未知數(shù)，此時(shí)可以列出來(lái)兩個(gè)方程：

可以看到，兩個(gè)方程，一個(gè)未知數(shù)，理論上，如果沒(méi)有任何噪聲干擾，信道的系數(shù)也是正確的，那兩個(gè)方程應(yīng)該得到相同的解 x，這是理想情況。不理想的情況，這兩個(gè)方程的解是不一樣的，此時(shí)，要根據(jù)某些原則來(lái)選擇一個(gè)最好的，也可以把兩個(gè)解按照某種比例混一下得到一個(gè)結(jié)果，至于如何選擇，不是本文想探討的話題。

(擴(kuò)展：這種情況就是? 接收分集? Receiving Diversity)

兩發(fā)一收

已知接收到的數(shù)據(jù)是? y1，信道的參數(shù)為：

從發(fā)射天線 1 到接收天線 1 的信道系數(shù)為 w11

從發(fā)射天線 2 到接收天線 1 的信道系數(shù)為 w21.

則發(fā)送方的數(shù)據(jù)是 x1，x2，是未知數(shù)，此時(shí)可以列出來(lái)一個(gè)方程：

容易知道，有兩個(gè)未知數(shù) x1 和 x2，但是只有一個(gè)方程，不能確定一個(gè)唯一解，還需要另外一個(gè)方程。所以，這種情況下，發(fā)送方要把 x1 和 x2 重新發(fā)送一下，產(chǎn)生一個(gè)新的不同的方程，注意，這里要強(qiáng)調(diào)是不同的方程，因此，可以在天線 1 上發(fā)送 -x2(前面是一個(gè)負(fù)號(hào)，即負(fù)的 x2)，在天線 2 上發(fā)送 x1 ( 上一時(shí)刻，天線 1 上發(fā)的是 x1，天線 2 上發(fā)的是 x2)，此時(shí)接收天線上收到的信號(hào)記為 y2，則可以累出一個(gè)新的方程：

調(diào)整一下方程中未知量的位置，變?yōu)椋?br>

此時(shí)，我們就有兩個(gè)方程了，聯(lián)立在一起：
寫成矩陣形式為：

我們來(lái)討論一下這個(gè)方程組的解的情況，可能無(wú)解，有唯一解，無(wú)窮多個(gè)解。

無(wú)解的情況是 系數(shù)均為 0 ，那意味著 無(wú)線信道完全斷開了，無(wú)法接收有效數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這個(gè)時(shí)候已經(jīng)完全無(wú)法估計(jì)發(fā)送的數(shù)據(jù)了。

無(wú)窮多個(gè)解的情況是 系數(shù)均為 0，且 y1 和 y2 也為 0? ，那意味著 無(wú)線信道完全斷開了，無(wú)法接收有效數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這個(gè)時(shí)候已經(jīng)完全無(wú)法估計(jì)發(fā)送的數(shù)據(jù)了。

只要 兩個(gè)信道系數(shù)不同時(shí)為 0 ，則方程就有唯一解。

則此時(shí)的解可以寫為：

(擴(kuò)展：這種情況就是? 發(fā)射分集? Transmitting Diversity)

(思考：第二個(gè)時(shí)刻點(diǎn)重復(fù)發(fā) x1 和 x2，可以有許多中不同的方式來(lái)發(fā)，例如在第一根天線上發(fā) 0.3 倍的 x1，在第二根天線上發(fā) 0.9 倍的 x2，從解方程的角度看，也是可以確定唯一解的，那這種發(fā)送方法與前面說(shuō)的方法有什么劣勢(shì)或者優(yōu)勢(shì)嗎？有大?？梢粤粞灾更c(diǎn)迷津。)



兩發(fā)三收

設(shè)：

從發(fā)射天線1到接收天線1的系數(shù)為 w11，從發(fā)射天線1到接收天線2的系數(shù)為 w12，從發(fā)射天線1到接收天線3的系數(shù)為 w13

從發(fā)射天線2到接收天線1的系數(shù)為 w21，從發(fā)射天線2到接收天線2的系數(shù)為 w22，從發(fā)射天線2到接收天線3的系數(shù)為 w23.

從兩根天線上發(fā)出的信號(hào)是 x1 和 x2，此時(shí)三根接收天線接收的信號(hào)分別是 y1，y2, y3，那么可以列出來(lái)三個(gè)方程，方程中 x 是未知數(shù)：

可以看到，三個(gè)方程，有兩個(gè)未知數(shù)，這里的情況就比較多，我們這里不按照有解、誤解和無(wú)窮多解來(lái)分析，我們從工程實(shí)際的角度來(lái)分析。

第一種情況，三個(gè)方程中的任意兩個(gè)方程均可以確定唯一解，那么可以確定出三組解，可以從三組解中按照某種準(zhǔn)則選擇最好的，或者按照比例系數(shù)合并成一組解，這有點(diǎn)類似于 一發(fā)兩收的情況。

第二種情況，有某兩個(gè)方程聯(lián)立是不可確定唯一解的，即兩個(gè)方程的左邊的系數(shù)成比例，那么這種情況下，就退化成兩發(fā)兩收的情況來(lái)確定一個(gè)唯一解。例如：

可以看出來(lái)，前兩個(gè)方程，左邊是 2 倍的關(guān)系，所以，無(wú)法確定出來(lái)一組唯一的解。

但是，第一個(gè)方程和第三個(gè)方程可以確定一組唯一解，第二個(gè)方程和第三個(gè)方程也可以確定一組唯一的解。在這兩組解中也可以做一個(gè)選擇或者某種方式的合并。

第三種情況，是三個(gè)放在一起都無(wú)法確定一個(gè)唯一解，即三個(gè)方程左邊的系數(shù)都是成比例的，例如：

此時(shí)，有點(diǎn)類似于 兩發(fā)一收，需要再下一時(shí)刻，再發(fā)一次 x1 和 x2 ( 當(dāng)然，類似于兩發(fā)一收的情況，第二個(gè)時(shí)刻發(fā)的數(shù)據(jù)，要做一個(gè)有規(guī)律的變化)。假如我們?cè)诘谝桓炀€上發(fā) -x2，在第二根天線上發(fā) x1，則有新的三個(gè)方程：

調(diào)整一下未知數(shù)的位置，上面三個(gè)方程可以寫成：


那么，兩個(gè)時(shí)刻會(huì)得到 6 個(gè)方程:

只有兩個(gè)未知數(shù)，則第一時(shí)刻的任何一個(gè)方程（3個(gè)方程中拿出來(lái)一個(gè)）與第二個(gè)時(shí)刻的任何一個(gè)方程聯(lián)立，可以確定一組唯一的解，那么可以確定出 9 組唯一解，此時(shí)，也可以采用某種準(zhǔn)則選擇一個(gè)或者做某種方式的合并，得到一組最終的解。





三發(fā)兩收

設(shè)：

從發(fā)射天線1到接收天線1的系數(shù)為 w11，從發(fā)射天線1到接收天線2的系數(shù)為 w12

從發(fā)射天線2到接收天線1的系數(shù)為 w21，從發(fā)射天線2到接收天線2的系數(shù)為 w22

從發(fā)射天線2到接收天線1的系數(shù)為 w31，從發(fā)射天線2到接收天線2的系數(shù)為 w32

則第一時(shí)刻，從三根天線上發(fā)出的數(shù)據(jù)為 x1,x2 和x3，兩根接收天線上收到的數(shù)據(jù)為 y1, y2, 那么可以列出來(lái)兩個(gè)方程，方程中 x 是未知數(shù)：

可以看到，上面是兩個(gè)方程，三個(gè)未知數(shù)，顯然無(wú)法確定唯一的解。

上面的兩個(gè)方程，如果左邊的系數(shù)是成比例的，則就退化成是三發(fā)一收的情況，可以用類似于兩發(fā)一收的方法來(lái)分析（要把三個(gè)數(shù)據(jù)以不同的組合形式，發(fā)三次）。

如果上面的方程，左邊的系數(shù)不成比例的，那么為了確定一組唯一的解，則至少還需要一個(gè)方程。那么還需要再下個(gè)時(shí)刻發(fā)送一下數(shù)據(jù)，但是，一旦發(fā)送，則會(huì)再產(chǎn)生兩個(gè)方程，那么就變成四個(gè)方程，三個(gè)未知數(shù)了。一個(gè)合理的想法，是在第二個(gè)時(shí)刻發(fā)送的時(shí)候，再僅僅增加一個(gè)未知數(shù) x4，這樣四個(gè)方程四個(gè)未知數(shù)就可能確定唯一的一組解。

?? ?我們?cè)诘诙€(gè)時(shí)刻做如下方式的發(fā)射：第一個(gè)天線發(fā)射? -x2，第二個(gè)天線發(fā)射 x1，第三個(gè)天線發(fā)射新增加的數(shù) x4，則可以列出來(lái)兩個(gè)方程：

調(diào)整一下 x1 和 x2 的位置，上面兩個(gè)方程改寫成：

把四個(gè)方程放到一起來(lái)看一下：

寫成矩陣形式：

則可以求解出發(fā)送的數(shù)據(jù)：

通過(guò)這兩篇文章，在比較理想的情況下，我們?nèi)绾吻蠼庑诺赖南禂?shù)，求解出信道的系數(shù)后，再在后續(xù)的時(shí)間里，假設(shè)信道情況不變，根據(jù)接收到的數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算發(fā)送的數(shù)據(jù)。