梗圖上這個(gè)積分怎么算？

2022-02-07 14:42 作者:湮滅的末影狐 0人讀過(guò) | 我要投稿

前幾天一個(gè)群里聊到這張梗圖

這個(gè)積分還真是挺不容易的。

首先，我們可以嘗試將分母因式分解。首先顯然

$x%5E5%2B1%3D0%5CRightarrow%20x%3D0%2Ce%5E%7B%5Cpm%20i%5Cpi%2F5%7D%2Ce%5E%7B%5Cpm%203i%5Cpi%2F5%7D$

所幸36°和72°的三角函數(shù)都不是超越數(shù)，所以

$x%5E5%2B1%20%3D%20(x%2B1)(x%5E2-%5Cfrac%7B%5Csqrt%205%20%2B1%7D%7B2%7Dx%2B1)(x%5E2%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt%205%20-1%7D%7B2%7Dx%2B1)$

由于我們?cè)瓌t上利用換元積分已經(jīng)解決了以下兩個(gè)積分：

$%5Cint%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20d%20x%7D%7Bx%2Ba%7D%20%3D%20%5Cln%7Cx%2Ba%7C%2BC$

$%5Cint%20%5Cfrac%7Bk%2Bx%7D%7Ba%20x%5E2%2Bb%20x%2Bc%7D%5Cmathrm%20d%20x%20%3D%20%20%5Cfrac1%7B2a%7D%5Cln%20(a%20x%5E2%2Bb%20x%2Bc)-%5Cfrac%7B%20(b-2%20a%20k)%20%5Carctan%5Cleft(%5Cfrac%7B2%20a%20x%2Bb%7D%7B%5Csqrt%7B4%20a%20c-b%5E2%7D%7D%5Cright)%7D%7Ba%5Csqrt%7B4%20a%20c-b%5E2%7D%7D$

所以我們嘗試將被積函數(shù)按下式分解：

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%5Cfrac1%7Bx%5E5%2B1%7D%26%3D%5Cfrac1%7B%20(x%2B1)(x%5E2-%5Cfrac%7B%5Csqrt%205%20%2B1%7D%7B2%7Dx%2B1)(x%5E2%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt%205%20-1%7D%7B2%7Dx%2B1)%7D%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7BA%7D%7Bx%2B1%7D%2B%5Cfrac%7BBx%2BC%7D%7Bx%5E2-%5Cfrac%7B%5Csqrt%205%20%2B1%7D%7B2%7Dx%2B1%7D%2B%5Cfrac%7BDx%2BE%7D%7Bx%5E2%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt%205%20-1%7D%7B2%7Dx%2B1%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D$

其中 ABCDE 都是待定系數(shù)。

由此，

$A(x%5E2-%5Cfrac%7B%5Csqrt%205%20%2B1%7D%7B2%7Dx%2B1)(x%5E2%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt%205%20-1%7D%7B2%7Dx%2B1)%2B(Bx%2BC)(x%2B1)(x%5E2%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt%205%20-1%7D%7B2%7Dx%2B1)%2B(Dx%2BE)(x%2B1)(x%5E2-%5Cfrac%7B%5Csqrt%205%20%2B1%7D%7B2%7Dx%2B1)%3D1$

兩邊都是多項(xiàng)式，比較各項(xiàng)系數(shù)，可以得到關(guān)于ABCDE的線性方程組(懶得打TeX格式了)：

再把ABCDE代回去，然后就能用常見(jiàn)的換元積分公式了。最后得到

所以到這里終于積完了。

原則上，只要被積函數(shù)的分子分母都是多項(xiàng)式，總是可以用這種方法拆開(kāi)來(lái)積，這是因?yàn)槿魏味囗?xiàng)式總可以拆成多項(xiàng)形如? $x%2Ba%2Cx%5E2%2Bbx%2Bc$ ?之積的形式。即使有復(fù)根，因?yàn)閺?fù)根總是兩兩共軛，仍然不影響它們構(gòu)成? $x%5E2%2Bbx%2Bc$ 形式的一項(xiàng)。