（三）SVD分析

對于單一頻率或單色平面波，無論電場還是磁場都可以寫成：

其中，代表初始時刻的或。根據(jù)Faraday’s law，有：

則可以利用FFT變換式（；）結(jié)合線性小擾動理論：

得到：。根據(jù)矢量叉乘的位置關(guān)系，看出波矢和磁場擾動有。

MVA分析利用磁場分量的協(xié)方差矩陣得到特征值和特征向量，同時可以畫出磁場的矢端曲線圖（hodographs），用來表征波動的極化特征。但要注意的是，最小方差分析基于信號頻率極窄、波矢方向基本不隨頻率變化的假設(shè)。

對于波傳播特性的另一種分析是基于多維頻譜分析，不同于早期只用實部的McPherron et al. （1972）和只用虛部的Means （1972），Sanrolik et al. （2003）假設(shè)存在平面波的情況下，結(jié)合復(fù)數(shù)域的多維頻譜矩陣，結(jié)合Ladreiter et al. （1995）提出的奇異值分解（singular value decomposition）方法，提高最小化過程，得出更合理的傳播特性結(jié)果。主要過程：

• 利用磁場信息經(jīng)過譜分析得到多維頻譜結(jié)果；

• 對于特定頻率和時刻，都可以形成Hermitian頻譜矩陣，其中元素;

• 根據(jù)復(fù)數(shù)元素構(gòu)造矩陣滿足（分別代表實部和虛部）：

  

• 對進行奇異值分解得到特征值（）和特征向量;

• 橢率、平面波參量和波矢-背景磁場夾角表達式有:

  ，，。

其中，平面波參量近似為1時才滿足原假設(shè)，若小于1則可考慮其不服從平面波假設(shè)的前提條件。另外，注意區(qū)分橢率表達式和歸一化約化磁螺度（normalized reduced magnetic helicity），其更接近圓偏振度的定義，且無法得到更多的波動性參量。

有別于Sanrolik et al. （2003）基本不考慮噪聲水平的情況，Taubenschuss & Sanrolik （2019）從原理上進行方法改進，包括100%極化的波動、波動噪聲和各向同性的儀器及背景噪聲。滿足：

當(dāng)然，一般情況下，并不是100%偏振的，由圓偏振和線偏振共同組成，基于去除元素值為0的矩陣，其斯托克斯參量（Stocks parameters）可表示為：

總偏振度、線偏振度和圓偏振度分別用、和計算，表達式分別為：

，和。對于圓偏振度的描述，可以看出有正負性，可以用來表征極化方向，正代表右旋，負代表左旋。由此，可以在橢率計算中加入其符號變量，，替代相關(guān)的圓偏振信息。若考慮噪聲，Taubenschuss & Sanrolik （2019）給出以下計算過程：

• 利用磁場信息經(jīng)過譜分析得到多維頻譜結(jié)果；

• 對于特定頻率和時刻，都可以構(gòu)成復(fù)數(shù)頻譜矩陣，元素計算同無噪聲下的;

• 對采用奇異值分解得到特征值及其對應(yīng)的特征向量;

• 對的實部再采用奇異值分解得到特征值及其對應(yīng)的特征向量;

• 橢率、平面波參量和波矢-背景磁場夾角表達式有:

  ，，。

此時，總偏振度。

其中，代表矩陣的跡，由Eliis et al. （2005）經(jīng)八個三維蓋爾曼（Gell-Mann）矩陣替代二維泡利（Pauli）自旋矩陣得到的偏振結(jié)果。此外，還能根據(jù)得到相關(guān)的信噪比（signa to noise ratio，SNR）,滿足：

基本上，事件要挑選盡量高的SNR（不小于10），這樣可以有效避免噪聲淹沒信號，得到的結(jié)果更加可靠。對于實際磁場信號的處理，通常先取一定長度的數(shù)據(jù)得到時間段內(nèi)較為可靠的背景磁場，再進行Magnetic-Field Aligned磁場變換，此變換則可將擾動大致分在平行于背景磁場的壓縮（compressional）擾動和垂直于背景磁場的橫向（transverse）擾動，且背景磁場的單位矢量方向為[0,0,1]。接著，運用小波分析得到多維頻譜結(jié)果。此時，由于在小波分析的過程中，會有主動窗口的選擇效應(yīng)，因此噪聲水平往往會在一定低的水平，此時SNR水平往往顯得突出，得到的平面波參量也更接近于1，符合平面波的前提假設(shè)條件，波動分析的結(jié)果也更加準(zhǔn)確。