此模塊涉及相對專業(yè)的數(shù)理知識，借鑒《analysis Methods for Multi-Spacecraft Data》(1998）一書內(nèi)容，講述deHoffmann-Teller（HT）分析、最小方差分析（minimum variance analysis，MVA）、奇異值分解法（singular value decomposition，SVD）求解波動性質(zhì)三模塊內(nèi)容。

（一）HT分析

通常，對于背景介質(zhì)均一、磁場和速度呈現(xiàn)相干的準靜態(tài)模式（如：阿爾芬波等），就可以找到一個坐標系使得等離子體流沿磁場徑向，此時電場消失，稱作HT坐標系，這種分析方法叫做HT分析（deHoffmann-Teller，1950）。其中，最重要的參量是速度矢量，使得各點的“剩余電場（residual electric field）”基本為0，根據(jù)法拉第定律（Farady’s law）有：

這說明在此坐標系下，磁場不隨時間而改變，即其位形是相對穩(wěn)定的。關(guān)于需要滿足的關(guān)系式也就可以表示為：

這樣，就可以用來“描述”一整段速度和磁場的觀測數(shù)據(jù)。Aggson et al.（1983）使用復(fù)分析的方法求解，而現(xiàn)在常用的是基于非復(fù)分析和最小二乘法得到（Sonnerup et al., 1987; 1990）。給出一段時間內(nèi)有N個觀測樣本數(shù)的的方差和，表達式為：

不難看出，上式也是關(guān)于的函數(shù)，可記為。因此，要使得達到最小值，即通過對每個分量的偏導(dǎo)數(shù)為0得到最優(yōu)解，也就是。當然，也可以表示成：

通過推導(dǎo)，引入每個時刻點的矩陣，其內(nèi)元素的值由下式得到（Khrabrov & Sonnerup, 1998）：

那么，就滿足下式：

所以，容易得到：

同時，給出對應(yīng)的誤差表達式為：

從而，也得到了總體評估矩陣，經(jīng)過推導(dǎo)，其滿足下式：

則關(guān)于和的特征矢量相同，特征值分別為和，表示在上的方差，有：

同時，在單位矢量的投影方差為。如此，假如存在速度差，則關(guān)于的方差可由下式表示：

因此，在特征值所約束的特征向量空間中，可以得到：

與最小值類似的，引入等離子體越場速度，使得其均方差最小，表達式為：

不難看出，此時的就滿足（即用矩陣代替矩陣）：，也就是說。

當然，對于MHD和混雜（hybrid）模擬結(jié)果都顯示在HT坐標系下顯現(xiàn)完美的Walén關(guān)系（Lin et al., 2009）。在實際數(shù)據(jù)處理中，為了避免引入HT坐標系和背景磁場帶來的不確定性，Li et al.（2016）展示了一種用多次帶通濾波的方式來檢驗Walén關(guān)系。近來，源自希爾伯特-黃氏變換（Hilbert-Hung transform，HHT）（Huang et al., 1998）方法，Liu et al.（2020）基于總體平均經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸猓╡nsemble empirical mode decomposition，EEMD）的方法，認為隨時間而發(fā)生相應(yīng)改變。另外，Yang et al.（2019; 2020）基于觀測樣本，以均值來替代得到，即表達式為：

但要注意此種情況下，不一定是最小二乘的結(jié)果，此式被稱為定速度下的波場（wave frame with constant velocity，WFCV）。如果考慮速度不是定常值，則可加入滑動平均（也可用濾波代替）而引出變速度下的波場（wave frame with varying velocity，WFFV）。