整理史濟懷老師視頻課中關于常微分方程的內(nèi)容，然后聊“無差異曲線”的形狀。

part 1 史濟懷老師視頻課微分方程部分

&2.一階微分方程

一階微分方程——形如F（x，y，y'）=0的關系式——y為未知函數(shù)，x為自變量，含有y的一階導數(shù)的方程。

&2.3一階線性方程

先把之前聊過的內(nèi)容復習一下——

線性方程——顧名思義，就是里面每一個含未知量x的項都是一次的。

原因在于，F(xiàn)（x）=ax+b=a1x1+a2x2+……+anxn+b，所生成的圖像是一條直線，顧名思義，線性函數(shù)，于是形如0=ax+b就是線性方程了，這也是為什么，在常微分方程課程中，線性代數(shù)的內(nèi)容依然很重要的原因。

非線性方程，往往可以采取局部分析的方法，轉(zhuǎn)化為線性方程，所以線性方程可以說是微分方程的基礎內(nèi)容。

依然按照從簡單到復雜的順序，最簡單的線性方程是一階線性微分方程，所以我們就從這種類型開始了。

一階線性微分方程——即只含有一階導數(shù)的線性微分方程，形如dy/dx+P（x）y=Q（x）的微分方程?！浑A線性微分方程又分為兩種——

齊次方程——Q（x）恒為0；

非齊次方程——Q（x）不恒為0。

上次聊了一階齊次線性方程的通解和特解的導出，這次來聊例子。

例子——解方程dy/dx-y/x=-1

分析：對比一階線性微分方程的形式，找出P（x）、Q（x），在這里，P（x）=-1/x，Q（x）=-1。

解（常數(shù)變易法）：

a.先找出該方程對應齊次方程dy/dx-y/x=0的通解——

套公式：y=Ce^（-∫?P（x）dx）=Ce^[-∫?（-1/x）dx]=Ce^[∫?（1/x）dx]=Ce^（ln|x|）=C|x|=Cx

注：因為C為任意常數(shù)，故而絕對值符號可去。

b.找出該方程的一個特解——

1. 設特解y=u（x）e^（-∫?P（x）dx）=u（x）x——其中u（x）為關于x的未知待定函數(shù)；

2. 由1，dy/dx=d[u（x）x]/dx=u'（x）x+u（x）；

3. 將1，2代入原方程得：dy/dx-y/x=u'（x）x+u（x）-u（x）x/x=u'（x）x=-1；

4. 由3，u'（x）=-1/x，則u（x）=-ln|x|+C'——其中C'為任意常數(shù)，為了方便，我們?nèi)'=0；

5. 綜上求出該方程一個特解y=-xln|x|。

c.將a中的通解與b中的特解相加即為該方程的通解——

解得y=xln|x|+Cx——其中C為任意常數(shù)。

例子——解方程dy/dx=y/（2y^2+y-x）

分析——

1. 先將該方程化成一階線性方程的形式，dx/dy=2y+1-x/y，即dx/dy+x/y=2y+1——如果把x當做自變量，方程形式較復雜，把y當做自變量會更容易處理，啟示是遇到分母較復雜而分子較簡單的形式，不如分析其倒數(shù)更方便；

2. 找出P（y）、Q（y），在這里，P（y）=1/y，Q（y）=2y+1。

解（常數(shù)變易法）：

a.先找出該方程對應齊次方程dx/dy+x/y=0的通解——

套公式：x=Ce^（-∫?P（y）dy）=Ce^[-∫?（1/y）dy=Ce^（-ln|y|）=C|1/y|=C/y

注：因為C為任意常數(shù)，故而絕對值符號可去。

b.找出該方程的一個特解——

1. 設特解x=u（y）e^（-∫?P（y）dy）=u（y）/y——其中u（y）為關于y的未知待定函數(shù)；

2. 由1，dx/dy=d[u（y）/y]/dy=[u'（y）y-u（y）]/y^2；

3. 將1，2代入原方程得：dx/dy+x/y=[u'（y）y-u（y）]/y^2+u（y）/y^2=u'（y）/y=2y+1；

4. 由3，u'（y）=2y^2+y，則u（y）=2y^3/3+y^2/2+C'——其中C'為任意常數(shù)，為了方便，我們?nèi)'=0；

5. 綜上求出該方程一個特解x=（2y^3/3+y^2/2）/y=2y^2/3+y/2。

c.將a中的通解與b中的特解相加即為該方程的通解——

解得x=2y^2/3+y/2+C/y——其中C為任意常數(shù)。

下次聊伯努利方程。

part 2?經(jīng)濟學概念——高鴻業(yè)

高鴻業(yè)《西方經(jīng)濟學》第三章：效用論——

引入了效用的概念——

效用——效用是指對商品滿足人的欲望的能力評價，或者說，效用是指消費者在消費商品時，所感受到的滿意程度?！环N主觀心理評價。

效用的度量——

1. 基數(shù)效用論：邊際效用分析方法——“效用單位”：表示效用大小的計量單位。

2. 序數(shù)效用論：無差異曲線分析方法——效用不可以具體度量，只能排序。

無差異曲線——

意義：在維持效用水平不變的前提下一種商品對另一種商品的替代程度；

一般形狀：由邊際替代率遞減規(guī)律決定的無差異曲線是凸向原點的，這是無差異曲線的一般性狀。

特殊形狀——

a.完全替代品的情況

1. 含義：完全替代品指兩種商品之間的替代比例固定不變的情況。

2. 特點：在完全替代的情況下，兩商品之間的邊際替代率MRS12就是一個常數(shù)，相應的無差異曲線是一條斜率不變的直線。

3. 例子：對小明來說，三杯汽水x和兩根冰棍y是無差異的，則對應的無差異曲線是斜率為-2/3的直線。

b.完全互補品的情況

1. 含義：完全互補品指兩種商品必須按固定不變的比例同時被使用的情況。

2. 特點：相應的無差異曲線為直角形狀。

3. 例子：一副眼鏡架y必須和兩片鏡片x一起使用，其效用曲線由相互垂直的兩組直線構成。

今天就到這里。