其概率密度函數(shù)為：

要證明上述結(jié)論，首先要求出平方函數(shù)的概率密度：

的概率密度。

由此可以求出y>=0是的概率密度函數(shù)（用f(x)表示）：

再要求出和函數(shù)的密度函數(shù)：

若X和Y 是兩個相互獨立的隨機變量 , 具有相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度.

有了上述基礎(chǔ)之后，我們就知道如何推導(dǎo)卡方分布的密度函數(shù)了，那就是把圖1中的統(tǒng)計量看作是Y=Y1+Y2+......，其中Yi=Xi^2,而Y的密度函數(shù)已知如圖4所示。

但真正的證明還是比較復(fù)雜，因為將Y的密度函數(shù)代入圖5圖6 之后，其計算是很復(fù)雜的。

Miller, Steven J.在《The Probability Lifesaver: All the Tools You Need to Understand

Chance - 2017》一書的CHAPTER 16 The?Chi-square Distribution給出了完整的證明。

我們?nèi)绻皇菍ｉT做這方面的研究，那就只要知道圖2中的密度函數(shù)大概怎么來的就行了。

最后給出卡方分布的曲線：