（部分內(nèi)容來自原作者：盧比與鋼蛋?@LBM與流體力學?|?本文編輯：圖圖 | 已獲授權）

如果將研究流體的工程技能比作柴米油鹽的日常，那么N-S方程無疑是流體力學的“白月光”，在心上，卻不在身旁。

納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），描述粘性不可壓縮流體動量守恒的運動方程。簡稱N-S方程，其本質(zhì)就是守恒。如果非要一句話概括，那么就是：

流進—流出=增量

N-S方程的故事大概也和“白月光”一樣迂回而悠揚，而故事的主人公便是我們耳熟能詳?shù)拿郑簹W拉、納維、柯西、斯托克斯…

（文末介紹Navier2d：可用于大氣湍流速度場模擬的GUI工具箱，可適用于各種流場。）

1 寫序言的人

歐拉

所有的故事都有起承轉(zhuǎn)合，而給“白月光”寫序言的人，無疑便是歐拉。

1.1 歐拉的開掛人生

作為史上可以和牛頓、高斯等人齊名的科學家，歐拉自然也有開掛的一生。1707年4月15日，萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）出生于瑞士巴塞爾的一個牧師家庭，其父親則和當時的數(shù)學世家——約翰·伯努利一家關系不錯。13歲時，歐拉考入巴塞爾大學并成為伯努利的學生，三年時間內(nèi)連續(xù)獲得本碩學位。20歲時，聲名在外的歐拉應邀入駐位于圣彼得堡的俄國皇家科學院，一待就是14年，期間在分析學、數(shù)論和力學等方面成就斐然。1741年，歐拉受普魯士腓特烈大帝的邀請，離開動蕩的俄國，輾轉(zhuǎn)到柏林科學院，并在接下來的25年中做出了浩如煙海的開創(chuàng)性工作。1766年，歐拉重返圣彼得堡并度過了余生。

1.2 理想流體的運動方程

十七世紀下半葉，牛頓和萊布尼茨開創(chuàng)了對人類影響深遠的微積分，而歐拉便是其最重要的應用者和推進者。自歐拉之后，微分方程及其求解方法成為力學等眾多學科研究的重心。當然，歐拉也將微分方程應用到了流體力學的領域，并提出了對后世影響深遠的歐拉方程，即將牛頓第二定律施加到理想流體上的微分方程——這大概也是我們第一次遇見流體運動方程的樣子，簡潔而又美麗。

2 承前啟后者

納維

歐拉建立了描述理想流體運動的微分方程，奠定了“白月光”故事的基調(diào)。不過，直到歐拉去世后的第三年，N-S方程的“N”，即納維，才來到人間繼續(xù)書寫未完的傳奇。

2.1 少年納維的幸與不幸

1785年2月10日，克勞德-路易·納維（Claude-Louis Navier）出生于法國勃艮第大區(qū)的首府第戎，其父親是當?shù)氐膰鴷h員，大致相當于咱們的省人大代表，家境不錯。然而在納維八歲時，父親不幸離世。為了讓納維接受最好的教育，母親便將他交給了他的工程師舅舅戈泰照料。

納維的舅舅戈泰在建筑領域很有名望，法國大革命后，他在巴黎高級法院的橋梁高級委員會擔任過多個重要職務。在舅舅的熏陶之下，納維于 1802年先后進入巴黎綜合工科學校和橋梁公路學校求學。1806年畢業(yè)后，他也順利的成為了一名橋梁和道路工程師。

2.2 回歸學術的中年納維

轉(zhuǎn)眼到了1824年，不惑之年的納維在主持榮軍院橋的設計時，沒有在計算上留出一定的安全余量，導致了橋梁開裂并被拆除。納維因為在工程設計中過于依賴數(shù)學計算，而受到政府委員會的譴責，也因此影響了他在橋梁建造方面的聲譽。不過同年，納維因為其在學術上的成就而被法國科學院授予院士稱號。

或許是這一正一負的影響，使得納維后來將自己的精力更多的投身于科研事業(yè)。1830年，他在巴黎國立橋梁與道路學院擔任教授，第二年，他又成為了法國理工學院的微積分和力學教授，并在結構分析領域做出了開創(chuàng)性貢獻。

因為納維的杰出貢獻，他的名字被鐫刻在了埃菲爾鐵塔之上，位列72名影響世界的法國科學家。雖然納維一生絕大部分的時間都在和橋梁道路打交道，但是他對后世最大的影響仍然在于流體力學的核心“N-S方程”。

2.3 納維的承前啟后

很長時間以來，人們就認識到流體的內(nèi)摩擦是導致歐拉方程偏離實驗的主要原因，比如大家熟知的達朗貝爾佯謬。盡管如此，卻很少有學者試圖將粘度的影響包括在流體的運動方程中。后來，連歐拉大神自己都看不下去了，于是在1761年提出了流體運動的粘度理論，可惜，他的理論錯誤地假設流體的摩擦與壓力成正比。

直到1822年，納維公開發(fā)表了關于流體運動的文章。納維在文章中提到，歐拉方程將流體視為分子集合，易于自由運動且彼此之間不存在任何抵抗，這種假設只適合于完全均勻的流動——即當所有分子保持相同的運動時，分子間的作用相互抵消，不會影響流體的狀態(tài)；但分子彼此出現(xiàn)相對移動時，情況則會有所不同。

納維進一步解釋：從大量的經(jīng)驗來看，壓力并沒有明顯的影響運動流體各部分之間的分子作用所產(chǎn)生的阻力，而這些阻力更多的來源于相鄰分子的速度大小或方向的差異，即分子間的相對速度。由此納維進一步推導了相鄰分子在相對運動時，作用在分子上的力。

納維的假設與現(xiàn)代的觀點幾乎完全一致：在緊靠壁面的邊界層中，流體呈現(xiàn)相對運動，粘性影響顯著；反觀邊界層外部的流體（外部勢流），粘滯效應很小，因為流體呈現(xiàn)更加一致的共同運動。盡管納維沒能給出最終的流體運動方程，但是納維對于粘性和流體運動的思考卻深刻的影響著后來者。

3 峰回路轉(zhuǎn)

柯西

有了歐拉的理想流體運動方程，加上納維關于運動流體粘性的思考，“白月光”似乎已經(jīng)呼之欲出了，可好像又少了點什么，直到柯西的出現(xiàn)。

3.1 另一位埃菲爾鐵塔上的男人

柯西是一位出身不凡的數(shù)學家。1798年8月21日，奧古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）出生于法國巴黎。其父親是一位律師，在拿破侖上臺之后晉升為參議院秘書長，與當時法國的大數(shù)學家兼參議員的拉格朗日和拉普拉斯交往密切。

彼時的戰(zhàn)爭年代，科學家們最好的工作或許就是鋪路搭橋，土木工程專業(yè)風口正盛。1807年，柯西也進入納維曾經(jīng)待過的地方——橋梁公路學校學習，畢業(yè)后成為了一名工程師。不過基礎扎實的柯西不甘寂寞，工作之余還潛心研究數(shù)學，經(jīng)常參加學術活動。比納維年輕14歲的柯西更早的將重心從工程轉(zhuǎn)移到了學術研究，取得了許多開創(chuàng)性成就，而這些成就也給柯西帶來了聲譽，于1816年早于納維被任命為法國科學院院士。當然，因為柯西在科學領域的杰出貢獻，他的名字也鐫刻在了埃菲爾鐵塔上供后世敬仰。

3.2 柯西動量方程

不同對納維專注于流體粘性的研究，柯西則聚焦于對歐拉方程的變換。他在歐拉方程中引入流體微團的應力張量的概念，從而推導了著名的柯西動量方程，不過原本簡單的歐拉方程一下子就變得更加復雜了。小編代表無數(shù)被流體力學折磨的小伙伴悄悄的問一句：“柯西，你是魔鬼嗎…”

雖然柯西把歐拉運動方程變得更加復雜了，但是也將流體運動不同于固體運動的規(guī)律準確的呈現(xiàn)出來。而我們熟悉的流體運動微分方程便是基于柯西動量方程推導出來的。

4 神功告成

斯托克斯

納維在發(fā)布他對于運動流體粘性的思考之后的很長一段時間內(nèi)，并未得到學界的關注和認可，直到另一位大神橫空出世。

4.1 我生君已老

1819年，納維已近中年，而在愛爾蘭的斯萊戈郡，一位未來之星悄悄出生了，那就是大名鼎鼎的喬治·斯托克斯（George Gabriel Stokes）。有趣的是，斯托克斯的父親也是一位牧師。

少年時，斯托克斯分別求學于斯格林、都柏林和布里斯托。1837年，18歲的斯托克斯被劍橋彭布羅克學院錄取。四年后，他以資深牧馬人（Senior Wrangler：劍橋大學數(shù)學系最頂尖畢業(yè)生的榮譽稱謂）的身份畢業(yè)，并攜帶著自己本科生的成就當選學院學術委員會成員。

小編不得不再次感慨，大神的世界，我們凡人不能理解。1849年，年僅30歲的斯托克斯被任命為劍橋大學盧卡斯數(shù)學教授，直到1903年去世，斯托克斯的職業(yè)生涯幾乎都在劍橋大學度過。

斯托克斯清白的家世和良好的背景也讓他頗受英國皇室的欣賞。1854年以后，斯托克斯一直擔任皇家學會的秘書之一，甚至在1885年至1890年的一部分時間里，他還被任命為英國皇家學會的主席。因為英國皇室的重視，斯托克斯于1889年被授予男爵，所以很多時候，他也被敬稱為斯托克斯爵士。

4.2 站在前人的肩膀上

結合納維對粘度的思考和柯西的張量思維，斯托克斯便大展神威，推出了引無數(shù)流體人盡折腰的“N-S方程”。

為了推導牛頓流體一般形式的運動方程，斯托克斯將牛頓粘性定律從一維擴展到三維，提出了三個假設：流體是各向同性的；流體靜止時，法向應力等于靜壓強；應力與變形率成線性關系。根據(jù)上述假設便可推導流體應力的本構關系，并代入上述的流體運動微分方程，即可推導N-S方程。

上圖給出了N-S方程的推導，作為最普適的流體運動方程，它適用于可壓縮變粘度的粘性流體的運動。當然根據(jù)不同的研究場景，上述N-S方程還可以做一些簡化，比如我們更常用的不可壓縮流動，此處不再贅述，感興趣的小伙伴可以自行推導。

5 你終究是我只能仰望的夢想

N-S方程的故事雖然結束了，對于后來的流體工作者來說，卻又是一個嶄新的開始。流體江湖對N-S方程萬般敬仰，卻又愛又恨。方程中的對流項具有二階非線性，如同一座大山一樣擋在求解者的面前。而當N-S方程面對更加混亂的湍流時，似乎也變得更加無解。

斯托克斯之后，無數(shù)流體力學的俠客們都不甘心放棄如此絕世的秘籍，于是大家都握著49米長的大刀在N-S方程面前“磨刀霍霍”。從雷諾將湍流分解為平均速度和脈動速度，帶入NS方程推導雷諾平均方程開始；布辛涅司克又“生搬硬套”的提出了渦粘性假設，將湍流脈動引起的雷諾應力類比成了平均應力；而現(xiàn)代流體力學之父普朗特更是通過大膽的假設提出了“混合長度模型”，從而讓N-S方程的湍流求解成為可能。

時至今日，各種基于N-S方程的CFD軟件早已滲透到各行各業(yè)，但不幸的是，100多年過去了，N-S方程的數(shù)學特性，即解的存在性和光滑性至今都沒有得到證明，而美國的克雷數(shù)學研究所更是將這一問題列為七個千禧年大獎難題之一。

看著手中花花綠綠的CFD軟件，再回首先輩留下的曠世秘籍——N-S方程，如同“白月光”一樣，照射在我們的床頭。我們究竟是離夢想越來越近，還是與夢想漸行漸遠了呢？

白月光 心里某個地方

那么亮 卻那么冰涼

每個人 都有一段悲傷

想隱藏 卻在生長

（原作者：盧比與鋼蛋?@LBM與流體力學?|?本文編輯：圖圖）

6?介紹Navier2d (MATLAB GUI)

?Navier2d是一組MATLAB函數(shù)，旨在通過二維非定常Navier-Stokes（NS）方程的數(shù)值解來模擬不可壓縮流體的運動。

?可用于大氣湍流的速度場模擬，MATLAB仿真，GUI，可適用于各種流場。

演示截圖：

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