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原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號

?最近我們被客戶要求撰寫關于VAR模型的研究報告，包括一些圖形和統(tǒng)計輸出。

目錄

模型與數(shù)據(jù)

估算值

預測誤差脈沖響應

識別問題

正交脈沖響應

結構脈沖反應

廣義脈沖響應

參考文獻

脈沖響應分析是采用向量自回歸模型的計量經(jīng)濟學分析中的重要一步。它們的主要目的是描述模型變量對一個或多個變量的沖擊的演化。因此使它們成為評估經(jīng)濟時非常有用的工具。這篇文章介紹了VAR文獻中常用的脈沖響應函數(shù)的概念和解釋。

模型與數(shù)據(jù)

為了說明脈沖響應函數(shù)的概念，使用了Lütkepohl（2007）的示例?？梢詮慕炭茣木W(wǎng)站上下載所需的數(shù)據(jù)集。它包含從1960年1季度到1982年4季度按季度和季節(jié)性調整的時間序列，這些序列是西德的固定投資，可支配收入和數(shù)十億德國馬克的消費支出。

r

# 下載數(shù)據(jù)data <- read.table("e1.dat", skip = 6, header = TRUE)# 僅使用前76個觀測值，因此有73個觀測值# 取一階差分后，留給估計的VAR(2)模型。data <- data[1:76, ]# 轉換為時間序列對象data <- ts(data, start = c(1960, 1), frequency = 4)# 取對數(shù)和差值data <- diff(log(data))# 繪圖數(shù)據(jù)plot(data, ?main = "Dataset E1 from Lütkepohl (2007)")

?

此數(shù)據(jù)用于估計具有常數(shù)項的VAR（2）模型。

估算值

可以使用vars軟件包估算VAR模型：

r

# 查看摘要統(tǒng)計信息summary(model)

代碼的結果應與Lütkepohl（2007）的3.2.3節(jié)中的結果相同。

預測誤差脈沖響應

由于VAR模型中的所有變量都相互依賴，因此單獨的系數(shù)估計僅提供有關反應的有限信息。為了更好地了解模型的動態(tài)行為，使用了脈沖響應（IR）。線性VAR模型的每個脈沖響應函數(shù)的出發(fā)點都是其移動平均值（MA）表示，這也是預測誤差脈沖響應（FEIR）函數(shù)。

在R?中，程序包可用于獲取預測誤差脈沖響應。

識別問題

從上圖可以看出，在第一期間FEIR為零。對于使用的數(shù)據(jù)集，估計為

## ? ? ? ? ? ? ?invest ? ? ? income ? ? ? ? cons## invest 2.129629e-03 7.161667e-05 1.232404e-04## income 7.161667e-05 1.373377e-04 6.145867e-05## cons ? 1.232404e-04 6.145867e-05 8.920351e-05

由于估計方差-協(xié)方差矩陣的非對角線元素不為零，因此我們可以假設VAR模型中的變量之間存在同期相關性。這由與Σ相對應的相關矩陣確認：

## ? ? ? ? ? invest ? ?income ? ? ?cons## invest 1.0000000 0.1324242 0.2827548## income 0.1324242 1.0000000 0.5552611## cons ? 0.2827548 0.5552611 1.0000000

但是，這些矩陣僅描述了誤差之間的相關性，但不清楚因果關系的方向。識別這些因果關系是任何VAR分析的主要挑戰(zhàn)之一。

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正交脈沖響應

識別VAR模型的沖擊的常用方法是使用正交脈沖響應（OIR）?；舅枷胧欠纸夥讲?協(xié)方差矩陣，使∑?=?PP??1，其中P是帶有正對角線元素的下三角矩陣，通常通過Choleski分解獲得。給定估計方差-協(xié)方差矩陣PP，可以通過以下方法獲得分解

## ? ? ? ? ? ? invest ? ? ?income ? ? ? ?cons## invest 0.046147903 0.000000000 0.000000000## income 0.001551894 0.011615909 0.000000000## cons ? 0.002670552 0.004934117 0.007597773

從這個矩陣可以看出，收入沖擊對消費具有同時性的影響，反之則不然。

在R?中，vars可以通過設置參數(shù)來使用包的功能來獲得OIR：

r

plot(oir)

請注意，Choleski分解的輸出是一個較低的三角矩陣，因此第一行中的變量永遠不會對任何其他變量的同時沖擊敏感，而系統(tǒng)中的最后一個變量將對所有其他變量的沖擊敏感。因此，OIR的結果可能對變量的順序很敏感，建議用不同的順序估計上述VAR模型，以查看所產生的OIR受此影響的程度。

結構脈沖反應

在VAR模型的估計過程中，結構脈沖響應（SIR）已經(jīng)考慮了識別問題。

廣義脈沖響應

正交和結構響應都可以通過找到變量的正確順序或通過識別估計的結構參數(shù)來約束。Koop等（1998）提出了一種不同類型的響應函數(shù)，即所謂的廣義脈沖響應（GIR）。它們獨立于變量順序，因為它們將其他沖擊的影響整合到響應之外。

對于難以識別結構關系的大型系統(tǒng)，GIR非常有用。

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參考文獻

Koop, G., Pesaran, M. H., Potter, S. M. (1996). Impulse response analysis in nonlinear multivariate models.?Journal of Econometrics 74, 119-147.?doi:10.1016/0304-4076(95)01753-4

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