有意思的概率與統(tǒng)計(jì)（二）

2023-07-21 17:22 作者:不能吃的大魚 0人讀過 | 我要投稿

概率論的坑，要開就得開得迅速和有力！

所以很快啊，我又來更新第二篇了！

上一次介紹了隨機(jī)現(xiàn)象及其相關(guān)的各種概念，為我們本次繼續(xù)介紹概率提供了足夠的基礎(chǔ)。

于是乎，這一次，我們直接來介紹——

Chapter? One? 隨機(jī)事件與概率

1.2? 概率的定義及其確定方法

概率論，顧名思義，所研究的問題主要集中于“概率”二字之上。所以，我們首先就有必要弄清楚，什么是概率。

我們對(duì)概率都有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)，因?yàn)槲覀冊(cè)谌粘Ｉ町?dāng)中經(jīng)常聽見各種有關(guān)概率的說法：

（1）買一張彩票中一等獎(jiǎng)的概率小于0.003；

（2）明天降雨的概率大于80%；

（3）投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上的概率為1/2。

這樣的例子有很多，其中所涉及到的“概率”的具體確定方法和所表達(dá)的意義都不盡相同。比如說，第一個(gè)說法當(dāng)中，雖然沒有概率的確數(shù)，但是這個(gè)結(jié)果卻是基于大量的事實(shí)結(jié)果和實(shí)際彩票的發(fā)行情況估計(jì)出來的，具有準(zhǔn)確的參考價(jià)值；但是對(duì)于第二種情況來說，這個(gè)概率只是人們（或者是專家）根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)和掌握的規(guī)律做出的一種主觀推測(cè)，并不是概率的真實(shí)值，稱為主觀概率（很多時(shí)候，雖然是主觀概率，但也不失為一種確定概率的方法，日常中用于描述問題結(jié)果已經(jīng)足夠了）；而第三種描述當(dāng)中，由于我們十分明確拋擲硬幣的結(jié)果，所以我們也很容易就給出一個(gè)理想的概率值，這個(gè)值是較為準(zhǔn)確的。

但無(wú)論如何，概率都有一種被人們所公認(rèn)的含義——事件發(fā)生的可能性的度量。

但是，這樣的含義顯然不能夠?qū)⒏怕首優(yōu)橐粋€(gè)精確的數(shù)學(xué)對(duì)象供我們研究。因此，我們需要一個(gè)有關(guān)概率的一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。經(jīng)過數(shù)學(xué)家們的不斷嘗試，目前較為公認(rèn)的是1933年由數(shù)學(xué)家Kolmogorov提出的以下公理化定義（感興趣的小伙伴們也可以了解一下其他的定義）：

設(shè) $%5CvarOmega$ 為一樣本空間， $%5Cmathscr%20%7BF%7D$ 為 $%5CvarOmega$ 的某些子集構(gòu)成的一個(gè)事件域。如果對(duì)任意事件 $A%5Cin%20%5Cmathscr%20%7BF%7D$ ，定義在 $%5Cmathscr%20%7BF%7D$ 的一個(gè)實(shí)值函數(shù) $P(A)$ 滿足：

（1）非負(fù)性： $P(A)%5Cge0$ ；

（2）正則性： $P(%5CvarOmega%20)%3D1$ ；

（3）可列可加性：

若 $A_iA_j%3D%5Cvarnothing%5Cquad(i%E2%89%A0j)$ ，則 $P%5Cbigg(%5Cbigcup_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20A_n%5Cbigg)%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20P(A_n)$

則稱 $P(A)$ 為事件A的概率，稱 $(%5CvarOmega%20%2C%5Cmathscr%20F%20%2CP)$ 為概率空間。

這個(gè)定義完美符合了人們對(duì)概率的認(rèn)識(shí)，比如說，概率不會(huì)為負(fù)數(shù)，概率應(yīng)該對(duì)應(yīng)事件等等。另外，這樣的定義給出的概率是十分嚴(yán)格而準(zhǔn)確的，作為一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象來說，是十分利于我們研究的。

這個(gè)定義中最重要的一點(diǎn)是，它表明了概率是集合（事件）的函數(shù)（或許我們可以稱之為泛函也說不定，不過這都是后話）。

雖然我們已經(jīng)有了明確的定義，但是在如何確定概率這一方面仍然沒有明確的方法。主要原因就是，概率本身和事件高度相關(guān)，而某一事件發(fā)生的可能性僅憑這樣的定義是沒法完全說明的。我們需要引入一些基本假設(shè)，才能夠基于這些假設(shè)給出事件的概率。

舉個(gè)例子，我們都知道，投擲一枚骰子，事件“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”的概率為0.5。雖然這樣的概率讓人信服，并且它也滿足了公理化定義，但我們?nèi)晕纯芍@樣的概率到底是怎樣得出來的，到底與事件本身有怎樣的關(guān)系。所以，接下來，我們就要介紹一些確定概率的方法。

一個(gè)經(jīng)典的方法，就是——以頻率估計(jì)概率。

這個(gè)方法的思想核心是，在大量的重復(fù)試驗(yàn)當(dāng)中，屬于待確定概率的事件A的結(jié)果出現(xiàn)的頻率（頻數(shù)與總次數(shù)的比值）是會(huì)幾乎穩(wěn)定在某一個(gè)常數(shù)附近的。這一方法的總過程大致如下：

（1）與考察事件A有關(guān)的隨機(jī)試驗(yàn)可以大量重復(fù)進(jìn)行；

（2）記n(A)為事件A在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)，稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，數(shù)字：

$f_n(A)%3D%5Cfrac%7Bn(A)%7D%7Bn%7D$

稱為事件A發(fā)生的頻率；

（3）隨著n的增大，事件A的頻率會(huì)更加傾向于穩(wěn)定在常數(shù)a附近，這個(gè)數(shù)值稱為頻率的穩(wěn)定值。以頻率估計(jì)概率時(shí)，通常認(rèn)為此穩(wěn)定值就可以代表概率。

這樣的方法有它的好處，比如說得出的概率值十分令人信服，也可以作為日后再次進(jìn)行類似的試驗(yàn)時(shí)對(duì)結(jié)果的預(yù)測(cè)依據(jù)。但是，其缺點(diǎn)也是十分明顯的。很多時(shí)候，我們沒辦法將試驗(yàn)大量重復(fù)，因此也就沒有辦法通過這樣的方法獲得概率值。

既然如此，我們就需要一些偏向于理論邏輯導(dǎo)出的方法。首先要研究的，就是古典概型。

所謂古典概型，就是確定概率的最為古老經(jīng)典的方法。這一方法是概率論歷史上最先開始研究的情形。這樣的方法簡(jiǎn)單直觀，也避免了做大量的重復(fù)試驗(yàn)。只需要一些理論邏輯分析，我們就可以輕松得出合理的概率值。

這一方法的思想核心是一個(gè)基本假設(shè)——等概率假設(shè)。

設(shè)若樣本空間是一個(gè)有限集，且各個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性是相等的。這樣，我們就可以認(rèn)為，每個(gè)樣本點(diǎn)自己構(gòu)成的子集（事件）的概率都是均等的。此時(shí)，某一事件的概率就等于事件當(dāng)中所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)。也即：

$P(A)%3D%5Cfrac%20%7B%E4%BA%8B%E4%BB%B6A%E6%89%80%E5%90%AB%E7%9A%84%E6%A0%B7%E6%9C%AC%E7%82%B9%E7%9A%84%E4%B8%AA%E6%95%B0%7D%7B%5CvarOmega%20%E4%B8%AD%E6%89%80%E6%9C%89%E6%A0%B7%E6%9C%AC%E7%82%B9%E7%9A%84%E4%B8%AA%E6%95%B0%7D%3D%5Cfrac%20%7Bk%7D%7Bn%7D$

在一些問題當(dāng)中，我們會(huì)涉及到一些幾何模型。事件的描述很多時(shí)候能夠通過幾何規(guī)劃的方式來表示出來，這個(gè)時(shí)候，我們就可以通過一些幾何度量來作為事件可能性的代表，以此來求出事件的概率。這就是幾何概型。

如果一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間 $%5CvarOmega$ 充滿某個(gè)區(qū)域，其度量可以用 $S_%5CvarOmega$ 來表示。而事件A是所代表的區(qū)域是 $%5CvarOmega$ 中的子區(qū)域，那么該事件的概率就為 $P(A)%3D%5Cfrac%7BS_A%7D%7BS_%5CvarOmega%7D$ 。這個(gè)概率稱為幾何概率。

值得注意的是，幾何概率很多時(shí)候和我們所選取的幾何度量相關(guān)。有一些現(xiàn)象表明，對(duì)于同樣的時(shí)間而言，選用不同的幾何度量所求出的幾何概率并不相同。究其原因，可能是不同的幾何度量所對(duì)應(yīng)的幾何維度的劃分方式有所不同，進(jìn)而導(dǎo)致樣本空間以及事件所代表的區(qū)域產(chǎn)生了差異。也就是說，對(duì)于復(fù)雜的問題，“等可能性”這一說法太過于模糊，這樣簡(jiǎn)單的假設(shè)反而會(huì)招致麻煩。（一個(gè)經(jīng)典的例子就是Bertrand奇論。）

至此，我們就將所有確定概率的方法介紹完了。但是，盡管方法十分簡(jiǎn)單，可在應(yīng)用的過程當(dāng)中卻演變出了許多經(jīng)典的模型。在實(shí)際問題當(dāng)中，多數(shù)情況都逃不出這些經(jīng)典模型，因此還是有必要將其細(xì)致地介紹給大家~

我們先從最簡(jiǎn)單的拋硬幣入手，讓大家進(jìn)一步理解一下等概率假設(shè)。

例1：現(xiàn)在，我們拋擲兩枚完全相同的硬幣，求事件A=“出現(xiàn)兩個(gè)正面”的概率。

樣本空間為：

$%5CvarOmega%3D%5C%7B(%E6%AD%A3%2C%E5%8F%8D)%2C(%E6%AD%A3%2C%E6%AD%A3)%2C(%E5%8F%8D%2C%E6%AD%A3)%2C(%E5%8F%8D%2C%E5%8F%8D)%5C%7D$

事件 $A%3D%5C%7B(%E6%AD%A3%2C%E6%AD%A3)%5C%7D$

于是概率就為1/4。

這個(gè)例子似乎很簡(jiǎn)單，沒什么值得深究的。但是，很多人會(huì)認(rèn)為樣本空間為：

$%5CvarOmega%3D%5C%7B(%E4%B8%A4%E6%AD%A3)%2C(%E4%B8%A4%E5%8F%8D)%2C(%E4%B8%80%E6%AD%A3%E4%B8%80%E5%8F%8D)%5C%7D$

這樣似乎概率就應(yīng)該是1/3。但事實(shí)上，雖然兩個(gè)硬幣完全相同，不加區(qū)分，但是我們總是要選擇一個(gè)硬幣先描述它的結(jié)果，然后再分析另一個(gè)硬幣的結(jié)果。這樣，我們就人為地給兩個(gè)硬幣附加上了合理的序號(hào)，導(dǎo)致了“一正一反”這個(gè)結(jié)果包含了了兩個(gè)樣本點(diǎn)。在這里，所謂不加區(qū)分，實(shí)際上是不區(qū)分兩個(gè)硬幣誰(shuí)為1號(hào)，誰(shuí)為2號(hào)罷了。

所以，想要使用等概率假設(shè)，重點(diǎn)在于要保證每一個(gè)樣本點(diǎn)本身確實(shí)只含一個(gè)樣本點(diǎn)。

接下來，我們就要研究一些基本的模型了。

例2：（抽樣模型：不放回抽樣）

一個(gè)盒子里裝有N個(gè)球，其中有M個(gè)紅球（n≤N），其余都是白球?，F(xiàn)在要從中取出n個(gè)球，試求事件A=“取出的球中有m個(gè)紅球”的概率。（m≤M，n-m≤N-M）

不難想見，樣本空間中的樣本點(diǎn)數(shù)應(yīng)為 $%5Ctbinom%7BN%7D%7Bn%7D$ 。我們主要來研究的，就是事件A包含了多少的樣本點(diǎn)。

事實(shí)上，我們可以將抽取過程分為兩步，一部是先在紅球堆中抽出m個(gè)，然后在白球堆中抽出n-m個(gè)。這樣，在此理解下，事件A所包含的樣本點(diǎn)數(shù)就為 $%5Ctbinom%7BM%7D%7Bm%7D%5Ctbinom%7BN-M%7D%7Bn-m%7D$ 。

此時(shí)，事件A的概率就為：

$P(A)%3D%5Cfrac%7B%5Cbinom%7BM%7D%7Bm%7D%5Cbinom%7BN-M%7D%7Bn-m%7D%7D%7B%5Cbinom%7BN%7D%7Bn%7D%7D%20%5Cquad(m%3D0%2C1%2C%5Ccdots%2Ck.%5Cquad%20k%3D%5Cmin%5C%7Bn%2CM%5C%7D)$

若將m看做是隨機(jī)變量，則根據(jù)m的取值不同，我們能夠得到不同的概率值。由于各情況必有一種會(huì)發(fā)生，所以概率總和為應(yīng)該為1。

我們將隨機(jī)變量與其對(duì)應(yīng)的概率值列成一個(gè)表，類似如下：

這稱之為一個(gè)概率分布。

例3：（抽樣模型：放回抽樣）

我們剛剛介紹的例子，是不放回抽樣的典型例子。接下來我們要討論的，就是放回抽樣的特點(diǎn)。所謂放回抽樣，顧名思義，其實(shí)就是在每次抽取之后，我們將所抽取的樣本再次放回樣品堆中，不改變樣品堆內(nèi)的樣品組成。這樣，每次抽取時(shí)，同一事件發(fā)生的概率是不會(huì)改變的。

比如說，同樣是剛才的情景，我們現(xiàn)在改成每一次抽取一個(gè)球，抽取后將其放回盒子中，現(xiàn)在求解事件B=“一共抽取n次后，抽到過m次紅球”的概率。

一共抽取n次后，由于每次盒子中都有N個(gè)球，所以樣本點(diǎn)總數(shù)為 $N%5En$ 。

同樣的道理，每次抽取球時(shí)，紅球和白球的數(shù)目是不會(huì)變的，所以每次抽到紅球，都是在M個(gè)紅球當(dāng)中抽出來一個(gè)。這樣，我們只要選擇，到底是第幾次抽出紅球即可。

于是，我們能夠推知，事件B的樣本點(diǎn)數(shù)為：

$%5Ctext%20%7BCard%7D(B)%3D%5Cbinom%7Bn%7D%7Bm%7D%5Cbinom%7BM%7D%7B1%7D%5En%5Cbinom%7BN-M%7D%7B1%7D%5E%7Bn-m%7D%3D%5Cbinom%7Bn%7D%7Bm%7DM%5En(N-M)%5E%7Bn-m%7D$

這樣，我們就得到：

$P(B)%3D%5Cbinom%7Bn%7D%7Bm%7D%5Cfrac%7BM%5En(N-M)%5E%7Bn-m%7D%7D%7BN%5En%7D%20%5Cquad(m%3D0%2C1%2C2%2C%5Ccdots%20%2Cn)$

例4：（信箱模型）

在過去科技并不發(fā)達(dá)的時(shí)代，人們聯(lián)絡(luò)的主要方式是信件往來。因此，郵局便在其中起到了很重要的作用。

寄信并不麻煩，只需要將信息都填好，封存好，再貼上郵票，投入信箱就可以等待郵遞員收走并發(fā)往各地。

陸逵同學(xué)很喜歡寫信，因此他也常常寄信。在他家附近一共有N個(gè)信箱，他每次差不多都要寄出n封信。這些信都是寫給他的好朋友們的?，F(xiàn)在他想知道，這些信分別被投進(jìn)不同的信箱的概率是多少？

這個(gè)問題倒是不難，首先需要解決的點(diǎn)是，樣本空間中的樣本點(diǎn)總數(shù)是多少？

因?yàn)槊看我还灿衝封信要寄出，就有n封信要投遞。每封信投進(jìn)無(wú)論哪個(gè)信箱其實(shí)都能夠被寄出去。而信箱本身是可以容納很多封信的，因此也不必?fù)?dān)心有的信箱投不進(jìn)信的情況出現(xiàn)。

這樣的話，每一封信都有可能投進(jìn)任何一個(gè)信箱當(dāng)中。于是，樣本點(diǎn)的總數(shù)就應(yīng)該是 $N%5En$ 。

現(xiàn)在我們要考慮，這n封信分開被投進(jìn)n個(gè)信箱這一事件（記為事件A）的樣本點(diǎn)數(shù)是多少。

如果不加限制，只需要投進(jìn)任意n個(gè)不同的信箱中，一個(gè)箱里面放一封即可的話。那么，首先，我們就要選出n個(gè)不同的信箱出來；其次，我們?cè)賹⑦@n封信一封一封地投入這些信箱當(dāng)中。所以，樣本點(diǎn)數(shù)就為：

$%5Ctext%20%7BCard%7D(A)%3D%5Cbinom%20%7BN%7D%7Bn%7D%20n!$

于是概率就為：

$P(A)%3D%5Cbinom%20%7BN%7D%7Bn%7D%5Cfrac%7Bn!%7D%7BN%5En%7D%20%3D%5Cfrac%7BN!%7D%7BN%5En(N-n)!%7D%20$

如果我們對(duì)這n個(gè)信箱有要求，必須是我們給定的某幾個(gè)，那么這個(gè)時(shí)候，我們就沒有必要去選擇信箱了，因此組合數(shù)也就不會(huì)出現(xiàn)在概率表達(dá)式當(dāng)中了。

這個(gè)模型雖然是來自于基本的生活內(nèi)容，但是實(shí)際上，在統(tǒng)計(jì)物理當(dāng)中，這個(gè)模型起到了至關(guān)重要的作用。在統(tǒng)計(jì)物理當(dāng)中非常重要的三種統(tǒng)計(jì)——Maxwell-Boltamann統(tǒng)計(jì)，Bose-Einstein統(tǒng)計(jì)和Fermi-Dirac統(tǒng)計(jì)——就是基于這樣的模型推導(dǎo)出的。

例5：（會(huì)面問題）

這是個(gè)幾何概型的應(yīng)用。篇幅關(guān)系直接展示給大家即可，理解其中精髓并不困難。

最后，我們來介紹一個(gè)十分有用的方法——隨機(jī)模擬法。

隨機(jī)模擬法，又稱Monte Carlo方法，是一種通過大量重復(fù)所設(shè)計(jì)的模擬隨機(jī)試驗(yàn)，來獲得某種想要的數(shù)值的近似解的方法。通過提高隨機(jī)試驗(yàn)的次數(shù)，進(jìn)而提高近似解的精度。

這種方法的巧妙之處在于，只要設(shè)計(jì)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，使得某一事件的概率與想要求解的參數(shù)相關(guān)，這樣就可以通過以頻率估計(jì)概率的方式，近似得出概率值。再通過其與理論值對(duì)比，進(jìn)而求出參數(shù)的近似解。

一個(gè)經(jīng)典的例子，就是投針問題：

思考：

證明以下組合數(shù)公式：

（1） $%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%3D%5Cbinom%7Bn-1%7D%7Bk-1%7D%2B%5Cbinom%7Bn-1%7D%7Bk%7D$

（2） $%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20i%5Cbinom%7Bn%7D%7Bi%7D%3Dn2%5E%7Bn-1%7D$

（3） $%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5Ek%20%5Cbinom%7Bm%7D%7Bi%7D%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk-i%7D%3D%5Cbinom%7Bm%2Bn%7D%7Bk%7D$
求以下事件的概率：

（1）拋擲三枚硬幣，出現(xiàn)至少一個(gè)正面；

（2）任取兩個(gè)正整數(shù)，它們的和為偶數(shù)；

（3）把10本書任意地?cái)[放，指定的4本書放在一起；

（4）n個(gè)人隨機(jī)地圍一圓桌而坐，指定的甲乙兩人坐在一起；

（5）把n個(gè)“0”和n個(gè)“1”隨機(jī)地排列，沒有兩個(gè)“1”連在一起；

（6）在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，兩數(shù)之和小于5/7；
從一副54張的撲克牌（包含大小王）當(dāng)中任意抽取4張，求下列事件的概率：

（1）全是黑桃；

（2）同花；

（3）同色；
設(shè)10件產(chǎn)品中有2件不合格品，從中任取4件，設(shè)其中不合格品數(shù)為X，求X的概率分布；
將三個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)盒子中，求盒子中球的最大個(gè)數(shù)X的概率分布。