高階單元、低階單元、完全積分、縮減積分，分別表示什么概念，各自的適用情況是什么樣的，這些單元如何選擇？本文以三維問題中的實(shí)體單元為例說明單元的特性以及使用情境。

本文關(guān)鍵詞：高階單元、低階單元、二次單元、線性單元、完全積分、縮減積分、沙漏控制、剪切自鎖、體積鎖定

線性單元與二次單元

以六面體單元（Hex）為例：

當(dāng)六面體單元上有8個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，我們稱其為線性/低階/一階單元（如ABAQUS中的C3D8），當(dāng)每條邊中間多一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)稱為二次/高階/二次單元，包含20個(gè)節(jié)點(diǎn)（如C3D20），單元中間節(jié)點(diǎn)存在影響了形函數(shù)的階次（詳細(xì)參考有限單元法中形函數(shù)的構(gòu)造）。

高階的形函數(shù)可以在位移結(jié)果可靠基礎(chǔ)上，得到更準(zhǔn)確的應(yīng)變和應(yīng)力值（參考前面的應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣對(duì)位移插值得到應(yīng)變和應(yīng)力結(jié)果）；對(duì)于具有曲面和曲邊的幾何能更好擬合；且高階單元相比低階收斂速度更高，可通過細(xì)化網(wǎng)格更快的收斂于精確解，但是因?yàn)楣?jié)點(diǎn)的增加導(dǎo)致了計(jì)算成本的增高，相信有過實(shí)際項(xiàng)目的大家也有所體會(huì)。

通常情況下為了出于計(jì)算量考慮選擇低階單元也能獲得還算不錯(cuò)的結(jié)果。

完全積分與縮減積分

前面我們說過有限元法在單元上采用數(shù)值積分對(duì)解析積分進(jìn)行處理，因此引入了積分點(diǎn)的概念。

有限元軟件中普遍使用的是等參元，為了進(jìn)行數(shù)值積分計(jì)算需要在積分點(diǎn)上找到被積函數(shù)的值，在單元上的積分點(diǎn)位置和對(duì)應(yīng)的權(quán)系數(shù)因數(shù)值積分方法不同而不同，通常采用的是高斯積分，高斯積分階數(shù)等于被積函數(shù)所有項(xiàng)次精確積分所需要階數(shù)的積分方案，稱之為精確積分或完全積分。

對(duì)于上面提到的六面體單元C3D8，如果使用8個(gè)積分點(diǎn)，則稱為線性完全積分單元，在使用完全積分的情況下，當(dāng)單元尺寸不斷減小時(shí), 有限元解單調(diào)地收斂于精確解（應(yīng)力奇異處除外）。但是當(dāng)承受彎曲載荷時(shí)，會(huì)出現(xiàn)剪切自鎖，造成單元過于剛硬。（圖中為三維單元單一視角或平面單元示意，圓點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)位置，x為積分點(diǎn)示意位置）

C3D20對(duì)應(yīng)的二次完全積分單元包含27個(gè)積分點(diǎn)，其優(yōu)點(diǎn)是應(yīng)力計(jì)算結(jié)果很精確，且基本沒有剪切自鎖問題。但是用這種單元時(shí)要注意：不能用于接觸分析；對(duì)于不可壓縮的非線性分析，比如類橡膠類材料（要注意，這里的不可壓縮指體積不可壓縮，不是指壓縮下不變形），容易產(chǎn)生體積自鎖。

若線性單元只使用一個(gè)積分則被稱為（線性）縮減積分，縮減積分使用更少的積分點(diǎn)和更簡單的形函數(shù)，因此求解更有效率，并且當(dāng)網(wǎng)格夠精細(xì)時(shí)也可以獲得較準(zhǔn)確地結(jié)果，不會(huì)存在剪切自鎖現(xiàn)象。但是只有四邊形和六面體單元才能使用縮減積分，并且縮減積分還存在另人困惑的沙漏行為。

對(duì)應(yīng)的在二次單元每條邊方向上均減少一個(gè)積分點(diǎn)的單元稱為二次縮減積分單元，該種單元不僅基本不存在自鎖現(xiàn)象，而且有效減少沙漏行為的影響，但是不能用于接觸分析；不能應(yīng)用于大應(yīng)變問題。

本次重點(diǎn)說了節(jié)點(diǎn)與積分點(diǎn)概念上單元類型的概念和選擇，下期我們談?wù)効s減積分單元的沙漏行為、完全積分單元中存在的剪切自鎖、體積自鎖的原因以及四面體單元相較六面體單元的優(yōu)劣。