05｜數(shù)學(xué)邊界：從畢達(dá)哥拉斯定理到費馬大定理 - 得到APP (dedao.cn)

我們有必要了解數(shù)學(xué)本身的局限性，才能更好地使用它的原理和思維方式。

費馬大定理

：

從畢達(dá)哥拉斯定理說起，a^2+b^2=c^2的整數(shù)解有很多個，叫做勾股數(shù)。人們就在想，a^3+b^3=c^3，有整數(shù)解嗎？

這個問題困擾了人類幾千年。后來有一個叫費馬的數(shù)學(xué)愛好者就提出一個假說，說除了平方的情況，其他更高次方的方程都找不到整數(shù)解，它被稱為費馬大定理。

在費馬之后的幾百年里，很多數(shù)學(xué)家都試圖證明它，但是都不得要領(lǐng)。費馬自己說他已經(jīng)證明了這個定理，只是那張紙不夠大寫不下，但后人認(rèn)為是費馬搞錯了。

于是費馬大定理就成了一道跨越了三個多世紀(jì)的超級難題。直到1994年，才由著名的英國旅美數(shù)學(xué)家懷爾斯證明出來，而這個過程也是一波三折。

這個定理證明過程本身導(dǎo)致了很多數(shù)學(xué)研究成果的出現(xiàn)，特別是對于橢圓方程的研究。今天區(qū)塊鏈技術(shù)用到的橢圓加密方法，就是以它為基礎(chǔ)的。

體會：今天的數(shù)學(xué)（指純粹數(shù)學(xué)，不是應(yīng)用數(shù)學(xué)）真的很難，想在這方面取得突破性貢獻(xiàn)不容易，懷爾斯從10歲開始就立志解決這個問題，他努力了30年。他最后的證明長達(dá)200頁。但是，有了理論，使用它做有意義的事情，還是容易得多。比特幣就是一個很好的例子。

希爾伯特第十問題

（丟番圖方程的可解性）：任意一個多項式方程2x^2 + 3 y^3 = z^4，或者 x^2 + 3 y^3 - w^5 = z^4，請問它們有沒有整數(shù)解？

對于一些特例，我們知道有整數(shù)解，比如x^2 + y^2 = z^2就有；對于另一些特例，我們知道沒有整數(shù)解，比如費馬大定理所描述的情況

但是，對于更多的，一般性的不確定方程，我們不僅不知道怎么解，甚至無法判斷一個方程有沒有整數(shù)解。

第十問題其實隱含了一個更為深刻的認(rèn)識論問題，就是對于大部分?jǐn)?shù)學(xué)問題，到目前為止，

我們所能解決的數(shù)學(xué)問題其實只是所有數(shù)學(xué)問題中很小的一部分

。

當(dāng)然，很多人會說尚未找到答案不等于沒有答案。第十問題實際上在直接挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)的邊界，也就是說，通過數(shù)學(xué)的方法，我們可能根本無法判斷一些問題的答案存在與否。如果連答案是否存在都不知道，就更不用說通過數(shù)學(xué)的方法解決它們了。

1970年，俄羅斯天才的數(shù)學(xué)家尤里·馬季亞謝維奇在大學(xué)畢業(yè)后一年就解決了這個問題，證明了

這類問題是無解的

，從此在世界上一舉成名。

第十問題的解決其實撲滅了人類的一絲希望，但是也讓人類老老實實地在邊界內(nèi)做事情。人類過去常常希望找到一個工程問題的

解析解

，即答案是以一個公式的形式存在，這樣套入任何數(shù)字，就得到了具體的答案。

但是，很多問題最后證明找不到嚴(yán)格推導(dǎo)出來的解析解，

當(dāng)然這也不妨礙大家在工程上可以使用近似的數(shù)值解

，解決實際問題。認(rèn)清這一點，做事的方法也就改變了。

06｜黃金分割：畢達(dá)哥拉斯如何連接數(shù)學(xué)和美學(xué)？ - 得到APP (dedao.cn)

畢達(dá)哥拉斯用數(shù)學(xué)指導(dǎo)藝術(shù)和音樂，也確立了數(shù)學(xué)在其它知識體系和人類文明成就中的中心地位。數(shù)學(xué)的用途不僅僅是在思維方面，也能實實在在指導(dǎo)我們的工作。

數(shù)學(xué)與藝術(shù)-

黃金分割

：今天一般認(rèn)為，算出黃金分割公式的還是畢達(dá)哥拉斯。大家更認(rèn)可的說法是，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的人在做正五邊形和五角星的圖形時，發(fā)現(xiàn)了黃金分割的比例。

是什么：1:0.618

為什么美？簡單地講，它的美感來自幾何圖形的相似性。（自相似性）

案例：帕特農(nóng)神廟、斷臂的維納斯、埃菲爾鐵塔、蒙娜麗莎、蝸牛殼、龍卷風(fēng)、銀河系

數(shù)學(xué)與音樂-

音階理論

：畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為，要產(chǎn)生讓人愉快的音樂，就不能隨機(jī)在連續(xù)的音調(diào)中選擇音階，而需要根據(jù)數(shù)學(xué)上的比例設(shè)計

比如：兩根琴弦長度比是2:1，他們的聲音是和諧的，定義為8度音，接下來，將這8度又一分為二，按照4:3和3:2的比例，分出一個4度音和一個5度音，聽感也是和諧的。

為什么好聽？今天對耳蝸的解刨學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，耳蝸的形狀其實也是螺旋線的，和黃金分割的螺旋線非常吻合。這可能是按照黃金分割設(shè)定音律后，聲音悅耳的原因。

數(shù)學(xué)與藝術(shù)-

透視理論

：西方藝術(shù)從文藝復(fù)興開始逼真的效果源于藝術(shù)家們使用單點透視的方法，成功地將三維形象繪制到一個二維平面上。

布魯內(nèi)萊斯基所發(fā)明的單點透視法，完全符合我們視覺應(yīng)有的幾何學(xué)原理，具體講就是相似三角形的原理，因此按照這樣的方法畫出來的畫就非常逼真。

理解了我們視覺的數(shù)學(xué)原理，就可以利用它創(chuàng)造出不同的藝術(shù)效果。比如在現(xiàn)實世界里，我們看到的是單點透視，因為人的眼睛不可能同時往兩邊看，但是我們可以在藝術(shù)創(chuàng)作中采用兩點和多點透視。

該筆記已整合入個人知識體系，詳見 [筆記3](http://wangc.site/cbrain/share?nodeid=b810579bac8a8069)