為什么會有自然對數(shù)？

2019-08-20 11:02 作者:二次元的中科院物理所 0人讀過 | 我要投稿

作者：Marianne Freiberger

翻譯：Nothing

審校：Nuor

還記得自然對數(shù)嗎？它和數(shù)學(xué)中最美麗的常數(shù)有關(guān)，這個數(shù)是：

e=2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...

實數(shù)x的對數(shù)lnx是令e變成x的指數(shù)，也就是說：

現(xiàn)在我們用計算器或者電腦來計算對數(shù)，但是很久以前人們通過對數(shù)表來計算lnx。?

Portrait of John Napier (1550-1617), dated 1616.

1614年，數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家和天文學(xué)家約翰.奈皮爾在一篇名為《奇妙對數(shù)表的構(gòu)建》的文章中以和現(xiàn)代對數(shù)表相似的方式發(fā)表了一系列對數(shù)表。令人吃驚的是，盡管奈皮爾從來沒有聽說過數(shù)字e，也沒有思考過指數(shù)函數(shù)（事實上當(dāng)時沒有人知道這個數(shù)），但是他通過想象點沿著直線的運動來定義了一個非常類似以e為底的對數(shù)。

在那個時代，有一個問題一直困擾著人們，尤其是天文學(xué)家。天文學(xué)方面的計算需要對特別巨大的數(shù)字進(jìn)行乘法或者除法運算。如果沒有計算器的幫助，這些計算是非常困難的。一個讓這些計算變得簡單一點的方法是用指數(shù)來研究這些問題。指數(shù)函數(shù)計算規(guī)則告訴我們，兩個2的指數(shù)相乘，如2^a×2^b，你只需要將它們的指數(shù)相加。如果用其中一個除另外一個，你只需要將它們的指數(shù)相減。??

所以你需要一個表格告訴你如何將一個大數(shù)用2的指數(shù)函數(shù)來表示，或者用其他數(shù)的指數(shù)函數(shù)來表示，這會讓你的計算變得簡單很多。給定數(shù)字N，你會想要找到一個數(shù)L使得：

也就是說，你需要的是以2或者其他數(shù)字為底的對數(shù)表。

然而，在奈皮爾的時代，人們并沒有用指數(shù)函數(shù)進(jìn)行思考。他們沒有底的概念，也沒有書寫指數(shù)函數(shù)（將一個小號數(shù)字放在數(shù)字右上角）的簡便方法。

盡管從阿基米德時代開始我們就對以下兩種數(shù)列很感興趣：

從2開始，之后的數(shù)字依次加倍：2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …?
自然數(shù)組成的數(shù)列：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …?

第一個數(shù)列叫做等比數(shù)列，其后一個數(shù)與前一個數(shù)之比是常數(shù)。

人們意識到等比數(shù)列中兩個數(shù)的相乘（或相除）對應(yīng)著等差數(shù)列中兩個數(shù)的相加（或相減）。（對我們來說，這正是指數(shù)函數(shù)的運算規(guī)則，等比數(shù)列中是2的指數(shù)函數(shù)，相應(yīng)的等差數(shù)列中是指數(shù)函數(shù)的指數(shù)。）這好像提供了一種讓乘法變簡單的方法，你可以把等比數(shù)列中比較困難的計算變成等差數(shù)列中比較簡單的計算。

奈皮爾想要制造一個表格來把等比數(shù)列和等差數(shù)列中的數(shù)字聯(lián)系起來，因此他寫道：“所有的乘法，除法和開根號的計算都可以被最簡單的加法，減法和被2相除代替?！?/p>

正是奈皮爾發(fā)現(xiàn)了兩種數(shù)列之間如此吸引人的關(guān)系。想象一個點P，沿著一個無限長的直線從A到B運動。但是它不是以勻速運動，而是越走越慢：點的速率和點P距離B的長度成正比。距離B點越近，速率就越小，因此它永遠(yuǎn)也不能到達(dá)點B。如果你每隔一秒測量一次距離B點的長度，你得到的數(shù)字可以構(gòu)成一個遞減的等比數(shù)列：相鄰兩個數(shù)字之比相等，但是和之前的例子不同，公比小于1。

如何將它和等差數(shù)列聯(lián)系起來？直觀的，想象每個時間段P點的位置：x1是1秒后P點的位置，x2是兩秒后P點的位置，等等。因為P的速度逐漸慢下來，所以線段[xi,xi+1]隨著i的增加而減小。又因為P永遠(yuǎn)不能到達(dá)B點，這樣的線段有無數(shù)個。想象一下將每個線段都拉伸得一樣長，仍然讓P點在一秒鐘內(nèi)通過線段。這樣B點會處于無限遠(yuǎn)處，P點在每個線段上的平均速度相同，那么在1秒鐘，2秒鐘，3秒鐘時P點走過的距離構(gòu)成一個等差數(shù)列。

利用這種直覺式的推理，奈皮爾想象了第二個點，Q與P以相同速度從A點同時出發(fā)，但是Q以恒定的速度運動通過B點并向無限遠(yuǎn)處繼續(xù)運動。在給定的某個時間點，他定義Q點走過的距離為P點走過距離的對數(shù)。這將由P點走過距離的等比數(shù)列，與Q點走過距離的等差數(shù)列聯(lián)系起來。