一、函數(shù)的基礎(chǔ)概念

1、函數(shù)的概念：

在某一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量x和y，設(shè)變量x的取值范圍為數(shù)集D，如果對于D內(nèi)的每一個(gè)x值，按照某個(gè)對應(yīng)法則f（一個(gè)自變量對應(yīng)一個(gè)函數(shù)值），y都有唯一確定的值與它對應(yīng)。那么，把y叫做x的函數(shù)，記作y=f（x），數(shù)集D叫做函數(shù)的定義域。

2、函數(shù)的三要素：

（1）定義域：函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍。（函數(shù)的定義域就是使得這個(gè)函數(shù)關(guān)系式有意義的實(shí)數(shù)的全體構(gòu)成的集合）

（2）對應(yīng)關(guān)系（對應(yīng)法則）：

函數(shù)概念的核心是變量y與變量x之間的對應(yīng)法則。通俗的來講，1個(gè)x只能對應(yīng)1個(gè)y，而1個(gè)y可以對應(yīng)多個(gè)x。

（3）值域：函數(shù)的值域是函數(shù)值的集合。（函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系確定了，函數(shù)的值域也確定了）

3、函數(shù)的表示方法：

（1）解析法：數(shù)學(xué)表達(dá)式來表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法；

（2）列表法：自變量取值（有限）與函數(shù)值之間的關(guān)系；

（3）圖像法：自變量取值范圍與函數(shù)值取值范圍。

例題1：如圖所示中，哪一幅圖象不是函數(shù)？

例題2：下列函數(shù)中，哪兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)？

①y=|x|（0＜x＜1）、②y=x-1、③y=x(0＜x＜1)、④y=x+1

答：①和③，因?yàn)檫@兩個(gè)函數(shù)的定義域都是“0＜x＜1”，值域都是“0＜y＜1”，且對應(yīng)法則相同。

二、函數(shù)的單調(diào)性

1、增函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x?、x?，當(dāng)x?＞x?時(shí)，都有f（x?）＞f(x?)；

2、減函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x?、x?，當(dāng)x?＞x?時(shí)，都有f（x?）＜f(x?)。

三、函數(shù)的奇偶性

1、偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（x）=f(-x)；

2、奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（-x）=-f(x)。

（下面舉例幾個(gè)常見函數(shù)）

四、二次函數(shù)

1、定義：最高次數(shù)是二次且最高次數(shù)項(xiàng)是系數(shù)不為0的函數(shù)。一般表達(dá)式為y=ax2+bx+c(a、b、c為常數(shù)且a≠0)。

2、性質(zhì)：

①圖象：對稱軸平行于（包括重合）y軸的拋物線。

②常見的形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；（2）頂點(diǎn)式：y=a（x-h）2+k（a≠0）；（3）交點(diǎn)式：y=a(x-m)(x-n)(a≠0)

③交點(diǎn)公式、對稱軸和頂點(diǎn)：

交點(diǎn)公式：(-b±√(b^2-4ac))/2a；

對稱軸：直線x=(-b)/2a；

頂點(diǎn)坐標(biāo)：（(-b)/2a, (4ac-b^2)/4a)。

對稱軸與頂點(diǎn)之間的關(guān)系：設(shè)對稱軸為直線x=t,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（t,c-t^2）。

兩交點(diǎn)之間的距離：|x?-x?|=√(b2-4ac)/(|a|)。（證明可查看初中數(shù)學(xué)——二次函數(shù)）

④二次函數(shù)中，a的大小決定開口方向及開口大小。

（1）當(dāng)a＞0時(shí)，二次函數(shù)開口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，二次函數(shù)開口向下。（2）當(dāng)a越大時(shí)，二次函數(shù)開口越??；當(dāng)a越小時(shí)，二次函數(shù)開口越大。（可以嘗試畫一下圖象）

⑤二次函數(shù)中，b和a共同決定對稱軸的位置。（1）當(dāng)b=0時(shí)，對稱軸為y軸；（2）當(dāng)b/a＞0（a、b同號）時(shí)，對稱軸在y軸左側(cè)；（3）當(dāng)b/a＜0（a、b異號）時(shí)，對稱軸在y軸右側(cè)。

⑥c（c≠0）為二次函數(shù)與y軸的唯一交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，（1）當(dāng)c=0時(shí)，二次函數(shù)過原點(diǎn)；（2）當(dāng)c＞0時(shí)，二次函數(shù)與y軸交于正半軸；（3）當(dāng)c＜0時(shí)，二次函數(shù)與y軸交于負(fù)半軸。

五、指數(shù)函數(shù)

1、根式：

（1）n次方根的概念：一般地，如果b^n=a（n＞1，n∈N+），那么b叫做a的n次方根。記作:

（2）n次方根的性質(zhì)：

①當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是正數(shù)；負(fù)數(shù)的n次方根是負(fù)數(shù)。

②當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)；負(fù)數(shù)沒有n次方根。

③0的任何次方根都是0。

（3）根式的概念：式子

叫做根式，n（n＞1，n∈N+）叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)。

（4）根式的性質(zhì)：

2、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：

3、冪函數(shù)：

（1）概念：一般地，形如y=x^α(α∈R)為冪函數(shù)，底數(shù)x是自變量，底數(shù)的系數(shù)為1，指數(shù)a為常數(shù)。

（2）性質(zhì)：

①函數(shù)的圖象一定會經(jīng)過第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限內(nèi)。

證明如下：若x＞0時(shí)，則y＞0（包含α=0）

②函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)。

（第一象限或第一象限、第二象限或第一象限、第三象限）（根據(jù)α的大小而定）

③所有冪函數(shù)在（0，+∞）都有意義，且函數(shù)圖象都經(jīng)過（1，1）。

（此時(shí)未去除“α=0”的情況 ）

④當(dāng)α＞0時(shí)，冪函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且在【0，+∞）上是增函數(shù)；當(dāng)α＞1時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0＜α＜1時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；當(dāng)α＜0時(shí)，冪函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)。

（當(dāng)α＜0時(shí)，自變量x作分母；當(dāng)0＜α＜1時(shí)，函數(shù)圖象靠近y軸；當(dāng)α＞1時(shí)，函數(shù)圖象靠近x軸）

4、指數(shù)函數(shù)：

（1）概念：一般地，形如y=a^x(a＞0且a≠1)稱為指數(shù)函數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋?，+∞）。

（2）性質(zhì)：

①函數(shù)圖象必經(jīng)過（0，1）；

②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)在R上為單調(diào)減函數(shù)：

（1）如果x＞0，那么0＜y＜1；

（2）如果x＜0，那么y＞1。

④當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)在R上為單調(diào)增函數(shù)：

（1）如果x＞0，那么y＞1；

（2）如果x＜0，那么0＜y＜1。

六、對數(shù)函數(shù)

1、對數(shù)的概念：

一般地，如果a^b=N（a＞0且a≠1）那么b叫做以a為底N的對數(shù)，記作

即：

2、常用對數(shù)和自然對數(shù)：

常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)，可以簡記為lgN。

自然對數(shù)：以無理數(shù)e=2.71828……為底的對數(shù)，可以簡記為lnN。

3、對數(shù)基本性質(zhì)：

4、對數(shù)公式：（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）

5、對數(shù)函數(shù)：

（1）概念：一般地，形如

的函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），值域?yàn)椋?∞，+∞）。

（2）性質(zhì)：

①函數(shù)圖象必經(jīng)過（1，0）

②當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)在（0，+∞）上為增函數(shù)：

（1）如果x＞1，那么y＞0；

（2）如果0＜x＜1，那么y＜0。

③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)在（0，+∞）上為減函數(shù)：

（1）如果x＞1，那么y＜0；

（2）如果0＜x＜1，那么y＞0。